【备考2024】2023年高考数学新高考一卷真题变式分层精准练：第17题

试卷更新日期：2023-08-31 类型：二轮复习

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一、原题

1. 已知在△ABC中，A+B=3C，2sin(A−C)=sinB.

(1)、求sinA；

(2)、设AB=5，求AB边上的高.

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二、基础

2. 在 $△ A B C$ 中，内角 $A ， B ， C$ 所对的边分别为 $a ， b ， c$ ，已知 $t a n B = \sqrt{3} ， c o s C = \frac{1}{3}$ ，且 $b = 3 \sqrt{6}$ .

(1)、求 $c o s A$ 的值；

(2)、求 $△ A B C$ 的面积；

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3. 记 $△ A B C$ 的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，且 $(2 b - c) c o s A = a c o s C$ ．

(1)、求角 $A$ 的大小；

(2)、设 $B C$ 边上的高 $A D = 1$ ，求 $△ A B C$ 面积的最小值．

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4. 如图，在平面四边形ABCD中， $A C = 4$ ， $B C ⊥ C D$ ．

(1)、若 $A B = 2$ ， $B C = 3$ ， $C D = \sqrt{15}$ ，求△ACD的面积；

(2)、若 $∠ B = \frac{2 π}{3}$ ， $∠ D = \frac{π}{6}$ ，求 $(\frac{\sqrt{3}}{6} + \frac{1}{2}) A D - B C$ 的最大值．

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5. 在 $△ A B C$ 中，角 $A$ ， $B$ ， $C$ 的对边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，且 $(a^{2} + b^{2} - c^{2}) s i n C = \frac{\sqrt{3}}{2} a b$ .

(1)、求角 $C$ 的大小；

(2)、若 $C > \frac{π}{4}$ ， $c = 5$ ， $△ A B C$ 的周长为12，求 $△ A B C$ 的面积.

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6. 在 $△ A B C$ 中， $A ， B ， C$ 的对边分别为 $a ， b ， c$ ，且满足 $2 c s i n B = (2 a + c) t a n C$ .

(1)、求 $B$ ；

(2)、若 $b = \sqrt{3}$ ，求 $a + 2 c$ 的取值范围.

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7. 记 $△ A B C$ 的内角 $A ， B ， C$ 的对边分别为 $a ， b ， c$ ，分别以 $a ， b ， c$ 为边长的三个正三角形的面积依次为 $S_{1} ， S_{2} ， S_{3}$ ，已知 $S_{1} + S_{2} - S_{3} = \sqrt{3} ， s i n C = \frac{\sqrt{5}}{5}$ .

(1)、求 $△ A B C$ 的面积；

(2)、若 $s i n A s i n B = \frac{\sqrt{5}}{3}$ ，求 $c$ .

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8. 在 $△ A B C$ 中，角 $A ， B ， C$ 的对边分别是 $a ， b ， c$ ， $b c o s \frac{A}{2} = a s i n B$ ， $B C = 3$ ，如图所示，点D在线段AC上，满足 $A B = A D$ .

(1)、求A的值；

(2)、若 $B D = 2 C D$ ，求 $\vec{A B} \cdot \vec{C B}$ 的值.

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三、提高

9. 在 $△ A B C$ 中， $A D$ 为 $△ A B C$ 的角平分线，且 $A D = 2$ .

(1)、若 $∠ B A C = \frac{2 π}{3}$ ， $A B = 3$ ，求 $△ A B C$ 的面积；

(2)、若 $B D = 3$ ，求边 $A C$ 的取值范围.

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10. 在 $△ A B C$ 中， $a ， b ， c$ 分别是内角 $A ， B ， C$ 的对边， $s i n^{2} A + s i n A s i n C + s i n^{2} C + c o s^{2} B = 1$ .

(1)、求角 $B$ 的大小；

(2)、若 $a = 5 ， b = 7$ ，求 $s i n C$ .

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11. 在 $△ A B C$ 中，设角A，B，C的对边长分别为a，b，c.

(1)、若 $B = \frac{π}{4}$ ， $C = \frac{π}{6}$ ， $a = \sqrt{6} + \sqrt{2}$ ，求 $△ A B C$ 的周长；

(2)、若点D是 $B C$ 边上一点，且 $C D = 2$ ， $B D = 1$ ， $b^{2} + 2 c^{2} = 9$ ，求 $A D$ 的长.

