【备考2024】2023年高考数学新高考一卷真题变式分层精准练：第6题

试卷更新日期：2023-08-31 类型：二轮复习

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一、原题

1. 过点(0，−2)与圆x²+y²−4x−1=0相切的两条直线的夹角为α，则sinα=（）

A、1 B、 $\frac{\sqrt{15}}{4}$ C、 $\frac{\sqrt{10}}{4}$ D、 $\frac{\sqrt{6}}{4}$

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二、基础

2. 直线 $l ： x + m y + 1 - m = 0$ 与圆 $C ： {(x - 1)}^{2} + {(y - 2)}^{2} = 9$ 的位置关系是（）

A、相交 B、相切 C、相离 D、无法确定

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3. 圆 $C_{1} ： x^{2} + y^{2} = 4$ ，圆 $C_{2} ： (x - 3)^{2} + (y - 4)^{2} = 49$ ，则两圆的公切线有（）

A、0条 B、1条 C、2条 D、3条

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4. 直线 $y = 2 x - 1$ 与圆 $x^{2} + y^{2} + 2 x - 4 y - 4 = 0$ 交于A，B两点，则 $| A B | =$ （）

A、2 B、 $\sqrt{5}$ C、4 D、 $2 \sqrt{5}$

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5. 过定点 $P (3 ， 1)$ 作圆 $(x - 1)^{2} + y^{2} = 1$ 的切线．则切线的方程为（）

A、 $4 x - 3 y - 9 = 0$ B、 $4 x - 3 y - 3 = 0$ C、 $4 x - 3 y - 9 = 0$ 或 $y = 1$ D、 $4 x - 3 y - 3 = 0$ 或 $y = 1$

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6. 已知圆 $x^{2} + y^{2} + 4 x = 0$ 与直线 $y = k x + 1$ 相切，则（）

A、 $k = - \frac{3}{4}$ B、 $k = - \frac{4}{3}$ C、 $k = - \frac{3}{4}$ ，或 $k = 0$ D、 $k = - \frac{4}{3}$ ，或 $k = 0$

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7. 过直线 $x + y - 4 = 0$ 上一点向圆O： $x^{2} + y^{2} = 1$ 作两条切线，设两切线所成的最大角为 $α$ ，则 $s i n α =$ （）

A、 $\frac{4 \sqrt{2}}{9}$ B、 $\frac{2 \sqrt{2}}{9}$ C、 $\frac{\sqrt{7}}{4}$ D、 $\frac{\sqrt{7}}{8}$

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8. 已知圆 $C ： x^{2} + y^{2} - 2 a y = 0$ ，过圆 $C$ 内一点 $A (2 ， 1)$ 的直线被圆 $C$ 所截得的最短弦的长度为2，则 $a =$ （）

A、2 B、 $2 \sqrt{2}$ C、 $\frac{1}{2}$ D、3

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三、提高

9. 设点 $A (1 ， 0)$ ， $B (4 ， 0)$ ，圆 $C_{1}$ ： ${(x + \sqrt{3})}^{2} + {(y - 3)}^{2} = 4$ ，点 $P$ 满足 $2 | P A | = | P B |$ ，设点 $P$ 的轨迹为 $C_{2}$ ， $C_{1}$ 与 $C_{2}$ 交于点 $M$ ， $N$ ， $Q$ 为直线 $O C_{1}$ 上一点（ $O$ 为坐标原点），则 $\vec{M N} \cdot \vec{M Q} =$ （）

A、4 B、 $2 \sqrt{3}$ C、2 D、 $\sqrt{3}$

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10. 已知点 $P (0 ， 4)$ ，圆 $M ： {(x - 4)}^{2} + y^{2} = 16$ ，过点 $N (2 ， 0)$ 的直线 $l$ 与圆 $M$ 交于 $A$ ， $B$ 两点，则 $| \vec{P A} + \vec{P B} |$ 的最大值为（）

A、 $8 \sqrt{2}$ B、12 C、 $6 \sqrt{5}$ D、 $9 \sqrt{2}$

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11. 已知直线 $x c o s θ + y s i n θ = 1 (θ \in R)$ 与圆 $O$ ： $x^{2} + y^{2} = 4$ 交于 $A ， B$ 两点，则 $∠ A O B =$ （）

