【备考2024】2023年高考数学新高考一卷真题变式分层精准练：第20题

试卷更新日期：2023-09-01 类型：二轮复习

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一、原题

1. 设等差数列 ${a_{n}}$ 的公差为 $d$ ，且 $d > 1$ ，令 $b_{n} = \frac{n^{2} + n}{a_{n}}$ ，记 $S_{n} ， T_{n}$ 分别为数列 ${a_{n}}$ ， ${b_{n}}$ 的前 $n$ 项和.

(1)、若 $3 a_{2} = 3 a_{1} + a_{3} ， S_{3} + T_{3} = 21$ ，求 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、若 ${b_{n}}$ 为等差数列，且 $S_{99} - T_{99} = 99$ ，求 $d$ .

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二、基础

2. 已知数列 ${a_{n}}$ 的前n项和为 $S_{n} = 2 n^{2} + 5 n$ ，数列 ${b_{n}}$ 满足 $b_{1} = 8$ ， $b_{n} = 16 b_{n + 1}$ ．

(1)、证明：数列 ${a_{n}}$ 是等差数列；

(2)、是否存在常数p、q，使得对一切正整数n都有 $a_{n} = l o g_{p} b_{n} + q$ 成立？若存在，求出p、q的值；若不存在，说明理由．

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3. 已知数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n} ， a_{1} = 1 ， a_{n + 1} = λ a_{n} + 4$ （ $λ$ 为常数）.

(1)、若 $λ = 3$ ，求 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、若 $λ = 1$ ，设数列 ${\frac{1}{S_{n} + n}}$ 的前 $n$ 项和为 $T_{n}$ ，求证： $\forall n \in N^{*} ， T_{n} < 1$ .

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4. 已知数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n} = n^{2} - 3 n$ .

(1)、求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、求证：数列 ${a_{n}}$ 是等差数列.

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5. 设等比数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，已知 $a_{3} = 4$ ， $a_{6} = - 32$ .

(1)、求公比 $q$ 的值；

(2)、求 $S_{5}$ 的值.

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6. 已知数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项之积为 $T_{n}$ ，且 $a_{1} = 2$ ， $a_{n + 1} T_{n} - T_{n} = 1$ ．

(1)、求 ${a_{n}}$ 的通项公式 $；$

(2)、求数列 ${\frac{a_{n}}{T_{n}^{2}}}$ 的前 $n$ 项和 $S_{n}$ ．

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7. 已知等比数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和 $S_{n} = 2^{n} + a$ ．

(1)、求实数 $a$ 的值；

(2)、若 $S_{m} = 127$ ，求 $m$ ．

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8. 已知等差数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，且满足 $a_{1} + a_{3} + a_{5} = 15 ， S_{7} = 49$ .

(1)、求 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、若数列 ${b_{n}}$ 满足 $b_{n} = a_{n} \cdot 3^{n}$ ，求 ${b_{n}}$ 的前 $n$ 项和 $T_{n}$ .

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9. 已知等差数列 ${a_{n}}$ 满足 $a_{3} = 2$ ，前4项和 $S_{4} = 7$ ．

(1)、求 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、设等比数列 ${b_{n}}$ 满足 $b_{2} = a_{3}$ ， $b_{4} = a_{15}$ ，数列 ${b_{n}}$ 的通项公式．

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10. 记 $S_{n}$ 为等差数列 ${a_{n}}$ 的前n项和，已知 $a_{1} = 6 ， S_{6} = S_{7}$ ．

(1)、求 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、求 $S_{n}$ ，并求 $S_{n}$ 的最大值．

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11. 已知正项数列 ${a_{n}}$ 的前n项和为 $S_{n}$ ， $a_{n + 1} (a_{n + 1} - 3) = a_{n} (a_{n} + 3) (n \in N^{*})$ ，且 $S_{3} = 18$ ．

(1)、证明：数列 ${a_{n}}$ 为等差数列，并求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、若 $b_{n} = \frac{1}{a_{n} a_{n + 1}}$ ，求数列 ${b_{n}}$ 的前n项和 $T_{n}$ ．

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三、提高

12. 已知数列 ${a_{n}}$ 各项都不为0，前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，且 $3 a_{n} - 2 = S_{n}$ ，数列 ${b_{n}}$ 满足 $b_{1} = - 1 ， b_{n + 1} = b_{n} + n$ .

(1)、求数列 ${a_{n}}$ 和 ${b_{n}}$ 的通项公式；

(2)、令 $c_{n} = \frac{2 a_{n} b_{n}}{n + 1}$ ，求数列 ${c_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $T_{n}$ .

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13. 已知数列 ${a_{n}}$ 中， $S_{n}$ 是其前 $n$ 项的和， $5 S_{2} = 11 S_{1}$ ， $\frac{a_{n + 1}}{a_{n}} = 2 - a_{n + 1}$ .

