【备考2024】2023年高考数学新高考一卷真题变式分层精准练：第10题

试卷更新日期：2023-08-31 类型：二轮复习

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一、原题

1. 噪声污染问题越来越受到重视，用声压级来度量声音的强弱，定义声压级

L_{p} =

20 \times l g \frac{p}{p_{0}}

，其中常数

p_{0} (p_{0} > 0)

是听觉下限间值，

p

是实际声压. 下表为不同声源的声压级：

声源	与声源的距离/m	声压级/dB
燃油汽车	10	60~90
混合动力汽车	10	50～60
电动汽车	10	40

已知在距离燃油汽车、混合动力汽车、电动汽车 $10 m$ 处测得实际声压分别为 $p_{1} ， p_{2} ， p_{3}$ ，则（）

A、

p_{1} ⩾ p_{2}

B、

p_{2} > 10 p_{3}

C、

p_{3} = 100 p_{0}

D、

p_{1} ⩽ 100 p_{2}

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二、基础

2. 若 $a = l o g_{3} 2 + 1$ ， $b = s i n 2.2$ ， $c = 1 . 1^{1.1} + 1$ ，则（）

A、 $a < b$ B、 $b < c$ C、 $a < c$ D、 $b < a$

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3. 已知 $a ， b \in R ， 4^{a} = b^{2} = 9$ ，则 $2^{a - b}$ 的值可能为（）

A、 $\frac{8}{3}$ B、 $\frac{3}{8}$ C、24 D、 $\frac{1}{24}$

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4. 已知 $π$ 为圆周率， $e$ 为自然对数的底数，则（）

A、 $π^{e} < 3^{e}$ B、 $l o g_{π} e > l o g_{3} e$ C、 $π \cdot 3^{e - 2} < 3 \cdot π^{e - 2}$ D、 $π l o g_{3} e > 3 l o g_{π} e$

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5. 下列命题正确的是（）

A、 $\forall M ， N ， l o g_{a} (M + N) = l o g_{a} M + l o g_{a} N$ B、 $\exists M ， N ， l o g_{a} M \cdot l o g_{a} N = l o g_{a} (M N)$ C、 $\forall a ， b \in R ， l n (a b) = l n a + l n b$ ， D、 $\forall a > 0 ， b > 0 ， {a^{l g}}^{b} = {b^{l g}}^{a}$

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6. 若10^a＝4，10^b＝25，则（）

A、a+b＝2 B、b﹣a＝1 C、ab＞8lg²2 D、b﹣a＞lg6

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7. 已知 $a > 0$ ， $b > 0$ ， $a \log_{4} 2 + b \log_{16} \sqrt{2} = \frac{5}{16}$ ，则下列结论正确的是（）

A、 $4 a + b = 5$ B、 $4 a + b = \frac{5}{2}$ C、ab的最大值为 $\frac{25}{64}$ D、 $\frac{1}{a} + \frac{1}{b}$ 的最小值为 $\frac{18}{5}$

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三、提高

8. 已知实数 $a ， b$ ，满足 $a > b > 0 ， l n a l n b = 1$ ，则（）

A、 $a b > e^{2}$ B、 $l o g_{a} 2 < l o g_{b} 2$ C、 ${(\frac{1}{2})}^{a b + 1} < {(\frac{1}{2})}^{a + b}$ D、 $a^{a} b^{b} > a^{b} b^{a}$

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9. 下面叙述正确的有（）

A、不等式 $(2 x - 1)^{- \frac{2}{3}} > (x + 1)^{- \frac{2}{3}}$ 的解集为 $(0 ， 2)$ ； B、若函数 $f (x) = l g (x^{2} + a x + 1)$ 的值域为 $R$ ，则 $Δ = a^{2} - 4 \geq 0$ ； C、若函数 $f (x) = l g (x^{2} + a x + 1)$ 的定义域为 $R$ ，则 $Δ = a^{2} - 4 < 0$ ； D、函数 $f (x) = 4^{x} - 2^{x + 2} - 1$ 在 $[0 ， 2]$ 上单调递减．

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10. 预测人口的变化趋势有多种方法，“直接推算法”使用的公式是 $P_{n} = P_{0} (1 + k)^{n} (k > - 1)$ ，其中 $P_{n}$ 为预测期人口数， $P_{0}$ 为初期人口数， $k$ 为预测期内人口年增长率， $n$ 为预测期间隔年数，则（）

A、当 $k \in (- 1 ， 0)$ ，则这期间人口数呈下降趋势 B、当 $k \in (- 1 ， 0)$ ，则这期间人口数呈摆动变化 C、当 $k = \frac{1}{3} ， P_{n} \geq 2 P_{0}$ 时， $n$ 的最小值为3 D、当 $k = - \frac{1}{3} ， P_{n} \leq \frac{1}{2} P_{0}$ 时， $n$ 的最小值为3

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11. 已知 $a > 0 ， b > 0 ， a + b = 1$ ，则（）

A、 $\frac{1}{a} + \frac{1}{b} \leq 4$ B、 $2^{a} + 2^{b} \geq 2 \sqrt{2}$ C、 $l o g_{2} a + l o g_{2} b \leq - 2$ D、 $a^{2} + b^{2} \geq \frac{1}{2}$

