【备考2024】2023年高考数学新高考一卷真题变式分层精准练：第8题

试卷更新日期：2023-08-31 类型：二轮复习

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一、原题

1. 已知 $s i n (α - β) = \frac{1}{3} ， c o s α s i n β = \frac{1}{6}$ ，则 $c o s (2 α + 2 β) =$ （）

A、 $\frac{7}{9}$ B、 $\frac{1}{9}$ C、 $- \frac{1}{9}$ D、 $- \frac{7}{9}$

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二、基础

2. $s i n \frac{π}{12} =$ （）

A、 $\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$ B、 $\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}$ C、 $2 - \sqrt{3}$ D、 $2 + \sqrt{3}$

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3. 已知 $t a n α = 2$ ，则 $c o s 2 α =$ （）

A、 $- \frac{3}{5}$ B、 $\frac{3}{5}$ C、 $- \frac{4}{5}$ D、 $\frac{4}{5}$

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4. 若 $t a n α = - \frac{1}{2}$ ，则 $t a n 2 α =$ （）

A、 $\frac{4}{5}$ B、 $- \frac{4}{5}$ C、 $\frac{4}{3}$ D、 $- \frac{4}{3}$

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5. 计算： $c o s 105 ° c o s 45 ° + s i n 255 ° s i n 135 ° =$ （）

A、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ B、 $- \frac{\sqrt{3}}{2}$ C、 $\frac{1}{2}$ D、 $- \frac{1}{2}$

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6. 已知 $0 < α < \frac{π}{2} < β < π$ ， $c o s α = \frac{3}{5}$ ， $s i n β = \frac{12}{13}$ ，则 $c o s (α + β) =$ （）

A、 $- \frac{63}{65}$ B、 $- \frac{33}{65}$ C、 $\frac{33}{65}$ D、 $\frac{63}{65}$

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7. 已知 $s i n (x + \frac{5 π}{12}) = \frac{\sqrt{3}}{2}$ ，则 $c o s (2 x + \frac{5 π}{6}) =$ （）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $- \frac{1}{2}$ C、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ D、 $- \frac{\sqrt{3}}{2}$

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8. 已知 $c o s (\frac{5 π}{12} + \frac{α}{2}) = \frac{\sqrt{5}}{5}$ ，则 $c o s (\frac{π}{6} - α)$ 的值为（）

A、 $\frac{1}{3}$ B、 $- \frac{1}{3}$ C、 $\frac{3}{5}$ D、 $- \frac{3}{5}$

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9. 在直角坐标系中，若角 $α$ 的终边绕原点O逆时针旋转 $\frac{π}{3}$ 得到角 $θ$ .已知角 $θ$ 的终边经过 $P (- \frac{3}{5} ， \frac{4}{5})$ ，则 $c o s α =$ （）

A、 $\frac{4 \sqrt{3} + 3}{10}$ B、 $\frac{4 \sqrt{3} - 3}{10}$ C、 $\frac{4 - 3 \sqrt{3}}{10}$ D、 $\frac{4 + 3 \sqrt{3}}{10}$

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三、提高

10. 若 $s i n θ + 2 c o s θ = \frac{\sqrt{10}}{2}$ ，则（）

A、 $t a n 2 θ = - \frac{3}{4}$ B、 $t a n 2 θ = \frac{3}{4}$ C、 $s i n 2 θ = - \frac{3}{5}$ D、 $s i n 2 θ = \frac{3}{5}$

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11. 已知 $c o s (x - \frac{π}{4}) = \frac{4}{5}$ ，则 $s i n 2 x =$ （）

A、 $\frac{7}{25}$ B、 $\frac{8}{25}$ C、 $\frac{9}{25}$ D、 $\frac{16}{25}$

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12. 已知 $t a n (α - π) = 2$ ，则 $\frac{c o s 2 α}{1 + s i n 2 α} =$ （）

A、 $- 3$ B、 $- \frac{1}{3}$ C、3 D、 $\frac{1}{3}$

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13. 在 $△ A B C$ 中，若 $s i n A + s i n B = \sqrt{3} s i n C$ ，则 $c o s 2 C$ 的最小值是（）

A、1 B、 $\frac{1}{3}$ C、 $- \frac{7}{9}$ D、－1

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14. 已知 $α ， β \in (0 ， \frac{π}{2})$ ， $c o s α = \frac{4}{5}$ ， $c o s (α + β) = \frac{3}{5}$ ，则 $s i n (3 α + β) =$ （）

A、 $\frac{7}{25}$ B、 $\frac{24}{25}$ C、 $\frac{3}{5}$ D、 $\frac{4}{5}$

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15. 已知锐角 $α$ 满足 $t a n 2 α = \frac{4}{3}$ ，则 $s i n^{2} α - 3 c o s (α + \frac{π}{2}) c o s α =$ （）

A、 $- 1$ B、 $- \frac{2}{5}$ C、 $\frac{4}{5}$ D、 $\frac{7}{5}$

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16. 已知函数 $f (x) = s i n (2 ω x + \frac{π}{6}) + 4 s i n^{2} ω x (ω \in N^{*})$ ，若关于x的方程 $f (x) = 2$ 在 $[0 ， \frac{π}{3}]$ 上有且只有一个解，则 $ω$ 为（）.