(1)、求 $a_{1}$ ， $a_{2}$ 的值，并证明 ${\frac{1}{a_{n}} - 1}$ 是等比数列；

(2)、证明： $n - 1 + \frac{1}{2^{n}} < S_{n} < n - \frac{1}{2} + \frac{1}{2^{n + 1}}$ .

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14. 已知 $S_{n}$ 为等比数列 ${a_{n}}$ 的前n项和，若 $4 a_{2}$ ， $2 a_{3}$ ， $a_{4}$ 成等差数列，且 $S_{4} = 8 a_{2} - 2$ .

(1)、求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、若 $b_{n} = \frac{a_{n}}{(a_{n} + 2) (a_{n + 1} + 2)}$ ，且数列 ${b_{n}}$ 的前n项和为 $T_{n}$ ，证明： $\frac{1}{12} \leq T_{n} < \frac{1}{4}$ .

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15. 已知等比数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，且 $a_{n + 1} = 2 S_{n} + 1$ .

(1)、求 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、设 $b_{n} = n a_{n} (n \in N^{*})$ ，求数列 ${b_{n}}$ 的前 $n$ 项和 $T_{n}$ .

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16. 已知 ${a_{n}}$ 是等比数列，前n项和为 $S_{n} (n \in N^{*})$ ，且 $\frac{1}{a_{1}} - \frac{1}{a_{2}} = \frac{2}{a_{3}} ， S_{6} = 63$ .
（Ⅰ）求 ${a_{n}}$ 的通项公式；

（Ⅱ）若对任意的 $n \in N^{*} ， b_{n}$ 是 $l o g_{2} a_{n}$ 和 $l o g_{2} a_{n + 1}$ 的等差中项，求数列 ${{(- 1)}^{n} {b_{n}}^{2}}$ 的前2n项和.

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17. 已知正项数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ， $a_{n}^{2} + a_{n} = 2 S_{n} (n \in N^{*})$ ，数列 ${b_{n}}$ 是公比为2的等比数列，且 $b_{1} = a_{2}$ .

(1)、求数列 ${a_{n}}$ 和 ${b_{n}}$ 的通项公式；

(2)、数列 ${a_{n}}$ ， ${b_{n}}$ 的所有项按照“当 $n$ 为奇数时， $b_{n}$ 放在前面；当 $n$ 为偶数时， $a_{n}$ 放在前面”的要求进行“交叉排列”，得到一个新数列 ${c_{n}}$ ： $b_{1}$ ， $a_{1}$ ， $a_{2}$ ， $b_{2}$ ， $b_{3}$ ， $a_{3}$ ， $a_{4}$ ， $b_{4}$ ， …，求数列 ${c_{n}}$ 的前 $4 n + 3$ 项的和 $T_{4 n + 3}$ .

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18. 已知数列 ${a_{n}}$ 满足 $a_{1} = 1 ， a_{n + 1} = \frac{a_{n}}{a_{n} + 1} (n \in N^{*})$ .

(1)、证明：数列 ${\frac{1}{a_{n}}}$ 是等差数列，并求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、设 $b_{n} = a_{n} a_{n + 1}$ ，求数列 ${b_{n}}$ 的前 $n$ 项和 $T_{n}$ .

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19. 已知等差数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，且 $S_{4} = 4 S_{2}$ ， $a_{2 n} = 2 a_{n} + 1 (n \in N^{*}) .$

(1)、求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式．

(2)、若 ${a_{n}}$ 中的部分项 $a_{b_{n}}$ 组成的数列 ${a_{b_{n}} + 1}$ 是以 $a_{1} + 1$ 为首项， $2$ 为公比的等比数列，求数列 ${b_{n}}$ 的前 $n$ 项和 $T_{n}$ ．

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20. 设等差数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ， $a_{2} + a_{6} = - 12$ ， $a_{3} \cdot a_{5} = 32$ ，且 $S_{n}$ 有最小值．

(1)、求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式 $a_{n}$ 及前 $n$ 项和 $S_{n}$ ；

(2)、设数列 ${| a_{n} |}$ 的前 $n$ 项和为 $T_{n}$ ，求 $T_{n}$ ．

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21. 已知等差数列 ${a_{n}}$ 的前n项和为 $S_{n}$ ，且 $S_{6} = 60 ， a_{3} + 3 a_{5} = 48$ .当 $n \in N^{*}$ 时， $2^{n} b_{1} + 2^{n - 1} b_{2} + ⋯ + 2 b_{n} = 3^{n} - 1$ .

(1)、求数列 ${a_{n}} 、 {b_{n}}$ 的通项公式；

(2)、若 $c_{n} = \frac{(2 b_{n} - 1) (2 a_{n} - 2)}{a_{n} \cdot a_{n + 1}}$ ，求数列 ${c_{n}}$ 的前n项和 $T_{n}$ .