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12. 在 $△ A B C$ 中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足 $2 b c o s C = 2 a - c$ ．

(1)、若 $△ A B C$ 外接圆的半径为 $\sqrt{3}$ ，且AC边上的中线长为 $\frac{\sqrt{17}}{2}$ ，求 $△ A B C$ 的面积；

(2)、 $△ A B C$ 的外心O、重点G、垂心H依次位于同一直线上，这条直线叫欧拉线，证明：
（i） $\vec{O G} = \frac{1}{3} (\vec{O A} + \vec{O B} + \vec{O C})$ ；

（ii） $\vec{O H} = 3 \vec{O G}$ ．

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13. 如图，在 $△ A B C$ 中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c， $a = 3$ ， $b c = a^{2} - b^{2} - c^{2}$ ．

(1)、求 $∠ B A C$ ；

(2)、过点A作 $A D ⊥ A B$ ，交线段 $B C$ 于点 $D$ ，且 $A D = D C$ ，求 $A D$ ．

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14. 已知 $△ A B C$ 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c， $\sqrt{3} c = 2 a c o s (B - \frac{π}{6})$ ．

(1)、求A的值；

(2)、若 $c = 2 ， b = 3$ ， BE为边AC的高，AD为边BC的中线，求 $\vec{A D} \cdot \vec{B E}$ 的值．

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15. 在① $a s i n C = \sqrt{3} c c o s A$ ， ② $b^{2} + c^{2} - a^{2} = b c$ ， ③ $\sqrt{3} s i n A - c o s A = 1$ 三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答．
问题：已知 $a$ ， $b$ ， $c$ 分别为 $△ A B C$ 三个内角 $A$ ， $B$ ， $C$ 的对边，且____．

注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．

(1)、求 $A$ ；

(2)、若 $a = 2$ ，则 $△ A B C$ 的面积为 $\sqrt{3}$ ，求 $b$ ， $c$ ．

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16. 在① $f (x) = \vec{a} \cdot \vec{b}$ ， ② $f (x) = \frac{{\vec{b}}^{2}}{{\vec{a}}^{2}}$ 这两个条件中选择一个，补充在下面的横线上，并解答问题．
已知向量 $\vec{a} = (s i n x + c o s x ， c o s x - s i n x) ， \vec{b} = (s i n x + c o s x ， s i n x + c o s x)$ ，且满足____．

注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．

(1)、求函数 $f (x)$ 的最小正周期；

(2)、在 $△ A B C$ 中，角 $A ， B ， C$ 所对的边分别为 $a ， b ， c$ ，若 $f (A) = 2 ， a = 3 \sqrt{5} ， b = 6 \sqrt{2}$ ，求 $△ A B C$ 的面积．

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17. 在 $△ A B C$ 中，内角 $A ， B ， C$ 所对的边分别为 $a ， b ， c$ ，已知 $a = 2$ ，请在① $(s i n A - s i n C)^{2} = s i n^{2} B - s i n A s i n C$ ；② $b c o s C + \frac{1}{2} c = 2$ ；
这两个条件中任选一个，完成下列问题：

注：如果选择两个条件分别解答，按第一个解答记分.

(1)、求角 $B$ ；

(2)、若 $b = 2$ ，点 $D$ 在 $B C$ 的延长线上，且 $B C = 2 C D$ ，求 $A D$ 的长.

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18. 记 $△ A B C$ 的内角 $A ， B ， C$ 的对边分别为 $a ， b ， c$ ，且 $b c o s A + \frac{1}{2} a = c$ .

(1)、求 $B$ ；

(2)、若 $c = 2 a$ ，且 $b = 3 \sqrt{3}$ ，求 $△ A B C$ 的面积.

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19. 已知函数 $f (x) = 2 s i n x c o s x + 2 \sqrt{3} s i n^{2} x - \sqrt{3}$

(1)、求函数 $f (x)$ 的最小正周期､单调递增区间及最值；

(2)、若 $A$ 为锐角 $△ A B C$ 的内角且 $f (A) = \sqrt{3} ， a = 2 \sqrt{3}$ ，求 $△ A B C$ 面积的最大值．

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四、巅峰

20. 记 $△ A B C$ 的内角 $A$ ， $B$ ， $C$ 的对边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，已知 $a^{2} + b^{2} - c^{2} = a b$ ， $c = 2 \sqrt{3}$ .

(1)、求 $∠ C$ 的大小；

(2)、 $D$ 为 $A B$ 上一点，从下列条件①、条件②中任选一个作为已知，求线段 $C D$ 的最大值.
条件①： $C D$ 为 $∠ C$ 的角平分线；条件②： $C D$ 为边 $A B$ 上的中线.

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21. 在① $a c o s B + b c o s A = 2 c c o s A$ ；② ${(s i n B - s i n C)}^{2} = s i n^{2} A - s i n B s i n C$ ；③ $S = \frac{1}{4} b (b s i n A + a t a n A c o s B)$ （其中 $S$ 为 $△ A B C$ 的面积）三个条件中任选一个补充在下面问题中，并作答.
在 $△ A B C$ 中，角 $A ， B ， C$ 的对边分别为 $a ， b ， c$ ， $a = 3 \sqrt{3}$ 且____.

