【备考2024】2023年高考数学新高考一卷真题变式分层精准练：第18题

试卷更新日期：2023-08-31 类型：二轮复习

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一、原题

1. 如图，在正四棱柱 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $A B = 2 ， A A_{1} = 4$ . 点 $A_{2} ， B_{2} ， C_{2} ， D_{2}$ 分别在棱 $A A_{1} ， B B_{1} ， C C_{1} ， D D_{1}$ 上， $A A_{2} = 1$ ， $B B_{2} = D D_{2} = 2 ， C C_{2} = 3$ .

(1)、证明： $B_{2} C_{2} / / A_{2} D_{2}$ ；

(2)、点 $P$ 在棱 $B B_{1}$ 上，当二面角 $P - A_{2} C_{2} - D_{2}$ 为 $15 0^{°}$ 时，求 $B_{2} P$ .

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二、基础

2. 如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中，平面 $P B D ⊥$ 平面 $A B C D$ ，底面 $A B C D$ 是梯形， $A D ∥ B C ， B D ⊥ P C ， A D = A B = \frac{1}{2} B C = \sqrt{2}$ ．

(1)、证明： $P D ⊥$ 平面 $A B C D$ ；

(2)、若 $P B = P C = 2 \sqrt{2}$ ， $E$ 为线段 $A P$ 的中点，求平面 $P B D$ 与平面 $B D E$ 所成锐二面角的余弦值．

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3. 如图，在多面体ABCEF中， $△ A B C$ 和 $△ A C E$ 均为等边三角形，D是AC的中点， $E F / / B D$ ．

(1)、证明： $A C ⊥ B F$ ．

(2)、若平面 $A B C ⊥$ 平面ACE，求二面角 $A - B C - E$ 的余弦值.

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4. 在正四棱柱 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $A B = 1 ， A A_{1} = 2$ ， E在线段 $C C_{1}$ 上．

(1)、若 $A_{1} C ⊥$ 平面 $B D E$ ，求 $C E$ 的长；

(2)、在（1）的条件下，求直线 $D_{1} E$ 与平面 $B D E$ 所成角的正弦值．

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5. 如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中，底面四边形 $A B C D$ 为直角梯形， $A B ∥ C D$ ， $A B ⊥ B C$ ， $A B = 2 C D$ ， O为 $B D$ 的中点， $B D = 4$ ， $P B = P C = P D = \sqrt{5}$ .

(1)、证明： $O P ⊥$ 平面 $A B C D$ ；

(2)、若 $B C = C D$ ，求平面 $P A D$ 与平面 $P B C$ 所成夹角的余弦值.

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6. 如图，直三棱柱（即侧棱与底面垂直的棱柱） $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 内接于一个等边圆柱（轴截面为正方形），AB是圆柱底面圆O的直径，点D在 $A_{1} B_{1}$ 上，且 $A_{1} D = 3 D B_{1}$ ．若AC=BC，

(1)、求证：平面 $C O D ⊥$ 平面 $A B B_{1} A_{1}$ ；

(2)、求平面COD与平面 $C B B_{1} C_{1}$ 所成锐二面角的余弦值．

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7. 在三棱柱中 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $A A_{1} = 13 ， A B = 8 ， B C = 6 ， A B ⊥ B C ， A B_{1} = B_{1} C ， D$ 为 $A C$ 中点，平面 $A B_{1} C ⊥$ 平面 $A B C$ .

(1)、求证： $B_{1} D ⊥$ 平面 $A B C$ ；

(2)、求直线 $C_{1} D$ 与平面 $A B_{1} C$ 所成角的正弦值.

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8. 如图1是 $△ A B C$ ， $A C = 2 B C = 6$ ， $∠ A C B = \frac{π}{2}$ ， $D$ ， $E$ 分别是边 $A C$ ， $A B$ 上两点，且 $\overset{⇀}{B C} = 3 \overset{⇀}{E D}$ ，将 $△ A E D$ 沿 $E D$ 折起使得 $∠ A D C = \frac{π}{3}$ ，如图2.

(1)、证明：图2中， $A C ⊥$ 平面 $A E D$ ；

(2)、图2中，求二面角 $C - A B - E$ 的正切值.

