【备考2024】2023年高考数学新高考一卷真题变式分层精准练：第11题

试卷更新日期：2023-08-31 类型：二轮复习

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一、原题

1. 已知函数f(x)的定义域为R，f(xy)=y²f(x)+x²f(y)，则（）

A、f(0)=0 B、f(1)=0 C、f(x)是偶函数 D、x=0为f(x)的极小值点

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二、基础

2. 已知函数 $f (x)$ 的定义域为 $R$ ， $f (x + \frac{1}{2})$ 为奇函数，且对于任意 $x ∈ R$ ，都有 $f (2 - 3 x) = f (3 x)$ ，则（）

A、 $f (x + 1) = f (x)$ B、 $f (- \frac{1}{2}) = 0$ C、 $f (x + 2)$ 为偶函数 D、 $f (x - \frac{1}{2})$ 为奇函数

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3. 已知函数 $f (x)$ ， $g (x)$ 的定义域均为 $R$ ，且 $f (x) - g (1 + x) = 2$ ， $g (x) + f (3 - x) = 4$ ，若 $g (x)$ 为偶函数， $f (3) = 1$ ，则（）

A、 $g (2) = 1$ B、 $g (4) = - 2$ C、 $g (x) = g (8 + x)$ D、 $\sum_{k = 1}^{28} g (k) = 26$

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4. 定义在 $R$ 上的函数 $f (x)$ 满足 $f (x + y) = f (x) + f (y)$ ，当 $x < 0$ 时， $f (x) > 0$ ，则函数 $f (x)$ 满足（）

A、 $f (0) = 0$ B、 $y = f (x)$ 是奇函数 C、 $f (x)$ 在 $[m ， n]$ 上有最大值 $f (n)$ D、 $f (x - 1) > 0$ 的解集为 $(1 ， + \infty)$

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5. 若函数 $f (x)$ 同时满足：①对于定义域上的任意x，恒有 $f (x) + f (- x) = 0$ ；②若对于定义域上的任意 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ，当 $x_{1} \neq x_{2}$ 时，恒有 $\frac{f (x_{1}) - f (x_{2})}{x_{1} - x_{2}} < 0$ ，则称函数 $f (x)$ 为“理想函数”.下列四个函数中，能被称为“理想函数”的有（）

A、 $f (x) = \frac{1}{x}$ B、 $f (x) = - x^{3}$ C、 $f (x) = | x |$ D、 $f (x) = {\begin{array}{l} - x^{2} ， x \geq 0 \\ x^{2} ， x < 0 \end{array}$

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6. 已知函数 $f (x)$ 的定义域为 $(0 ， + ∞) ， f (x) + f (y) = f (x y) + 1$ ，当 $x > 1$ 时， $f (x) > 1$ ，则（）

A、 $f (1) = 1$ B、 $f (f (2)) < 1$ C、 $f (x)$ 是增函数 D、当 $0 < x < 1$ 时， $f (x) < 1$

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7. 已知函数 $f (x)$ 的定义域为 $R$ ，满足 $f (x + 3) + f (x + 1) = 0$ ，且 $f (x + 1)$ 为偶函数，则（）

A、 $f (2) = 0$ B、 $f (x)$ 为偶函数 C、 $f (x)$ 为周期函数 D、 $f (x + 4)$ 为偶函数

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8. 已知函数 $y = f (x)$ 满足：对于任意实数 $x ， y \in R$ ，都有 $2 f (x) f (y) = f (x + y) + f (x - y)$ ，且 $f (1) = - 1$ ，则（）

A、 $f (x)$ 是奇函数 B、 $f (x)$ 是偶函数 C、 $(\frac{1}{2} ， 0)$ 是曲线 $y = f (x)$ 的一个对称中心 D、 $f (2022) = 1$

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9. 定义在 $R$ 上的函数 $f (x)$ 满足 $f (x + y) = f (x) + f (y)$ ，当 $x < 0$ 时， $f (x) > 0$ ，则 $f (x)$ 满足（）

A、 $f (0) = 0$ B、 $y = f (x)$ 是奇函数 C、 $f (x)$ 在 $[m ， n]$ 上有最大值 $f (n)$ D、 $f (x - 1) > 0$ 的解集为 $(- ∞ ， 1)$

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三、提高

10. 已知定义在 $R$ 上的函数 $f (x)$ ，对于给定集合 $A$ ，若 $\forall x_{1} ， x_{2} \in R$ ，当 $x_{1} - x_{2} \in A$ 时都有 $f (x_{1}) - f (x_{2}) \in A$ ，则称 $f (x)$ 是“ $A$ 封闭”函数.则下列命题正确的是（）

