【备考2024】2023年高考数学新高考一卷真题变式分层精准练：第14题

试卷更新日期：2023-08-31 类型：二轮复习

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一、原题

1. 在正四棱台 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $A B = 2 ， A_{1} B_{1} = 1 ， A A_{1} = \sqrt{2}$ ，则该棱台的体积为.

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二、基础

2. 已知正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的棱长为2，E，F分别为棱 $A B ， B_{1} C_{1}$ 的中点，则三棱锥 $A_{1} - D E F$ 的体积为.

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3. 如图，在正四棱台 $A B C D - E F G H$ 中， $A B = 4 \sqrt{3} ， E F = 9 \sqrt{3}$ ，且四棱锥 $E - A B C D$ 的体积为48，则该四棱台的体积为.

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4. 多面体 $E - A B C D$ 的各顶点在半径为2的球面上， $A B C D$ 是矩形， $A B = 3 ， A D = 2$ ，则多面体体积的最大值为.

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5. 如图所示的图案，是由圆柱、球和圆锥组成，已知球的直径与圆柱底面的直径和圆柱的高相等，圆锥的顶点为圆柱上底面的圆心，圆锥的底面是圆柱的下底面，则图案中圆锥、球、圆柱的体积 $V_{圆锥} ： V_{球} ： V_{圆柱} =$ .

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三、提高

6. 已知四棱锥 $P - A B C D$ 的底面是边长为 $\sqrt{2}$ 的正方形，侧棱长均为 $\sqrt{5}$ ．若点 $A ， B ， C ， D$ 在圆柱的一个底面圆周上，点P在圆柱的另一个底面内，则该圆柱的体积为．

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7. 已知直四棱柱 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的棱长均为2， $∠ B A D = 60 °$ ，除面ABCD外，该四棱柱其余各个面的中心分别为点E，F，G，H，Ⅰ，则由点E，F，G，H，Ⅰ构成的四棱锥的体积为．

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8. 在正四棱锥 $S - A B C D$ 中， $M$ 为 $S C$ 的中点，过 $A M$ 作截面将该四棱锥分成上､下两部分，记上､下两部分的体积分别为 $V_{1} ， V_{2}$ ，则 $\frac{V_{2}}{V_{1}}$ 的最大值是.

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9. 在棱长为 $1$ 的正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $M$ 是底面 $A_{1}^{} B_{1}^{} C_{1}^{} D_{1}^{}$ 内动点，且 $B M / /$ 平面 $A D_{1} C$ ，当 $∠ D_{1} M D$ 最大时，三棱锥 $M - A D_{1} C$ 的体积为．

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10. 在正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $M ､ N$ 分别是棱 $A B ､ A D$ 的中点，过 $C_{1}$ 、 $M$ 、 $N$ 的平面 $α$ 把正方体截成两部分体积分别为 $V_{1} ， V_{2} (V_{1} \geq V_{2})$ ，则 $\frac{V_{1}}{V_{2}} =$ .

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11. 如图为三棱锥 $A - B C D$ 的平面展开图，其中 $A C = C D = C B = 2$ ， $A E ⊥ B D$ ，垂足为 $C$ ，则该三棱锥的体积为．

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12. 如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中，底面 $A B C D$ 为矩形， $A P ⊥$ 底面 $A B C D$ ， $E$ 为棱 $A B$ 上任意一点（不包括端点）， $F$ 为棱 $P D$ 上任意一点（不包括端点），且 $\frac{A E}{A B} = \frac{D F}{D P}$ ．已知 $A B = A P = 1$ ， $B C = 2$ ，当三棱锥 $C - B E F$ 的体积取得最大值时， $E F$ 与底面 $A B C D$ 所成角的正切值为．

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13. 正三棱锥 $P - A B C$ 的高为 $P O ， M$ 为 $P O$ 中点，过 $A M$ 作与棱 $B C$ 平行的平面，将三棱锥分为上下两部分，设上､下两部分的体积分别为 $V_{1} ､ V_{2}$ ，则 $\frac{V_{1}}{V_{2}} =$ .

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四、巅峰

14. 在三棱锥 $P - Q R S$ 中， $P Q = R S = P R = Q S = \sqrt{15}$ ， $P S = Q R = 3 \sqrt{2}$ ，则三棱锥 $P - Q R S$ 外接球的体积与三棱锥 $P - Q R S$ 的体积之比为.

