【备考2024】2023年高考数学新高考一卷真题变式分层精准练：第7题

试卷更新日期：2023-08-31 类型：二轮复习

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一、原题

1. 记S_n为数列{a_n}的前n项和，设甲：{a_n}为等差数列；乙： ${\frac{S_{n}}{n}}$ 为等差数列，则（）

A、甲是乙的充分条件但不是必要条件 B、甲是乙的必要条件但不是充分条件 C、甲是乙的充要条件 D、甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件

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二、基础

2. “ $a_{3} + a_{9} = 2 a_{6}$ ”是“数列 ${a_{n}}$ 为等差数列”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分又不必要条件

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3. 已知等差数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ， $a_{3} + a_{4} = 4$ ，则 $S_{6} =$ （）

A、6 B、12 C、18 D、24

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4. 在项数为m的等差数列 ${a_{n}}$ 中，其前3项的和为12，最后3项的和为288，所有项的和为950，则m＝（）

A、16 B、17 C、19 D、21

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5. 已知等差数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，且 $S_{2} = 10$ ， $S_{3} = 18$ ，则过点 $P (n ， a_{n})$ 和 $Q (n + 2 ， a_{n + 2})$ $(n \in N ， n \geq 1)$ 的直线的斜率是（）

A、1 B、2 C、3 D、4

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6. 我国古代数学著作《九章算术》中有如下问题： “今有善走男，日增等里，首日行走一百里，九日共行一千二百六十里，问日增几何?"，该问题中， “善走男” 第5日所走的路程里数为（）

A、110 B、120 C、130 D、140

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7. $5 G$ 基站建设是众多“新基建”的工程之一，截至 $2022$ 年 $7$ 月底， $A$ 地区已经累计开通 $5 G$ 基站 $300$ 个，未来将进一步完善基础网络体系，加快推进 $5 G$ 网络建设．已知 $2022$ 年 $8$ 月该地区计划新建 $50$ 个 $5 G$ 基站，以后每个月比上一个月多建 $40$ 个，则 $A$ 地区到 $2023$ 年 $12$ 月底累计开通 $5 G$ 基站的个数为（）

A、5650 B、5950 C、6290 D、6590

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三、提高

8. 记数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，则“ $S_{3} = 3 a_{2}$ ”是“ ${a_{n}}$ 为等差数列”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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9. 已知等差数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n} ， a_{1} = \frac{1}{3} ， a_{2} + a_{5} = 4$ ，则 $S_{9}$ 等于（）

A、27 B、24 C、21 D、18

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10. 已知数列 ${a_{n}}$ 为等比数列， $a_{3} ， a_{7}$ 是函数 $f (x) = \frac{1}{3} x^{3} - 4 x^{2} + 4 x - 1$ 的极值点，设等差数列 ${b_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，若 $b_{5} = a_{5}$ ，则 $S_{9} =$ （）

A、-18或18 B、-18 C、18 D、2

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11. 已知数列 ${a_{n}}$ 的各项均为正数， $b_{n} = a_{n}^{2}$ ，数列 ${b_{n}}$ 为等差数列，其前n项和为 $S_{n}$ ， $b_{2} = 8$ ， $S_{10} = 150$ ，则 $a_{16} =$ （）

A、6 B、7 C、 $5 \sqrt{2}$ D、 $6 \sqrt{2}$

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12. 已知等差数列 ${a_{n}}$ 的首项 $a_{1} = 1$ ，公差 $d = 10$ ，在 ${a_{n}}$ 中每相邻两项之间都插入 $4$ 个数，使它们和原数列的数一起构成一个新的等差数列 ${b_{n}}$ ，则 $b_{2023} =$ （）

A、4043 B、4044 C、4045 D、4046

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13. 已知等比数列 ${a_{n}}$ 中，各项都是正数，且 $a_{1} ， \frac{1}{2} a_{3} ， 2 a_{2}$ 成等差数列，则 $\frac{a_{8} + a_{9}}{a_{7} + a_{8}} =$ （）