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三、提高

9. 如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中， $P A ⊥$ 平面ABCD， $A B ⊥ A D$ ， $A D ∥ B C$ ， $A P = A B = A D = 1$ ，且直线PB与CD所成角的大小为 $\frac{π}{3}$ ．

(1)、求BC的长；

(2)、求二面角 $D - P B - C$ 的余弦值．

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10. 如图，圆锥 $P O$ 的高为3， $A B$ 是底面圆 $O$ 的直径，PC，PD为圆锥的母线，四边形 $A B C D$ 是底面圆 $O$ 的内接等腰梯形，且 $A B = 2 C D = 2$ ，点 $E$ 在母线 $P B$ 上，且 $B E = 2 E P$ ．

(1)、证明：平面 $A E C ⊥$ 平面 $P O D$ ；

(2)、求平面 $A E C$ 与平面 $E A B$ 的夹角的余弦值．

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11. 如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中，四边形 $A B C D$ 为直角梯形， $C D ∥ A B$ ， $∠ C = 90 °$ ， E为 $A B$ 的中点， $P E = B D$ ， $A B = 2 B C = 2 C D = 4$ ，且 $△ P A D$ 为正三角形.

(1)、证明： $P A ⊥ B D$ .

(2)、求二面角 $A - P E - D$ 的正弦值.

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12. 如图，四棱锥 $P - A B C D$ 中，底面ABCD为等腰梯形， $A B ∥ C D$ ， $A D = D C = \frac{1}{2} A B$ ，且平面 $P A D ⊥$ 平面ABCD， $P D ⊥ A D$ .

(1)、求证： $B D ⊥ P A$ ；

(2)、 $P B$ 与平面 $A B C D$ 所成的角为 $3 0^{∘}$ ，求二面角 $A - P B - C$ 的余弦值.

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13. 如图1，已知正三棱锥 $P - A B C ， A B = 4 \sqrt{3} ， M ， N$ 分别为 $A B ， B C$ 的中点，将其展开得到如图2的平面展开图（点 $P$ 的展开点分别为 $P_{1} ， P_{2}$ ，点 $B$ 的展开点分别为 $B ， B_{1}$ ），其中 $△ P_{1} M N$ 的面积为 $6 \sqrt{3}$ ．在三棱锥 $P - A B C$ 中，

(1)、求证： $A B ⊥$ 平面 $P M C$ ；

(2)、求平面 $P A C$ 与平面 $P M N$ 夹角的余弦值．

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14. 如图所示的几何体是由等高的半个圆柱和 $\frac{1}{4}$ 个圆柱拼接而成，点 $G$ 为弧 $C D$ 的中点，且 $C$ 、 $E$ 、 $D$ 、 $G$ 四点共面．

(1)、证明：平面 $B F D ⊥$ 平面 $B C G$ ；

(2)、若 $A D = A F = 2$ ，求平面 $B D F$ 与平面 $A B G$ 所成锐二面角的余弦值．

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15. 如图在三棱台 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $A A_{1} ⊥$ 平面 $A B C$ ， $B C ⊥ A C$ ， $A_{1} C_{1} = 1$ ， $A A_{1} = A C = B C = 2$ .

(1)、求点 $A$ 到平面 $A_{1} B C_{1}$ 的距离；

(2)、求二面角 $C - A_{1} B - C_{1}$ 的正弦值.

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16. 如图，在四棱锥 $S - A B C D$ 中，平面 $S A D ⊥$ 平面 $A B D$ ， $∠ A S D = ∠ B A D = ∠ B C D = \frac{π}{2}$ ， $S A = S D = \sqrt{2}$ ， $A B = \sqrt{2} B C = \sqrt{2} C E = \sqrt{2} S F = 1$ ．

(1)、求证： $E F$ $/ /$ 平面 $S A B$ ；

(2)、求点 $E$ 到平面 $S A B$ 的距离；

(3)、求平面 $S A B$ 与平面 $S B C$ 的夹角．

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17. 如图，在矩形 $A B C D$ 中， $A B = \sqrt{3}$ ， $A D = 4$ ，点 $E$ 是边 $A D$ 上的动点，沿 $B E$ 将 $△ A B E$ 翻折至 $△ A' B E$ ，使二面角 $A' - B E - C$ 为直二面角．

