【备考2024】2023年高考数学新高考一卷真题变式分层精准练：第19题

试卷更新日期：2023-09-01 类型：二轮复习

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一、原题

1. 已知函数 $f (x) = a (e^{x} + a) - x$ .

(1)、讨论 $f (x)$ 的单调性；

(2)、证明：当 $a > 0$ 时， $f (x) > 2 l n a + \frac{3}{2}$ .

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二、基础

2. 已知函数 $f (x) = x^{3} - \frac{9}{2} x^{2} + 6 x - a$ ．

(1)、若 $a = 0$ ，求 $y = f (x)$ 在 $(1 ， f (1))$ 处的切线方程；

(2)、若方程 $f (x) = 0$ 有且仅有一个实数根，求实数a的取值范围．

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3. 已知 $f (x) = a x^{2} + l n x + 2$ ，且 $f^{'} (2) = \frac{1}{2}$

(1)、求 $a$ 的值；

(2)、求 $f (x) = a x^{2} + l n x + 2$ 在 $x = 1$ 处的切线方程．

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4. 已知函数 $f (x) = \frac{l n x}{x + 1} - m$ ．

(1)、求 $f (x)$ 的导函数；

(2)、若 $f (x)$ 在 $[\frac{1}{2} ， 1]$ 上有零点，求 $m$ 的取值范围．

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5. 已知函数 $f (x) = (x^{2} - 2 x - 3) e^{x}$

(1)、求 $f (x)$ 的单调区间；

(2)、）求f(x)在区间[-2.4]上的最大值和最小值.

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6. 已知函数 $f (x) = x^{3} - a x^{2} ， a \in R$ ，且 $f^{'} (- 1) = 9.$

(1)、求曲线 $y = f (x)$ 在点 $(1 ， f (1))$ 处的切线方程；

(2)、求函数 $f (x)$ 在区间 $[0 ， 3]$ 上的最小值．

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7. 已知函数 $f (x) = k (x + 1) e^{- x} + x^{2}$ .

(1)、求导函数 $f^{'} (x)$ ；

(2)、当 $k = e$ 时，求函数 $f (x)$ 的图像在点 $(1 ， f (1))$ 处的切线方程.

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三、提高

8. 已知函数 $f (x) = a x^{3} - 3 x^{2} + 6 (a > 0)$ .

(1)、若 $x = 1$ 是 $f (x)$ 的极值点，求 $a$ ；

(2)、当 $a > 2$ 时， $f (x) > 0$ 在区间 $[- 1 ， 1]$ 上恒成立，求 $a$ 的取值范围.

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9. 已知函数 $f (x) = a x - \frac{2}{x} - 3 l n x$ ，其中a为常数．

(1)、当函数 $f (x)$ 的图象在点 $(\frac{2}{3} ， f (\frac{2}{3}))$ 处的切线的斜率为1时，求a的值；

(2)、在（1）的条件下，求函数 $f (x)$ 在 $[\frac{3}{2} ， 3]$ 上的最小值.

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10. 设 $x_{1} ， x_{2} (x_{1} < x_{2})$ 是函数 $f (x) = \frac{1}{3} x^{3} + m x^{2} - 3 x + 1$ 的两个极值点，且 $\frac{x_{1} + x_{2}}{x_{1} x_{2}} = \frac{2}{3}$ ．

(1)、求 $m$ 的值；

(2)、求 $f (x)$ 在区间 $[0 ， 3]$ 上的值域．

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11. 已知函数 $f (x) = l n x - a x^{2} - b$ .

(1)、讨论函数 $f (x)$ 的单调性；

(2)、若 $f (x) \leq 0$ 恒成立，求 $\frac{b}{a}$ 的取值范围.

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12. 已知函数 $f (x) = e^{x} c o s x - 2 x$ .

(1)、求曲线 $y = f (x)$ 在点 $(0 ， f (0))$ 处的切线方程；

(2)、求函数 $f (x)$ 在区间 $[0 ， \frac{π}{2}]$ 上的最大值和最小值.

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13. 设 $a > 0$ ，函数 $f (x) = \frac{a l n x}{x}$ .

(1)、请讨论该函数的单调性；

(2)、求该函数在闭区间 $[a ， 2 a]$ 上的最大值和最小值.