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四、巅峰

22. 已知数列 ${a_{n}} ， {b_{n}}$ 满足 $a_{1} = b_{1} = 1 ， a_{n + 1} = b_{n} + 2 ， b_{n + 1} = 2 a_{n}$ .

(1)、求 ${a_{n}} ， {b_{n}}$ 的通项公式；

(2)、设数列 ${c_{n}}$ 满足 $c_{n} = {\begin{array}{l} a_{n} ， & a_{n} \leq b_{n} ， \\ b_{n} ， & a_{n} > b_{n} . \end{array}$ 求 ${c_{n}}$ 的前 $n$ 项和 $S_{n}$ .

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23. 已知数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，满足 $2 S_{n} = a_{n + 1} + 2 (n - 2)$ 且 $a_{1} = 4$ .

(1)、求证： ${a_{n} - 1}$ 是等比数列；

(2)、设 $b_{n} = \frac{a_{n} - 1}{a_{n} a_{n + 1}}$ ，数列 ${b_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $T_{n}$ ，求证： $T_{n} < \frac{1}{8}$ .

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24. 已知各项均为正数的数列 ${a_{n}}$ 满足： $a_{1} = 3$ ，且 $a_{n} a_{n + 1}^{2} - 2 (a_{n}^{2} - 1) a_{n + 1} - a_{n} = 0 ， n \in N^{*}$

(1)、设 $b_{n} = a_{n} - \frac{1}{a_{n}}$ ，求数列 ${b_{n}}$ 的通项公式

(2)、设 $S_{n} = a_{1}^{2} + a_{2}^{2} + ⋯ + a_{n}^{2} ， T_{n} = \frac{1}{a_{1}^{2}} + \frac{1}{a_{2}^{2}} + ⋯ + \frac{1}{a_{n}^{2}}$ ，求 $S_{n} + T_{n}$ ，并确定最小正整数 $n$ ，使得 $S_{n} + T_{n}$ 为整数．

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25. 已知数列 ${a_{n}}$ 是首项为1的等差数列，公差 $d > 0$ ，设数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，且 $S_{1}$ ， $S_{2}$ ， $S_{4}$ 成等比数列．

(1)、求 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、求数列 ${| a_{n} - 8 |}$ 的前 $n$ 项和 $T_{n}$ ．

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26. 已知公差不为0的等差数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ， $S_{9} = 81$ ，且 $a_{2}$ ， $a_{5}$ ， $a_{14}$ 成等比数列.

(1)、求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式 $a_{n}$ ；

(2)、设 $b_{n} = \sqrt{1 + \frac{1}{S_{n}} + \frac{1}{S_{n + 1}}}$ ，求数列 ${b_{n}}$ 的前 $n$ 项和 $T_{n}$ .

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27. 已知 $T_{n}$ 为正项数列 ${a_{n}}$ 的前n项的乘积，且 $a_{1} = 3$ ， $T_{n}^{2} = a_{n}^{n + 1}$ ．

(1)、求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、设 $b_{n} = \frac{a_{n} - 1}{a_{n} + 1}$ ，数列 ${b_{n}}$ 的前n项和为 $S_{n}$ ，求 $[S_{2023}]$ （ $[x]$ 表示不超过x的最大整数）．

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28. 设等比数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，已知 $S_{3} = 7$ ，且 $a_{1} - a_{4} = - 7$ .

(1)、求 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、设 $b_{n} = a_{n} + 2 n - 1$ ，数列 ${b_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $T_{n}$ ，证明：当 $n \geq 5$ 时， $T_{n} \geq 56$ .

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29. 已知数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，且 $S_{n} + 2^{n} = 2 a_{n} + 1$

(1)、求 $a_{1}$ ，并证明数列 ${\frac{a_{n}}{2^{n}}}$ 是等差数列：

(2)、若 $2 a_{k}^{2} < S_{2 k}$ ，求正整数 $k$ 的所有取值.

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30. 已知等差数列 ${a_{n}}$ 和等比数列 ${b_{n}}$ 满足 $a_{1} = 4$ ， $b_{1} = 2$ ， $a_{2} = 2 b_{2} - 1$ ， $a_{3} = b_{3} + 2$ .

(1)、求 ${a_{n}}$ 和 ${b_{n}}$ 的通项公式；

(2)、数列 ${a_{n}}$ 和 ${b_{n}}$ 中的所有项分别构成集合 $A$ ， $B$ ，将 $A ∪ B$ 的所有元素按从小到大依次排列构成一个新数列 ${c_{n}}$ ，求数列 ${c_{n}}$ 的前60项和 $S_{60}$ .

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