【备考2024】2023年高考数学新高考一卷真题变式分层精准练：第13题

试卷更新日期：2023-08-31 类型：二轮复习

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一、原题

1. 某学校开设了4门体育类选修课和4门艺术类选修课，学生需从这8门课中选修2门或3门课，并且每类选修课至少选修1门，则不同的选课方案共有种(用数字作答).

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二、基础

2. 将5名大学生分配到4个乡镇去当村干部，每个乡镇至少一名，则不同的分配方案有种（用数字作答）．

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3. “算24点”是颇受人们喜爱的数学益智小游戏，其规则如下：取四张写有整数1~10的卡片，对卡片上的数字运用加减乘除（可添加括号）算出24即可，每张卡片都必须用上且只能使用1次.如取出的四张卡片分别是2、4、6、10，那么算式可为 $2 \times 4 + 6 + 10 = 24$ 或者 $(10 - 2 - 4) \times 6 = 24$ 等.甲同学对“算24点”有着浓厚的兴趣，他发现有的数字组合能轻松算出24，有的数字组合则无法算出24，他准备通过穷举法（即从1，1，1，1到10，10，10，10的所有组合进行逐一尝试，注：数字完全相同但顺序不同视为同一种组合）来研究哪些组合可以算出24，那么甲同学需要研究的数字组合总共有种.（用具体数字作答）

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4. 某市的有线电视可以接收中央台12个频道，本地台8个频道和其他省市40个频道的节目.若有3个频道正在转播同一个节目，其余频道正在播放互不相同的节目，则一台电视可以选看的不同节目共有个.

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5. 在数学中，有一个被称为自然常数（又叫欧拉数）的常数 $e \approx 2.71828$ ．小明在设置银行卡的数字密码时，打算将自然常数的前6位数字2，7，1，8，2，8进行某种排列得到密码．如果排列时要求两个2相邻，两个8不相邻，那么小明可以设置的不同密码共有个．

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6. 现有甲、乙、丙、丁在内的6名同学在比赛后合影留念，若甲、乙二人必须相邻，且丙、丁二人不能相邻，则符合要求的排列方法共有种．（用数字作答）

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三、提高

7. 如图，一圆形信号灯分成A，B，C，D四块灯带区域，现有4种不同的颜色供灯带使用，要求在每块灯带里选择1种颜色，且相邻的2块灯带选择不同的颜色，则不同的信号总数为.

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8. 今年春季流感爆发期间，某医院准备将2名医生和4名护士分配到两所学校，给学校老师和学生接种流感疫苗．若每所学校分配1名医生和2名护士，则不同的分配方法数为．

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9. 如图，现要对某公园的4个区域进行绿化，有5种不同颜色的花卉可供选择，要求有公共边的两个区域不能用同一种颜色的花卉，共有种不同的绿化方案（用数字作答）.

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10. 受新冠病毒肺炎影响，某学校按照上级文件精神，要求错峰放学去食堂吃饭，高三年级一层楼有四个班排队，甲班不能排在最后，且乙、丙班必须排在一起，则这四个班排队吃饭不同方案有种（用数字作答）．

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11. 为推动黄河流域生态保护和高质量发展，某市环保局派出4个宣传小组，到黄河沿岸5个社区做环保宣讲活动，每个小组至少去1个社区，每个社区只安排1个小组，则不同的安排方法共有种（用数字作答）．

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12. 上级将5名农业技术员分派去3个村指导农作物种植技术，要求每村至少去一人，一人只能去一个村，则不同的分派种数有．（数字作答）

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13. 我们常常运用对同一个量算两次的方法来证明组合恒等式，如：从装有编号为 $1 ， 2 ， 3 ， \dots ， n + 1$ 的 $n + 1$ 个球的口袋中取出 $m$ 个球 $(0 < m \leq n ， m ， n \in N)$ ，共有 $C_{n + 1}^{m}$ 种取法.在 $C_{n + 1}^{m}$ 种取法中，不取 $1$ 号球有 $C_{n}^{m}$ 种取法；取 $1$ 号球有 $C_{n}^{m - 1}$ 种取法.所以 $C_{n}^{m} + C_{n}^{m - 1} = C_{n + 1}^{m}$ .试运用此方法，写出如下等式的结果： $C_{n}^{3} + C_{3}^{2} \cdot C_{n - 1}^{3} + C_{4}^{2} \cdot C_{n - 2}^{3} + ⋯ + C_{n - 2}^{2} \cdot C_{4}^{3} + C_{n - 1}^{2} =$ .