A、 $f (x) = x^{2}$ 是“ $[- 1 ， 1]$ 封闭”函数 B、定义在 $R$ 上的函数 $f (x)$ 都是“ ${0}$ 封闭”函数 C、若 $f (x)$ 是“ ${1}$ 封闭”函数，则 $f (x)$ 一定是“ ${k}$ 封闭”函数 $(k \in N^{*})$ D、若 $f (x)$ 是“ $[a ， b]$ 封闭”函数 $(a ， b \in N^{*})$ ，则 $f (x)$ 不一定是“ ${a b}$ 封闭”函数

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11. 定义区间 $[a ， b]$ ， $(a ， b)$ ， $(a ， b]$ ， $[a ， b)$ 的长度为 $b - a$ .如果一个函数的所有单调递增区间的长度之和为常数 $m$ （其中 $m \in (0 ， e]$ ， $e$ 为自然对数的底数），那么称这个函数为“ $m$ 函数”，则（）

A、 $f (x) = x^{3} + l n x$ 是“ $m$ 函数” B、 $g (x) = \frac{l n x}{x}$ 是“ $m$ 函数” C、 $h (x) = l n x - e^{x}$ 是“ $m$ 函数”，且 $m e^{m} = 1$ D、 $φ (x) = \frac{l n x}{e^{x}}$ 是“ $m$ 函数”，且 $m l n m = 1$

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12. 已知函数 $f (x)$ 和 $g (x)$ 及其导函数 $f^{'} (x)$ 和 $g^{'} (x)$ 的定义域均为 $R$ ，若 $f (x + 3) = g (- x) + 4$ ， $f^{'} (x) + g^{'} (1 + x) = 0$ ，且 $g (2 x + 1)$ 为偶函数，则（）

A、 $g^{'} (1) = 0$ B、函数 $f (x)$ 的图象关于直线 $x = 2$ 对称 C、函数 $f^{'} (x)$ 的图象关于直线 $x = 1$ 对称 D、 $\sum_{k = 1}^{2023} f^{'} (k) g^{'} (k) = 1$

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13. 对于定义在区间 $D$ 上的函数 $f (x)$ ，若满足： $\forall x_{1}$ ， $x_{2} \in D$ 且 $x_{1} < x_{2}$ ，都有 $f (x_{1}) \leq f (x_{2})$ ，则称函数 $f (x)$ 为区间 $D$ 上的“非减函数”，若 $f (x)$ 为区间 $[0 ， 2]$ 上的“非减函数”，且 $f (2) = 2$ ， $f (x) + f (2 - x) = 2$ ，又当 $x \in [\frac{3}{2} ， 2]$ 时， $f (x) \leq 2 (x - 1)$ 恒成立，下列命题中正确的有（）

A、 $f (1) = 1$ B、 $\exists x_{0} \in [\frac{3}{2} ， 2]$ ， $f (x_{0}) < 1$ C、 $f (\frac{1}{4}) + f (\frac{2}{3}) + f (\frac{25}{18}) + f (\frac{7}{4}) = 4$ D、 $\forall x \in [0 ， \frac{1}{2}]$ ， $f (f (x)) \leq - f (x) + 2$

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14. 已知函数 $f (x)$ ， $g (x)$ 的定义域均为 $R$ ， $f (x)$ ， $g (x)$ 连续可导，它们的导函数分别为 $f^{^{'}} (x)$ ， $g^{'} (x)$ .若 $f (x)$ 的图象关于点 $(2 ， 0)$ 对称， $g^{'} (x) = c o s π x$ ，且 $g (1) = 0$ ， $f (x)$ 与 $g (x)$ 图象的交点分别为 $(x_{1} ， y_{1})$ ， $(x_{2} ， y_{2})$ ， $⋯$ ， $(x_{m} ， y_{m})$ ，则（）

A、 $y = f (x + 2)$ 是偶函数 B、 $f^{^{'}} (x)$ 的图象关于直线 $x = 2$ 对称 C、 $g (x)$ 的图象关于直线 $x = \frac{3}{2}$ D、 $\sum_{i = 1}^{m} (x_{i} + y_{i}) = 2 m$

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15. 已知 $f (x) = x^{3} + b x^{2} + x + d$ ， $b ， d \in R$ ，下列说法正确的是（）

A、存在 $b ， d$ 使得 $f (x)$ 是奇函数 B、任意 $b$ ､ $d ， f (x)$ 的图象是中心对称图形 C、若 $x_{1} ， x_{2}$ 为 $f (x)$ 的两个极值点，则 $x_{1}^{2} + x_{2}^{2} > 1$ D、若 $f (x)$ 在 $R$ 上单调，则 $- \sqrt{3} \leq b \leq \sqrt{3}$

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16. 设函数 $y = f (x)$ 的定义域为D，若存在常数a满足[﹣a，a] $\subseteq$ D，且对任意的 $x_{1}$ $\in$ [﹣a，a]，总存在 $x_{2}$ $\in$ [﹣a，a]，使得 $f (x_{1}) \cdot f (- x_{2}) = 1$ ，称函数 $f (x)$ 为P(a)函数，则下列结论中正确的有（）