(1)、求 $△ A B C$ 外接圆半径 $R$ ；

(2)、若 $△ A B C$ 为锐角三角形，求 $△ A B C$ 周长的取值范围.

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22. 已知 $△ A B C$ 的内角 $A$ ， $B$ ， $C$ 的对边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ， $c = a c o s B + \frac{\sqrt{3}}{3} b s i n A$ .

(1)、求 $A$ ；

(2)、若 $a = \sqrt{3}$ ，求 $B C$ 边上的中线 $A M$ 的最大值.

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23. 在 $△ A B C$ 中，内角 $A ， B ， C$ 所对的边分别为 $a ， b ， c$ ，其面积为 $S$ ，满足 $\sqrt{3} \vec{C A} \cdot \vec{C B} + 2 S = \sqrt{3} a b$ .

(1)、若 $c = 2$ ，求 $\sqrt{2} | \vec{C A} + \vec{C B} | - \vec{C A} \cdot \vec{C B}$ 的最大值；

(2)、若 $5 b^{2} - 3 a^{2} = 6$ ，求 $c$ 的最小值.

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24. 古希腊的数学家海伦在其著作《测地术》中给出了由三角形的三边长a，b，c计算三角形面积的公式： $S = \sqrt{p (p - a) (p - b) (p - c)}$ ，这个公式常称为海伦公式.其中， $p = \frac{1}{2} (a + b + c)$ .我国南宋著名数学家秦九韶在《数书九章》中给出了由三角形的三边长a，b，c计算三角形面积的公式： $S = \sqrt{\frac{1}{4} [c^{2} a^{2} - {(\frac{c^{2} + a^{2} - b^{2}}{2})}^{2}]}$ ，这个公式常称为“三斜求积”公式.

(1)、利用以上信息，证明三角形的面积公式 $S = \frac{1}{2} a c s i n B$ ；

(2)、在 $△ A B C$ 中， $a + c = 8$ ， $t a n \frac{B}{2} = \frac{s i n A}{2 - c o s A}$ ，求 $△ A B C$ 面积的最大值.

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25. 在平面四边形 $A B C D$ 中， $∠ A B C = 90 °$ ， $∠ C = 135 °$ ， $B D = \sqrt{5}$ ， $C D = \sqrt{2}$ .

(1)、求 $c o s ∠ C B D$ ；

(2)、若 $△ A B D$ 为锐角三角形，求 $△ A B D$ 的面积的取值范围.

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26. 已知 $△ A B C$ 的内角 $A$ ， $B$ ， $C$ 所对的边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，向量 $\vec{m} = (b ， a + c)$ ， $\vec{n} = (b - c ， c - a)$ ， $\vec{m} ⊥ \vec{n}$ .

(1)、若 $a$ =8， $\vec{A B} \cdot \vec{A C} = 8$ ， $D$ 为边 $B C$ 的中点，求中线 $A D$ 的长度；

(2)、若 $E$ 为边 $B C$ 上一点，且 $A E = 1$ ， $B E ： E C = 2 c ： b$ ，求 $2 b + c$ 的最小值.

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27. 在锐角 $△ A B C$ 中，角 $A ， B ， C$ 的对边分别是 $a ， b ， c$ ，且____.在下列两个条件中选择一个补充在横线上：① $b = c c o s A + \frac{1}{2} a$ ；② $s i n^{2} C = s i n^{2} 4 0^{∘} - s i n 4 0^{∘} s i n 8 0^{∘} + s i n^{2} 8 0^{∘}$

(1)、求出角 $C$ 的大小；

(2)、若角 $C$ 的平分线交边 $A B$ 于点 $D$ ，且 $c = 2$ ，求 $| C D |$ 的取值范围.

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28. 在① $b s i n B s i n C + c c o s A = c c o s^{2} B$ ， ② $\frac{s i n (\frac{C + B}{2})}{c o s B} = \frac{s i n A}{c o s (\frac{C - B}{2})}$ 这两个条件中任选一个，补充在下面问题中，并作答.
问题：记 $△ A B C$ 的内角 $A ， B ， C$ 的对边分别为 $a ， b ， c$ ，且____.
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.

(1)、证明： $A = 2 B$ ；

(2)、若 $\frac{a c}{b + c} = 1$ ，求 $c$ 的取值范围.

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29. 在锐角 $△ A B C$ 中，内角A、B、C所对边分别为a、b、c，且 $2 b s i n A = \sqrt{3} a$ ．

(1)、求角B；

(2)、求 $c o s A + c o s B + c o s C$ 的最大值．

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