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14. 已知函数 $f (x) = x e^{1 - x} + a x^{3} - x (a \in R)$ .

(1)、若 $a = \frac{1}{3}$ ，判断 $f (x)$ 在 $(- \infty ， 0]$ 上的单调性；

(2)、若关于 $x$ 的不等式 $f (x) \geq x l n x + a$ 在 $[1 ， + \infty)$ 上恒成立，求 $a$ 的取值范围.

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15. 已知函数 $f (x) = l n x + a (1 - x)$ ．

(1)、当 $a = 2$ 时，求曲线 $y = f (x)$ 在点 $(1 ， f (1))$ 处的切线方程；

(2)、当 $f (x)$ 有最大值，且最大值小于 $3 a - 3$ 时，求 $a$ 的取值范围．

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四、巅峰

16. 已知函数 $f (x) = e^{x} - 2 a x$ ，实数 $a$ 为常数.

(1)、讨论 $f (x)$ 的单调性；

(2)、当 $a = 1$ 时，求函数 $g (x) = f (x) - c o s x$ 在 $(- \frac{π}{2} ， + ∞)$ 上的零点个数.

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17. 已知函数 $f (x) = x + \frac{a}{e^{x}} (a \in R)$ .

(1)、讨论 $f (x)$ 的单调性；

(2)、若 $f (x)$ 与函数 $g (x) = a e^{x}$ 的图象有三个不同的交点，求 $a$ 的取值范围.（参考数据： $l n 2 \approx 0.7$ .）

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18. 已知函数 $f (x) = \frac{1}{2} x^{2} - 2 a x + l n x$ （a为常数）．

(1)、若函数 $f (x)$ 是增函数，求a的取值范围；

(2)、设函数 $f (x)$ 的两个极值点分别为 $x_{1}$ ， $x_{2}$ （ $x_{1} < x_{2}$ ），求 $f (x_{1}) - f (x_{2})$ 的范围．

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19. 已知函数 $f (x) = e^{2 x} + a x - 2$ ．

(1)、当 $a = 2$ 时，求函数 $f (x)$ 的图象在 $x = 0$ 处的切线方程；

(2)、已知 $a \leq 8$ 时，讨论函数 $g (x) = f (x) - 2 a x + \frac{a}{2}$ 的零点个数．

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20. 已知 $f (x) = x - l n x - 2$ .

(1)、求曲线 $y = f (x)$ 在 $x = 1$ 处的切线方程；

(2)、已知函数 $y = f (x)$ 在区间 $(k ， k + 1) (k \in N)$ 上有零点，求 $k$ 的值；

(3)、记 $g (x) = \frac{1}{2} x^{2} - b x - 2 - f (x)$ ，设 $x_{1}$ 、 $x_{2} (x_{1} < x_{2})$ 是函数 $y = g (x)$ 的两个极值点，若 $b \geq \frac{7}{3}$ ，且 $g (x_{1}) - g (x_{2}) \geq k$ 恒成立，求实数 $k$ 的取值范围.

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21. 已知函数 $g (x) = a x^{2} - (a + 2) x$ ， $h (x) = l n x$ ，令 $f (x) = g (x) + h (x)$ ．

(1)、当 $a = 1$ 时，求函数 $y = g (x)$ 在 $x = 1$ 处的切线方程；

(2)、当 $a$ 为正数且 $1 \leq x \leq e$ 时， $f (x)_{m i n} = - 2$ ，求 $a$ 的最小值；

(3)、若 $\frac{f (x_{1}) - f (x_{2})}{x_{1} - x_{2}} > - 2$ 对一切 $0 < x_{1} < x_{2}$ 都成立，求 $a$ 的取值范围．

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22. 已知函数 $f (x) = \frac{x^{2} + 1}{x} - a l n x (a > 0)$ .

(1)、若 $a = \frac{3}{2}$ ，求函数 $f (x)$ 的单调区间；

(2)、若函数 $f (x)$ 有两个不相等的零点 $x_{1} ， x_{2}$ ，极值点为 $x_{0}$ ，证明：
（i） $e < a < x_{0} < a + 1$

（ii） $x_{1} + x_{2} > 2 a$

注： $e$ 为自然对数的底数， $e = 2.71828 ⋯$ .

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23. 已知定义在R上的函数 $f (x) = - x^{2} + x | x - a |$ ，其中a为实数.