(1)、当 $A E = 3$ 时，求证： $A' B ⊥ C E$ ；

(2)、当线段 $A' C$ 的长度最小时，求二面角 $C - A' B - E$ 的正弦值．

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18. 如图，圆台 $O_{1} O_{2}$ 的上底面的半径为1，下底面的半径为 $\sqrt{2}$ ， $A B$ 是圆台下底面的一条直径， $P O_{1}$ 是圆台上底面的一条半径， $C$ 为圆 $O_{2}$ 上一点，点 $P$ ， $C$ 在平面 $Δ E C F$ 的同侧，且 $A C = B C$ ， $P O_{1} ∥ B C$ .

(1)、证明： $P O_{1} ⊥$ 平面 $P A C$ ；

(2)、若三棱锥 $P - A B C$ 的体积为 $\frac{4}{3}$ ，求平面 $P O_{1} A$ 与平面 $P B C$ 所成角的正弦值.

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19. 如图，正四棱锥 $P - A B C D$ 的高为 $2 \sqrt{2}$ ，体积为 $\frac{8 \sqrt{2}}{3}$ .

(1)、求正四棱锥 $P - A B C D$ 的表面积；

(2)、若点 $E$ 为线段 $P B$ 的中点，求直线AE与平面 $A B C D$ 所成角的正切值；

(3)、求二面角 $A - P B - C$ 的余弦值.

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四、巅峰

20. 在图1中，四边形 $A B C D$ 为梯形， $A D / / B C$ ， $∠ A B C = \frac{π}{6}$ ， $∠ B C D = \frac{π}{3}$ ， $A D = C D = 2$ ，过点A作 $A E ⊥ A B$ ，交 $B C$ 于 $E$ ．现沿 $A E$ 将 $△ A B E$ 折起，使得 $B C ⊥ D E$ ，得到如图2所示的四棱锥 $B - A E C D$ ，在图2中解答下列两问：

(1)、求四棱锥 $B - A E C D$ 的体积；

(2)、若F在侧棱 $B C$ 上， $B F = \frac{3}{4} B C$ ，求证：二面角 $C - E F - D$ 为直二面角．

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21. 如图，正四棱柱 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的底面边长为1，高为2，点 $M$ 是棱 $C C_{1}$ 上一个动点（点 $M$ 与 $C$ ， $C_{1}$ 均不重合）.

(1)、当点 $M$ 是棱 $C C_{1}$ 的中点时，求证：直线 $A M ⊥$ 平面 $B_{1} M D_{1}$ ；

(2)、当 $D_{1} M ⊥ A B_{1}$ 时，求点 $D_{1}$ 到平面 $A M B_{1}$ 的距离；

(3)、当平面 $A B_{1} M$ 将正四棱柱 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 分割成体积之比为 $1 ： 2$ 的两个部分时，求线段 $M C$ 的长度.

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22. 如图四棱锥 $P - A B C D$ ，点 $A ， B ， C ， D$ 在圆 $O$ 上， $A B = A D = 2 ， ∠ B A D = 12 0^{∘}$ ，顶点 $P$ 在底面的射影为圆心 $O$ ，点 $E$ 在线段 $P D$ 上.

(1)、若 $A B / / C D ， P E = λ P D$ ，当 $A E$ //平面 $P B C$ 时，求 $λ$ 的值；

(2)、若 $A B$ 与 $C D$ 不平行，四棱锥 $P - A B C D$ 的体积为 $\sqrt{6} ， P O = \sqrt{2}$ ，求直线 $P C$ 与平面 $P A B$ 所成角的正弦值.

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23. 在直三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中，E为棱 $C C_{1}$ 上一点， $A B = C E = 2$ ， $A A_{1} = 3$ ， D为棱 $B B_{1}$ 上一点.

(1)、若 $C A = C B$ ，且D为 $B B_{1}$ 靠近B的三等分点，求证：平面 $A_{1} D E ⊥$ 平面 $A B B_{1} A_{1}$ ；

(2)、若△ABC为等边三角形，且三棱锥 $D - A_{1} B_{1} C_{1}$ 的体积为 $\frac{2 \sqrt{3}}{3}$ ，求二面角 $E - A_{1} D - C_{1}$ 的正弦值的大小.