A、 $1 - \sqrt{2}$ B、 $1 + \sqrt{2}$ C、 $3 + 2 \sqrt{2}$ D、 $3 - 2 \sqrt{2}$

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14. 已知数列 ${a_{n}}$ 的各项均为正数，记数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和 $S_{n}$ ，且满足 $2 S_{n} = \frac{a_{n}^{2} + 1}{a_{n}} (n \in N^{*})$ ，则下列说法正确的是（）

A、 $a_{1} = 2$ B、 $a_{2021} \cdot a_{2022} < 1$ C、 $S_{n} = n$ D、 $\frac{1}{a_{1}} + \frac{1}{a_{2}} + ⋯ + \frac{1}{a_{n}} = \sqrt{n}$

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15. 等差数列 ${a_{n}}$ 的公差不为0，其前n和 $S_{n}$ 满足 $S_{n} \leq S_{10}$ ，则 $\frac{a_{1} + a_{2} + a_{3}}{3 a_{1}}$ 的取值范围为（）

A、 $(\frac{8}{9} ， \frac{9}{10})$ B、 $(\frac{9}{10} ， \frac{10}{11})$ C、 $[\frac{8}{9} ， \frac{9}{10}]$ D、 $[\frac{9}{10} ， \frac{10}{11}]$

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四、巅峰

16. 已知非常数列 ${a_{n}}$ 满足 $a_{n + 2} = \frac{α a_{n + 1} + β a_{n}}{α + β} (n \in N^{*})$ ，若 $α + β \neq 0$ ，则（）

A、存在 $α$ ， $β$ ，对任意 $a_{1}$ ， $a_{2}$ ，都有 ${a_{n}}$ 为等比数列 B、存在 $α$ ， $β$ ，对任意 $a_{1}$ ， $a_{2}$ ，都有 ${a_{n}}$ 为等差数列 C、存在 $a_{1}$ ， $a_{2}$ ，对任意 $α$ ， $β$ ，都有 ${a_{n}}$ 为等差数列 D、存在 $a_{1}$ ， $a_{2}$ ，对任意 $α$ ， $β$ ，都有 ${a_{n}}$ 为等比数列

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17. 设各项均为实数的等差数列 ${a_{n}}$ 和 ${b_{n}}$ 的前n项和分别为 $S_{n}$ 和 $T_{n}$ ，对于方程① $2023 x^{2} - S_{2023} x + T_{2023} = 0$ ， ② $x^{2} - a_{1} x + b_{1} = 0$ ， ③ $x^{2} + a_{2023} x + b_{2023} = 0$ ．下列判断正确的是（）

A、若①有实根，②有实根，则③有实根 B、若①有实根，②无实根，则③有实根 C、若①无实根，②有实根，则③无实根 D、若①无实根，②无实根，则③无实根

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18. 若数列 ${b_{n}}$ 、 ${c_{n}}$ 均为严格增数列，且对任意正整数n，都存在正整数m，使得 $b_{m} \in [c_{n} ， c_{n + 1}]$ ，则称数列 ${b_{n}}$ 为数列 ${c_{n}}$ 的“M数列”．已知数列 ${a_{n}}$ 的前n项和为 $S_{n}$ ，则下列选项中为假命题的是（）

A、存在等差数列 ${a_{n}}$ ，使得 ${a_{n}}$ 是 ${S_{n}}$ 的“M数列” B、存在等比数列 ${a_{n}}$ ，使得 ${a_{n}}$ 是 ${S_{n}}$ 的“M数列” C、存在等差数列 ${a_{n}}$ ，使得 ${S_{n}}$ 是 ${a_{n}}$ 的“M数列” D、存在等比数列 ${a_{n}}$ ，使得 ${S_{n}}$ 是 ${a_{n}}$ 的“M数列”

