【备考2024】2023年高考数学新高考一卷真题变式分层精准练：第15题

试卷更新日期：2023-08-31 类型：二轮复习

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一、原题

1. 已知函数f(x)=cosωx−1(ω>0)在区间[0，2π]有且仅有3个零点，则ω的取值范围是.

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二、基础

2. 若函数 $g (x) = s i n (ω x + \frac{π}{4}) - 1$ （ $ω > 0$ ）的图象在 $[0 ， \frac{π}{4}]$ 上恰有2个零点，则 $ω$ 的取值范围是.

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3. 若函数 $f (x) = \ln x + x - 3$ 的零点在区间 $(k ， k + 1)$ ， $k \in Z$ 内，则 $k =$ ．

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4. 函数 $f (x) = (1 + x^{2}) e^{x} - 1$ 的零点个数为.

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5. 已知函数 $f (x) = \sqrt{3} sin ω x + cos ω x (ω > 0)$ 的最小正周期为 $π$ ，则当 $x \in [0$ ， $\frac{π}{2}]$ 时函数 $f (x)$ 的一个零点是．

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6. 设函数 $f (x) = \sin ω x$ （ $ω > 0$ ），已知 $f (x)$ 在 $[0 ， 2 π]$ 有且仅有5个零点．则 $ω$ 的取值范围是．

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7. 若函数 $f (x) = s i n (ω x + \frac{π}{3}) (ω > 0)$ 在 $(- \frac{π}{6} ， \frac{π}{18})$ 上具有单调性，且 $x = \frac{2 π}{9}$ 为 $f (x)$ 的一个零点，则 $f (x)$ 在 $(- \frac{π}{6} ， \frac{π}{18})$ 上单调递（填增或减），函数 $y = f (x) - l g x$ 的零点个数为．

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8. 已知函数 $f (x) = l n x + a x^{2} + b$ ，若 $f (x)$ 在区间 $[2 ， 3]$ 上有零点，则 $a b$ 的最大值为.

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9. $f (x) = c o s (2 x + \frac{π}{2}) + c o s x$ 在 $[0 ， π]$ 的零点为.

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10. 已知函数 $f (x) = t (x^{3} + 4) - 3 x^{2}$ ，若 $f (x)$ 存在唯一的零点 $x_{0}$ ，则实数 $t$ 的取值范围是.

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三、提高

11. 已知函数 $f (x) = s i n ω x - \sqrt{3} c o s ω x (ω > 0)$ 在 $[0 ， 2 π]$ 上恰有3个零点.给出下列4个结论：① $\frac{7}{6} \leq ω \leq \frac{5}{3}$ ， ② $f (x)$ 在 $[\frac{5 π}{7} ， \frac{11 π}{10}]$ 上单调递减，③ $f (x)$ 在 $[\frac{π}{2} ， 2 π]$ 上恰有2个极值点，④函数 $g (x) = f (x) - \sqrt{2}$ 在 $[\frac{π}{2} ， 2 π]$ 上最多有3个零点.其中所有正确结论的序号是.

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12. 已知集合 $M = {α | f (α) = 0}$ ， $N = {β | g (β) = 0}$ .若存在 $α \in M$ ， $β \in N$ ，使 $| α - β | < n$ ，则称函数 $f (x)$ 与 $g (x)$ 互为“n度零点函数”.若函数 $f (x) = e^{2 - x} - 1$ 与函数 $g (x) = x^{2} - a e^{x}$ 互为“1度零点函数”，则实数a的取值范围为.

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13. 已知函数 $f (x) = - x^{2} + 2 x + a (a > 0)$ ，若 $f (f (x))$ 有三个零点，则 $a =$ .

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14. e是自然对数的底数， $f (x) = e^{c o s (2 π x)} + e^{2 x} - 2 e x - \frac{1}{e}$ 的零点为.

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15. 已知 $x_{1}$ 和 $x_{2}$ 是函数 $f (x) = x - 2 l n x + m$ 的两个不相等的零点，则 $\frac{x_{1} x_{2}}{x_{1} + x_{2}}$ 的范围是．

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16. 已知奇函数 $f (x) = s i n (ω x + φ) - c o s (ω x + φ) (ω > 0 ， | φ | < \frac{π}{2})$ 在 $(0 ， 2 π)$ 上有2个最值点和1个零点，则 $ω$ 的范围是.