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24. 在三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $A A_{1} = 2$ ， $A_{1} C ⊥$ 底面ABC， $∠ A C B = 90 °$ ， $A_{1}$ 到平面 $B C C_{1} B_{1}$ 的距离为1．

(1)、求证： $A C = A_{1} C$ ；

(2)、若直线 $A A_{1}$ 与 $B B_{1}$ 距离为2，求 $A B_{1}$ 与平面 $B C C_{1} B_{1}$ 所成角的正弦值．

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25. 如图，在四棱台 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，底面 $A B C D$ 是菱形， $A A_{1} = A_{1} B_{1} = 1 ， A B = 2$ ， $∠ A B C = 6 0^{∘} ， A A_{1} ⊥$ 平面 $A B C D$ ．

(1)、若点 $M$ 是 $A D$ 的中点，求证： $C_{1} M$ $∥$ 平面 $A A_{1} B_{1} B$ ；

(2)、棱 $B C$ 上是否存在一点 $E$ ，使得二面角 $E - A D_{1} - D$ 的余弦值为 $\frac{1}{3} ?$ 若存在，求线段 $C E$ 的长；若不存在，请说明理由．

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26. 如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中，底面ABCD是梯形， $A B / / C D$ ， $B D = D C = 2 A B = 2$ ， $B D ⊥ C D$ ， $△ P B D$ 是等边三角形且与底面垂直，E是棱PA上一点， $\vec{A E} = λ \vec{E P}$ .

(1)、当 $P C / /$ 平面EBD，求实数λ的值；

(2)、当λ为何值时，平面EBD与平面PBD所成的锐二面角的大小为 $\frac{π}{6}$ ？

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27. 如图，在四棱锥 $S - A B C D$ 中，底面 $A B C D$ 是梯形， $A B / / C D$ ， $∠ B A D = 90 °$ ， $C D = 2 A B = 2 A D = 2$ ，侧面 $S C D$ 是等边三角形，侧面 $S B C$ 是等腰直角三角形， $S B = B C$ .

(1)、求证： $S B ⊥$ 平面 $A B C D$ ；

(2)、若 $P$ 是棱 $S C$ 上的一点，且 $S A / /$ 平面 $P B D$ .求平面 $P B D$ 与平面 $A B C D$ 所成二面角的余弦值.

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28. 如图，四棱锥 $P - A B C D$ 的底面 $A B C D$ 为平行四边形，平面 $P A B ⊥$ 平面 $P B C$ ， $P B = 2 P C = 2$ ， $A B = A P$ ， $M$ ， $N$ 分别为 $B P$ ， $A D$ 的中点，且 $P C ⊥ M N$ ．

(1)、证明： $P C ⊥ A D$ ；

(2)、若 $△ A B P$ 为等边三角形，求直线 $M N$ 与平面 $P A C$ 所成角的正弦值．

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29. 如图，在三棱锥 $A - B C D$ 中，平面 $A B D ⊥$ 平面 $B C D$ ， $A B = A D$ ， $O$ 为 $B D$ 的中点.

(1)、证明： $B C ⊥ A O$ ；

(2)、若 $△ O C D$ 是边长为1的等边三角形，且 $O A = 1$ ，则在线段 $A D$ 上是否存在一动点 $E$ ，使得二面角 $E - B C - D$ 的大小为45°？若存在，请找出点 $E$ 的位置；若不存在，请说明理由.

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30. 如图，在三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中，AC＝BC，四边形 $A B B_{1} A_{1}$ 是菱形， $∠ A_{1} A B = 120 °$ ，点D在棱 $C C_{1}$ 上，且 $\vec{C D} = λ \vec{C C_{1}}$ ．

(1)、若 $A D ⊥ B_{1} C$ ，证明：平面 $A B_{1} C ⊥$ 平面ABD．

(2)、若 $A B = B_{1} C = \sqrt{2} A C$ ，是否存在实数 $λ$ ，使得平面 $A B_{1} C$ 与平面ABD所成得锐二面角的余弦值是 $\frac{1}{7}$ ？若存在，求出 $λ$ 的值；若不存在，请说明理由．

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