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15. 在三棱锥P-ABC中， $P A ⊥ B C ， B C = 2 P A = 2 A B = 4 ， P C = 2 \sqrt{6}$ ，点M，N分别是PB，BC的中点，且 $A M ⊥ P C$ ，则平面AMN截三棱锥P-ABC的外接球所得截面的面积是．

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16. 在四棱锥 $P - A B C D$ 中，底面 $A B C D$ 是正方形， $P A ⊥$ 底面 $A B C D$ .若四棱锥 $P - A B C D$ 的体积为9，且其顶点均在球 $O$ 上，则当球 $O$ 的体积取得最小值时， $A P =$ ，此时球心 $O$ 到平面 $P B D$ 的距离是.

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17. 正四面体ABCD的棱长为3，P在棱AB上，且满足 $\vec{B A} = 3 \vec{B P}$ ，记四面体ABCD的内切球为球 $O_{1}$ ，四面体PBCD的外接球为球 $O_{2}$ ，则 $| O_{1} O_{2} | =$ ．

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18. 如图，正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的棱长为 $2$ ，若空间中的动点 $P$ 满足 $\vec{A P} = λ \vec{A B} + μ \vec{A D} + ν \vec{A A_{1}}$ ， $λ ， μ ， ν \in [0 ， 1]$ ，则下列命题正确的是．（请用正确命题的序号作答）
①若 $λ = μ = ν = \frac{1}{2}$ ，则点 $P$ 到平面 $A B_{1} C$ 的距离为 $\frac{2 \sqrt{3}}{3}$ ；
②若 $λ = μ = ν = \frac{1}{2}$ ，则二面角 $P - A B - C$ 的平面角为 $\frac{π}{4}$ ；
③若 $λ + μ + ν = \frac{1}{2}$ ，则三棱锥 $P - B D A_{1}$ 的体积为 $2$ ；
④若 $λ + μ - ν = \frac{1}{2}$ ，则点 $P$ 的轨迹构成的平面图形的面积为 $3 \sqrt{3}$ ．

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19. 在棱长为1的正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $M$ 为底面 $A B C D$ 的中心， $\vec{D_{1} Q} = λ \vec{D_{1} A_{1}}$ ， $λ \in (0 ， 1)$ ， $N$ 为线段 $A Q$ 的中点，则下列命题中正确的序号为.
① $C N$ 与 $Q M$ 共面；
②三棱锥 $A - D M N$ 的体积跟 $λ$ 的取值无关；
③当 $λ = \frac{1}{3}$ 时，过 $A ， Q ， M$ 三点的平面截正方体所得截面的周长为 $\frac{4 \sqrt{2} + 2 \sqrt{13}}{3}$ ；
④ $λ = \frac{1}{4}$ 时， $A M ⊥ Q M$ .

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20. 某数学兴趣小组的学生开展数学活动，将图①所示的三块直角三角板 $O A P ， O_{1} B_{1} C_{1} ， O_{2} B_{2} C_{2}$ 进行拼接､旋转等变化，进而研究体积与角的问题，其中 $O A = O_{1} B_{1} = O_{2} B_{2} = 3$ ， $O P = 5$ ，直角三角板 $O_{1} B_{1} C_{1}$ 与 $O_{2} B_{2} C_{2}$ 始终全等（假设直角三角板 $O_{1} B_{1} C_{1}$ 与 $O_{2} B_{2} C_{2}$ 的另两边的大小可变化）.现将直角三角板 $O_{1} B_{1} C_{1}$ 与 $O_{2} B_{2} C_{2}$ 放在平面 $α$ 内拼接，直角三角板 $O A P$ 的直角边 $O A$ 也放在平面 $α$ 内，并使 $O A$ 与 $O_{1} B_{1}$ 重合，将直角三角板 $O A P$ 绕着 $O A$ 旋转，使点 $P$ 在平面 $α$ 内的射影始终与点 $C_{1} ， C_{2}$ 重合于点 $D$ ，如图②，则当四棱锥 $P - O A D B_{2}$ 的体积最大时，直角三角板 $O_{1} B_{1} C_{1}$ 的内角 $∠ B_{1} O_{1} C_{1}$ 的余弦值为.

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