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17. 设 $P = {α | f (α) = 0} ， Q = {β | g (β) = 0}$ ，若存在 $α \in R ， β \in R$ ，使得 $| α - β | < n$ ，则称函数 $f (x)$ 与 $g (x)$ 互为“n度零点函数”．若 $f (x) = l o g_{2} x - 1$ 与 $g (x) = x - a \cdot 2^{x}$ 互为“1度零点函数”，则实数a的取值范围为．

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18. 已知 $ω > 0$ ，函数 $f (x) = \sqrt{3} s i n (2 ω x + \frac{π}{6}) + 2 c o s^{2} (ω x + \frac{π}{12}) - 1$ 在 $(0 ， π)$ 上恰有3个零点，则 $ω$ 的取值范围为.

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19. 已知函数 $f (x) = e x^{2} - a e^{x}$ 有三个零点，则实数 $a$ 的取值范围是.

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四、巅峰

20. 已知函数 $f (x) = 6 c o s (ω x + φ) (ω > 0 ， 0 < φ < π)$ ，对 $\forall x \in R$ 都有 $f (x) \leq | f (\frac{π}{6}) |$ ，且 $x = - \frac{π}{6}$ 是f（x）的一个零点．若f（x）的周期大于π，则 $ω$ ＝；若 $y = f (x) - 6$ 在 $(\frac{π}{15} ， \frac{π}{6})$ 上有且只有一个零点，则 $ω$ 的最大值为．

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21. 设函数 $f (x) = {\begin{array}{l} x^{2} + 2 x ， x \leq 0 \\ a x - l n x ， x > 0 \end{array}$ ，若 $a = - 1$ ，则函数 $f (x)$ 有个零点；若函数 $f (x)$ 有且仅有两个零点，则实数 $a$ 的取值范围是 .

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22. 函数 $f (x) = s i n (ω x + \frac{π}{3}) (ω > 0)$ 的非负零点按照从小到大的顺序分别记为 $x_{1} ， x_{2} ， \dots$ ， $x_{n} ， \dots$ ．，若 $x_{3} - x_{2} = \frac{π}{2}$ ，则 $x_{n}$ 的值可以是．（写出符合条件的一个值即可）

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23. 已知函数 $f (x)$ $= {\begin{array}{l} e^{x} - 1 ， x \geq 0 ， \\ a x^{2} + x + a ， x < 0 \end{array}$ 恰有2个零点，则 $a =$ ．

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24. 已知函数 $f (x) = (a + 1) x^{2} + (a + 2) x l n x + l n^{2} x$ 有3个不同的零点，则实数 $a$ 的取值范围是.

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25. 已知函数 $f (x) = a (2^{x} - 1) - x (2^{x} + 1) (a > 0)$ 的零点为 $x_{1}$ 、 $x_{2}$ 、 $x_{3}$ ，且 $x_{1} < x_{2} < x_{3}$ ，则 $\frac{x_{1} + x_{2}}{e^{x_{3}}}$ 的最小值是.

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26. 已知函数 $f (x) = a l n x - (x - 1)^{2}$ $(a \in R)$ 存在两个极值点 $x_{1} ， x_{2}$ $(x_{1} < x_{2})$ ，给出下列四个结论：
①函数 $f (x)$ 有零点；
②a的取值范围是 $(- \frac{1}{2} ， + \infty)$ ；
③ $x_{2} > 1$ ；
④ $f (x_{2}) > 0$ ．
其中所有正确结论的序号是．

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27. 先将函数 $f (x) = c o s x$ 的图象向左平移 $\frac{2 π}{3}$ 个单位长度，再将所得图象上所有点的横坐标变为原来的 $\frac{1}{ω} (ω > 0)$ ，纵坐标不变，所得图象与函数 $g (x)$ 的图象关于x轴对称，若函数 $g (x)$ 在 $[0 ， \frac{2 π}{3}]$ 上恰有两个零点，且在 $[- \frac{π}{12} ， \frac{π}{12}]$ 上单调递增，则 $ω$ 的取值范围是．

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28. 已知函数 $f (x) = x^{a} - a^{x}$ $(x > 0$ 且 $a > 0)$ 有两个不同的零点，则 $a$ 的取值范围是

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