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19. 在等比数列 ${a_{n}}$ 中， $a_{n} > 0$ ( $n \in N_{+}$ )，公比 $q \in (0 ， 1)$ ，且 $a_{1} \cdot a_{5} + 2 a_{3} \cdot a_{5} + a_{2} \cdot a_{8} = 25$ ，又 $a_{3}$ 与 $a_{5}$ 的等比中项为 $2$ ， $b_{n} = l o g_{2} a_{n}$ ，数列 ${b_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，则当 $\frac{S_{1}}{1} + \frac{S_{2}}{2} + \cdot \cdot \cdot + \frac{S_{n}}{n}$ 最大时， $n$ 的值等于（）

A、8 B、8或9 C、16或17 D、17

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20. 设数列 ${a_{n}}$ 的前n项和为 $S_{n}$ ， $a_{1} = 1$ ， $a_{n} > 0$ ，且 $S_{n}^{2} - (2 n - 1) S_{n} = S_{n - 1}^{2} + (2 n - 1) S_{n - 1} (n \geq 2)$ ，则 $b_{n} = \frac{S_{n}^{2}}{2^{a_{n}}}$ 的最大值是（）

A、2 B、 $\frac{625}{512}$ C、 $\frac{81}{32}$ D、 $\frac{243}{64}$

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21. 已知数列 ${a_{n}}$ 满足 $a_{1} = - 5$ ，且 $(2 n - 7) a_{n + 1} = (2 n - 5) a_{n} + (2 n - 5) (2 n - 7)$ ，若不等式 $P \leq \frac{2 n^{2}}{a_{n}} \leq Q$ 对于任意正整数 $n \in N^{*}$ 成立，则 $Q - P$ 的最小值为（）

A、10 B、12 C、14 D、16

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22. 数列 ${a_{n}}$ 满足 $a_{1} = 2$ ， $a_{2} = - 4$ ，且对任意正整数 $n$ ，有 $a_{n + 2} = 2 a_{n + 1} - a_{n} + 1$ ，则 $a_{n}$ 的最小值为（）

A、-16 B、-17 C、-18 D、-19

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23. 已知无穷等差数列 ${a_{n}}$ 为递增数列， $S_{n}$ 为数列前n项和，则以下结论正确的是（）

A、 $S_{n + 1} > S_{n}$ B、数列 ${S_{n}}$ 有最大项 C、数列 ${n a_{n}}$ 为递增数列 D、存在正整数 $N_{0}$ ，当 $n > N_{0}$ 时， $a_{n} > 0$

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24. 已知正项数列 ${a_{n}}$ 的前n项和为 $S_{n}$ ， ${(a_{n} + 1)}^{2} = 4 S_{n}$ ，记 $b_{n} = S_{n} \cdot s i n \frac{n π}{2} + S_{n + 1} \cdot s i n \frac{(n + 1) π}{2}$ ，若数列 ${b_{n}}$ 的前n项和为 $T_{n}$ ，则 $T_{100} =$ （）

A、-400 B、-200 C、200 D、400

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25. 在归国包机上，孟晚舟写下 $《$ 月是故乡明，心安是归途 $》$ ，其中写道“过去的 $1028$ 天，左右踟躇，千头万绪难抉择；过去的 $1028$ 天，日夜徘徊，纵有万语难言说；过去的 $1028$ 天，山重水复，不知归途在何处 $.$ ”“感谢亲爱的祖国，感谢党和政府，正是那一抺绚丽的中国红，燃起我心中的信念之火，照亮我人生的至暗时刻，引领我回家的漫长路途，”下列数列 ${a_{n}} (n \in N^{*})$ 中，其前 $n$ 项和可能为 $1028$ 的数列是（）

A、 $a_{n} = 10 n$ B、 $a_{n} = \frac{1028}{4 n^{2} - 1}$ C、 $a_{n} = {(- 1)}^{n + 1} n^{2} - 1028$ D、 $a_{n} = 2^{n - 1} + \frac{1}{2}$

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