(1)、当 $a = 3$ 时，解不等式 $f (x) \geq - 2$ ；

(2)、若函数 $f (x)$ 在 $[- 1 ， 1]$ 上有且仅有两个零点，求a的取值范围；

(3)、对于 $a \in [4 ， + \infty)$ ，若存在实数 $x_{1} ， x_{2} (x_{1} < x_{2})$ ，满足 $f (x_{1}) = f (x_{2}) = m$ ，求 $\frac{x_{1}^{2} + m x_{2}}{x_{1} x_{2}}$ 的取值范围.（结果用a表示）

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24. 已知函数 $f (x) = \frac{e^{2 x}}{2} - a e^{x} + x$ .

(1)、讨论 $f (x)$ 的极值点个数；

(2)、若 $f (x)$ 有两个极值点 $x_{1} ， x_{2}$ ，直线 $y = k x + b$ 过点 $(x_{1} ， f (x_{1})) ， (x_{2} ， f (x_{2}))$ .
（i）证明： $k > f^{'} (l n \frac{a}{2})$ ；

（ii）证明： $b < \frac{1}{2} - a$ .

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25. 已知函数 $f (x) = l n x + a x^{2} + (a + 2) x$ ， $a \in R$ ．

(1)、当 $a = - 2$ 时，讨论 $f (x)$ 的单调性；

(2)、当 $a < 0$ 时，若关于x的不等式 $f (x) \leq - \frac{2}{a} + b - 1$ 恒成立，求实数b的取值范围；

(3)、设 $n \in N^{*}$ 时，证明： $l n (n + 1) \geq 2 (\frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{4} + ⋯ + \frac{1}{n + 1}) - n l n 2$ ．

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26. 已知函数 $f (x) = e^{x} + a s i n x - 1 (a \in R)$ ，

(1)、求曲线 $y = f (x)$ 在点 $(0 ， f (0))$ 处的切线方程；

(2)、若函数 $f (x)$ 在 $x = 0$ 时取得极小值，求 $a$ 的值；

(3)、若存在实数 $m$ ，使对任意的 $x \in (0 ， m)$ ，都有 $f (x) < 0$ ，求 $a$ 的取值范围.

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27. 设函数 $f (x) = \frac{x + 1}{e^{x}} + a x^{2}$ ，其中 $a \in R$ .

(1)、讨论 $f (x)$ 的单调性；

(2)、若 $f (x)$ 存在两个极值点，设极大值点为 $x_{0} ， x_{1}$ 为 $f (x)$ 的零点，求证： $x_{0} - x_{1} \geq l n 2$ .

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28. 已知函数 $f (x) = a (1 - \frac{1}{x^{2}}) - \frac{l n x}{x^{2}} + (x - 1)^{2}$ ．

(1)、当 $a = \frac{1}{2}$ 时，求 $f (x)$ 的单调区间；

(2)、证明：当 $0 < a < \frac{1}{2}$ 时，对任意 $x \in (\frac{1}{a} - 1 ， + \infty)$ ，总有 $f (x) > {(\frac{1}{a} - 2)}^{2}$ ．

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29. 设函数 $f (x) = l n (x + 1) - \frac{1}{2} a x^{2} ， g (x) = \frac{1}{2} a x^{2} - a x e^{x}$ ，其中 $a \in R$ .

(1)、当 $a = \frac{1}{2}$ 时，求函数 $f (x)$ 的值域；

(2)、设 $F (x) = f (x) + g (x)$ ，当 $0 < a < 1$ 时，
①证明：函数 $F (x)$ 恰有两个零点；
②若 $x_{0}$ 为函数 $F (x)$ 的极值点， $x_{1}$ 为函数 $F (x)$ 的零点，且 $x_{1} > x_{0}$ ，证明： $2 x_{0} > x_{1}$ .

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30. 已知函数 $f (x) = x^{2} (l n x - \frac{3}{2} a)$ ， a为实数．

(1)、求函数 $f (x)$ 的单调区间；

(2)、若函数 $f (x)$ 在 $x = e$ 处取得极值， $f^{'} (x)$ 是函数 $f (x)$ 的导函数，且 $f^{'} (x_{1}) = f^{'} (x_{2})$ ， $x_{1} < x_{2}$ ，证明： $2 < x_{1} + x_{2} < e$

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