A、函数 $f (x) = 3^{x}$ 是 $P (1)$ 函数 B、函数 $f (x) = x^{3}$ 是 $P (2)$ 函数 C、若函数 $f (x) = \log_{12} (x + t)$ 是 $P (2)$ 函数，则t=4 D、若函数 $f (x) = \tan x + b$ 是P( $\frac{π}{4}$ )函数，则b= $\pm \sqrt{2}$

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17. 记函数 $f (x)$ 与 $g (x)$ 的定义域的交集为I ．若存在 $x_{0} \in$ I ，使得对任意 $x \in$ I ，不等式 $[f (x) - g (x)] (x - x_{0}) \geq 0$ 恒成立，则称( $f (x)$ ， $g (x)$ )构成“M函数对”．下列所给的两个函数能构成“M函数对”的有（）

A、 $f (x) = \ln x$ ， $g (x) = \frac{1}{x}$ B、 $f (x) = e^{x}$ ， $g (x) = e x$ C、 $f (x) = x^{3}$ ， $g (x) = x^{2}$ D、 $f (x) = x + \frac{1}{x}$ ， $g (x) = 3 \sqrt{x}$

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四、巅峰

18. 定义在 $R$ 上的函数 $f (x)$ 满足： $f (2 x^{3} + 1)$ 的图象关于 $(0 ， 2)$ 对称， $f (4 - x) = f (x) + 4 (x - 2)$ ，则（）

A、 $f (x) + f (2 - x) = 4$ B、5是函数 $y = f (x) + 2 x - 4$ 的一个零点 C、 $f (2) = 0$ D、 $\sum_{k = 1}^{2023} f (k) s i n (\frac{k π}{2}) = 2024$ ，其中 $(k \in N_{+})$

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19. 把定义域为 $[0 ， + \infty)$ 且同时满足以下两个条件的函数 $f (x)$ 称为“类增函数”：（1）对任意的 $x \in [0 ， + \infty)$ ，总有 $f (x) \geq 0$ ；（2）若 $x \geq 0 ， y \geq 0$ ，则有 $f (x + y) \geq f (x) + f (y)$ 成立.下列说法错误的是（）

A、若 $f (x)$ 为“类增函数”，则 $f (0) = 0$ B、若 $f (x)$ 为“类增函数”，则 $f (x)$ 不一定是增函数 C、函数 $g (x) = {\begin{array}{l} 0 ， x \in Q \\ 1 ， x \notin Q \end{array}$ 在 $[0 ， + \infty)$ 上是“类增函数” D、函数 $g (x) = [x]$ 在 $[0 ， + \infty)$ 上不是“类增函数”（ $[x]$ 表示不大于x的最大整数）

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20. 若 $f (x)$ 满足对任意的实数a，b都有 $f (a + b) = f (a) f (b)$ ，且 $f (1) = 2$ ，则下列判断正确的有（）．

A、 $f (x)$ 是奇函数 B、 $f (x)$ 在定义域上单调递减 C、当 $x \in (0 ， + \infty)$ 时，函数 $f (x) > 1$ D、 $\frac{f (2)}{f (1)} + \frac{f (4)}{f (3)} + \frac{f (6)}{f (5)} + ⋯ + \frac{f (2018)}{f (2017)} + \frac{f (2020)}{f (2019)} + \frac{f (2022)}{f (2021)} = 2022$

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21. 已知定义在R上的函数 $f (x)$ 满足 $f (- x) = f (x)$ ， $f (2 - x) = - f (x)$ ，且当 $x \in (- 1 ， 0]$ 时， $f (x) = - 1 - x$ ，则（）

A、 $f (x)$ 的图像关于点 $(- 1 ， 0)$ 对称 B、 $f (x)$ 在区间 $[5 ， 6]$ 上单调递减 C、若关于x的方程 $f (x) = m$ 在区间 $[0 ， 6]$ 上的所有实数根的和为 $\frac{25}{3}$ ，则 $m = - \frac{2}{3}$ D、函数 $y = f (x) - l n | x |$ 有4个零点

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22. 函数 $f (x)$ 为定义在R上的奇函数，当 $x > 0$ 时， $f (x) = e^{- x} (x - 1)$ ，下列结论正确的有（）

A、当 $x < 0$ 时， $f (x) = e^{x} (x + 1)$ B、函数 $f (x)$ 有且仅有2个零点 C、若 $m \leq e^{- 2}$ ，则方程 $f (x) = m$ 在 $x > 0$ 上有解 D、 $\forall x_{1} ， x_{2} \in R$ ， $| f (x_{2}) - f (x_{1}) | < 2$ 恒成立

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