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12. 已知 $a > 0 ， b > 0$ ，且 $a b = \frac{1}{4}$ ，则下列不等关系成立的是（）

A、 $\frac{1}{a} + \frac{1}{b} \geq 4$ B、 $\sqrt{a} + \sqrt{b} \geq \sqrt{2}$ C、 $l o g_{2} a \cdot l o g_{2} b \leq 1$ D、 $a + l n b \geq \frac{1}{2} - l n 2$

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13. 下列结论正确的是（）

A、 ${0.8}^{17} > {0.8}^{19} > 2^{- 19} > 0$ B、 $\log_{2} 3 > \log_{3} 4 > \log_{4} 5 > 1$ C、 $\log_{0.2} 6 < \log_{0.3} 6 < \log_{0.4} 6 < 0$ D、 $\sin \frac{31 π}{3} > \sin \frac{13 π}{4} > \sin (- \frac{29 π}{6})$

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14. 十六世纪中叶，英国数学家雷科德在《砺智石》一书中首先把“＝”作为等号使用，后来英国数学家哈利奥特首次使用“＜”和“＞”符号，不等号的引入对不等式的发展影响深远．若a，b， $c \in R$ ，则下列命题正确的是（）

A、若 $a b \neq 0$ 且 $a < b$ ，则 $\frac{1}{a} > \frac{1}{b}$ B、若 $a > b$ ， $0 < c < 1$ ，则 $c^{a} < c^{b}$ C、若 $a > b > 1$ ， $c > 1$ ，则 $l o g_{a} c < l o g_{b} c$ D、若 $a < b < - 1$ ， $c > 0$ ，则 ${(\frac{a}{b})}^{c} > {(\frac{b}{a})}^{c}$

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15. 已知 $a > 0$ ，且 $a \neq 1$ ，下列说法不正确的是（）

A、若 $M = N$ ，则 $l o g_{a} M = l o g_{a} N$ B、若 $l o g_{a} M = l o g_{a} N$ ，则 $M = N$ C、若 $l o g_{a} M^{2} = l o g_{a} N^{2}$ ，则 $M = N$ D、若 $M = N$ ，则 $l o g_{a} M^{2} = l o g_{a} N^{2}$

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四、巅峰

16. 已知 $a > 0$ ，且 $a + e^{b} = 2$ ，则（）

A、 $a + b \leq 1$ B、 $l n a + e^{b} \leq 1$ C、 $e^{a} + b \geq 2$ D、 $l n a - | b | \leq 0$

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17. 若 $6^{a} = 2 ， 6^{b} = 3$ ，则（）

A、 $\frac{b}{a} > 1$ B、 $a b < \frac{1}{4}$ C、 $a^{2} + b^{2} < \frac{1}{2}$ D、 $b - a > \frac{1}{5}$

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18. 下列四个命题是真命题的是（）

A、若 $f (x) = x^{2} - 2 m x + m + 2$ 在 $(- 1 ， 3)$ 上有两个零点，则m的取值范围为 $(2 ， \frac{11}{5})$ B、函数 $f (x) = l o g_{a} (2 x - 1) + 2$ （其中 $a > 0$ ，且 $a \neq 1$ ）的图像过定点 $(1 ， 2)$ C、函数 $f (x) = l o g_{2} (x^{2} - 2 x)$ 的增区间为 $(- \infty ， 1)$ D、已知 $f (x) = {\begin{array}{l} - x^{2} - a x - 5 ， x \leq 1 \\ \frac{a}{x} ， x > 1 \end{array}$ 在 $(- \infty ， + \infty)$ 上是增函数，则实数a的取值范围是 $[- 3 ， - 2]$

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19. 已知实数 $a$ ， $b$ 满足 $l o g_{3} a + l o g_{b} 3 = l o g_{3} b + l o g_{a} 4$ ，则下列关系式可能正确的是（）

A、 $\exists a ， b \in (0 ， + \infty)$ ，使 $| a - b | > 1$ B、 $\exists a ， b \in (0 ， + \infty)$ ，使 $a b = 1$ C、 $\forall a ， b \in (1 ， + \infty)$ ，有 $b < a < b^{2}$ D、 $\forall a ， b \in (0 ， 1)$ ，有 $b^{2} < a < b$

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20. 已知 $a > 0$ 且 $a \neq 1$ .下列选项中，满足 $M^{2} - 2 N$ 为定值（与a，x的取值均无关）的是（）

A、 $M = s i n a x + c o s a x$ ， $N = s i n a x c o s a x$ B、 $M = \sqrt{a + x} + \sqrt{a - x}$ ， $N = \sqrt{a^{2} - x^{2}}$ C、 $M = a^{x} + a^{- x}$ ， $N = \frac{1}{2} (a^{2 x} + a^{- 2 x})$ D、 $M = l o g_{a} x + l o g_{a} \frac{a}{x}$ ， $N = \frac{1}{2} l o g_{a} x l o g_{a} \frac{a}{x}$

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21. 若 $m > 0$ ， $n > \frac{1}{2}$ ，且 $m \cdot 2^{m} = 2 n (l o g_{2} n + 1) = 5$ ，则（）

A、 $m + l o g_{2} m < 3$ B、 $l o g_{2} n + 2 > \frac{5}{2 n}$ C、 $m = l o g_{2} n - 1$ D、 $m n = \frac{5}{2}$

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