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14. 将数字1，2，3，4，5，6按第一行1个数，第二行2个数，第三行3个数的形式随机排列，设 $N_{i} (i = 1 ， 2 ， 3)$ 表示i行中最大的数，则满足 $N_{1} < N_{2} < N_{3}$ 的所有排列的个数是．（用数字作答）

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15. 大国泱泱，大潮滂滂．喜迎祖国73华诞，现有10张卡片，每张卡片上写有“我”“爱”“你”“中”“国”中两个不同的字，且任意两张卡片上的字不完全相同．将这10张卡片放入标号为“我”“爱”“你”“中”“国”的五个盒子中，“我”“爱”“你”“中”“国”依次编号为 $1 ， 2 ， 3 ， 4 ， 5$ ，规定写有i，j的卡片只能放在i号或j号盒子中．一种放法称为"好的"，如果1号盒子中的卡片数多于其他每个盒子中的卡片数．则"好的"放法共有种．

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四、巅峰

16. 为了做好新冠肺炎疫情常态化防控工作，推进疫苗接种进度，降低新冠肺炎感染风险，某医院准备将3名医生和6名护士分配到3所学校，设立疫苗接种点，免费给学校老师和学生接种新冠疫苗，若每所学校分配1名医生和2名护土，则不同的分配方法共有种．

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17. 设非空集合 $Q \subseteq M$ ，当 $Q$ 中所有元素和为偶数时（集合为单元素时和为元素本身），称 $Q$ 是 $M$ 的偶子集，若集合 $M = {1 ， 2 ， 3 ， 4 ， 5 ， 6 ， 7}$ ，则其偶子集 $Q$ 的个数为.

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18. 如图，圆形花坛分为 $4$ 部分，现在这 $4$ 部分种植花卉，要求每部分种植 $1$ 种，且相邻部分不能种植同一种花卉，现有 $5$ 种不同的花卉供选择，则不同的种植方案共有种（用数字作答）

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19. 2013年国家提出“一带一路”发展战略，共建“一带一路”致力于亚欧非大陆及附近海洋的互联互通，建立和加强沿线各国互联互通伙伴关系，构建全方位､多层次､复合型的互联互通伙伴关系，实现沿线各国多元､自主､平衡､可持续的发展，为积极响应国家号召，中国的5家企业，对“一带一路”沿线的3个国家进行投资，每个国家至少一个企业，则有种不同的方案.

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20. 某系列智能手机玻璃版有“星河银”、“罗兰紫”、“翡冷翠”、“亮黑色”四种颜色.若甲、乙等四位市民准备分别购买一部颜色互不相同的同一型号玻璃版的该系列手机，若甲购买“亮黑色”或“星河银”，则乙不购买“罗兰紫”，则这四位市民不同的购买方案有种.

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21. 某校 $13$ 名学生参加军事冬令营活动，活动期间各自扮演一名角色进行分组游戏，角色按级别从小到大共 $9$ 种，分别为士兵、排长、连长、营长、团长、旅长、师长、军长和司令.游戏分组有两种方式，可以 $2$ 人一组或者 $3$ 人一组.如果 $2$ 人一组，则必须角色相同；如果 $3$ 人一组，则 $3$ 人角色相同或者 $3$ 人为级别连续的 $3$ 个不同角色.已知这 $13$ 名学生扮演的角色有 $3$ 名士兵和 $3$ 名司令，其余角色各 $1$ 人，现在新加入 $1$ 名学生，将这 $14$ 名学生分成 $5$ 组进行游戏，则新加入的学生可以扮演的角色的种数为.

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22. 已知六个函数：① $y = \frac{1}{x^{2}}$ ；② $y = \cos x$ ；③ $y = x^{\frac{1}{2}}$ ；④ $y = \arcsin x$ ；⑤ $y = \lg (\frac{1 + x}{1 - x})$ ；⑥ $y = x + 1$ ，从中任选三个函数，则其中既有奇函数又有偶函数的选法共有种.

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