A、 $1$ B、 $2$ C、 $3$ D、 $4$

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17. 在 $△ A B C$ 中， $\vec{A B} \cdot \vec{A C} = 9 ， s i n B = c o s A s i n C ， S_{△ A B C} = 6$ ， P为线段 $A B$ 上的动点，且 $\vec{C P} = x \cdot \vec{\frac{C A}{| \vec{C A} |}} + y \cdot \frac{\vec{C B}}{| \vec{C B} |}$ ，则 $\frac{1}{x} + \frac{1}{y}$ 最小值为（）

A、 $\frac{7}{6} + \frac{\sqrt{3}}{3}$ B、 $\frac{7}{12} + \frac{\sqrt{3}}{3}$ C、 $\frac{7}{6}$ D、 $\frac{7}{12}$

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18. 公元9世纪，阿拉伯计算家哈巴什首先提出正割和余割概念，1551年奥地利数学家、天文学家雷蒂库斯在《三角学准则》中首次用直角三角形的边长之比定义正割和余割，在某直角三角形中，一个锐角的斜边与其邻边的比，叫做该锐角的正割，用sec（角）表示；锐角的斜边与其对边的比，叫做该锐角的余割，用csc（角）表示，则 $\sqrt{3} c s c 2 0^{∘} - s e c 2 0^{∘} =$ （）

A、 $\sqrt{3}$ B、 $2 \sqrt{3}$ C、4 D、8

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四、巅峰

19. 函数 $f (x) = c o s x - c o s 3 x$ 的最大值是（）．

A、1 B、 $\frac{8 \sqrt{3}}{9}$ C、2 D、 $2 \sqrt{2}$

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20. $(1 + t a n 2 1^{0}) (1 + t a n 2 2^{0}) (1 + t a n 2 3^{0}) (1 + t a n 2 4^{0})$ 的值是（）

A、16 B、8 C、4 D、2

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21. 若角 $α \in (0 ， \frac{π}{4})$ ， $β \in (0 ， π)$ ，且 $\frac{6 \sin α \cdot \cos α}{(1 + \sin α) (1 + \cos α)} \in N$ ， $\sin (α + β) = \frac{\sqrt{2}}{10}$ ，则 $β =$ （）

A、 $\frac{π}{6}$ B、 $\frac{π}{4}$ C、 $\frac{2 π}{3}$ D、 $\frac{3 π}{4}$

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22. 已知锐角 $△ A B C$ 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且 $c o s C = \frac{b - a}{2 a}$ ，则 $s i n B + s i n A$ 的取值范围是（）

A、 $(\frac{\sqrt{3}}{2} ， \frac{3}{2})$ B、 $(1 ， \sqrt{3}]$ C、 $(\sqrt{2} ， \frac{3}{2})$ D、 $(\sqrt{2} ， \frac{8 \sqrt{3}}{9}]$

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23. 圆 $O$ 为锐角 $△ A B C$ 的外接圆， $A C = 2 A B = 2$ ，点 $P$ 在圆 $O$ 上，则 $\vec{B P} \cdot \vec{A O}$ 的取值范围为（）

A、 $[- \frac{1}{2} ， 4)$ B、 $[0 ， 2)$ C、 $[- \frac{1}{2} ， 2)$ D、 $[0 ， 4)$

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24. 已知 $x \in (0 ， \frac{π}{2})$ ， $y \in (0 ， \frac{π}{2})$ ， $\frac{c o s x + s i n x}{c o s x - s i n x} = \frac{1 - c o s 2 y}{s i n 2 y}$ ，则下列判断正确的是（）

A、 $t a n (y - x) = 1$ B、 $t a n (y - x) = - 1$ C、 $t a n (y + x) = 1$ D、 $t a n (y + x) = - 1$

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25. 已知 $△ A B C$ 的内角A，B，C满足 $s i n 2 A + s i n (A - B + C) = s i n (C - A - B) + \frac{1}{2}$ ， $△ A B C$ 的面积S满足 $1 \leq S \leq 2$ ，记a，b，c分别为A，B，C所对的边，则下列不等式一定成立的是（）

A、 $a b (a + b) > 16 \sqrt{2}$ B、 $b c (b + c) > 8$ C、 $6 \leq a b c \leq 12$ D、 $12 \leq a b c \leq 24$

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26. 将函数 $f (x) = s i n^{2} (\frac{5 π}{12} - x) - s i n^{2} (x + \frac{π}{12})$ 的图象向左平移 $φ (φ > 0)$ 个单位长度后，得到函数 $g (x)$ 的图象，若 $g (x)$ 满足 $g (\frac{π}{6} - x) = g (\frac{π}{6} + x)$ ，则 $φ$ 的最小值为（）

A、 $\frac{π}{4}$ B、 $\frac{π}{2}$ C、 $\frac{2 π}{3}$ D、 $\frac{3 π}{4}$

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