A、 $θ$ B、 $2 θ$ C、 $\frac{π}{3}$ D、 $\frac{2 π}{3}$

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12. 已知直线 $l ： 2 x - y - 2 = 0$ 被圆 $C ： x^{2} + y^{2} - 2 x + 4 y + m = 0$ 截得的线段长为 $\frac{2 \sqrt{5}}{5}$ ，则 $m =$ （）

A、2 B、4 C、 $\sqrt{5}$ D、5

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13. 已知点P在圆 ${(x - 5)}^{2} + {(y - 5)}^{2} = 16$ 上，点 $A (4 ， 0)$ ， $B (0 ， 2)$ ，则错误的是（）

A、点P到直线AB的距离小于10 B、点P到直线AB的距离大于2 C、当 $∠ P B A$ 最小时， $| P B | = 3 \sqrt{2}$ D、当 $∠ P B A$ 最大时， $| P B | = 3 \sqrt{2}$

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14. 已知 $M$ ， $N$ 为圆 $C$ ： $x^{2} + y^{2} - 2 x - 4 y = 0$ 上两点，且 $| M N | = 4$ ，点 $P$ 在直线 $l$ ： $x - y + 3 = 0$ 上，则 $| \vec{P M} + \vec{P N} |$ 的最小值为（）

A、 $2 \sqrt{2} - 2$ B、 $2 \sqrt{2}$ C、 $2 \sqrt{2} + 2$ D、 $2 \sqrt{2} - \sqrt{5}$

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15. 已知直线 $k x - y + 2 k = 0$ 与直线 $x + k y - 2 = 0$ 相交于点P，点 $A (4 ， 0)$ ， O为坐标原点，则 $t a n ∠ O A P$ 的最大值为（）

A、 $2 - \sqrt{3}$ B、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ C、1 D、 $\sqrt{3}$

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16. 如图是来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形，此图由三个半圆构成，三个半圆的直径分别为直角三角形ABC的斜边BC､直角边AB､AC，已知以直角边AC､AB为直径的半圆的面积之比为 $\frac{1}{4}$ ，记 $∠ A B C = θ$ ，则 $\frac{s i n θ - 2 c o s θ}{c o s θ + s i n θ}$ 的值为（）

A、-1 B、-2 C、0 D、1

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四、巅峰

17. 德国数学家米勒曾提出最大视角问题，这一问题一般的描述是：已知点 $A$ ， $B$ 是 $∠ M O N$ 的 $O N$ 边上的两个定点， $C$ 是 $O M$ 边上的一个动点，当 $C$ 在何处时， $∠ A C B$ 最大？问题的答案是：当且仅当 $△ A B C$ 的外接圆与边 $O M$ 相切于点 $C$ 时最大，人们称这一命题为米勒定理.已知点 $D$ ， $E$ 的坐标分别是 $(0 ， 1)$ ， $(0 ， m)$ ， $F$ 是 $x$ 轴正半轴上的一动点.若 $∠ D F E$ 的最大值为 $\frac{π}{6}$ ，则实数 $m$ 的值可以为（）

A、 $\frac{3}{2}$ B、2 C、3 D、4

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18. 在平面直角坐标系上，圆 $C ： x^{2} + {(y - 1)}^{2} = 1$ ，直线 $y = a (x + 1)$ 与圆 $C$ 交于 $A ， B$ 两点， $a \in (0 ， 1)$ ，则当 $△ A B C$ 的面积最大时， $a =$ （）

A、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ B、 $\sqrt{3} - 1$ C、 $2 - \sqrt{3}$ D、 $\frac{1}{2}$

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19. 已知点 $P$ 在直线 $l$ ： $3 x + 4 y - 20 = 0$ 上，过点 $P$ 的两条直线与圆 $O$ ： $x^{2} + y^{2} = 4$ 分别相切于 $A ， B$ 两点，则圆心 $O$ 到直线 $A B$ 的距离的最大值为（）

A、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ B、 $\frac{4 \sqrt{5}}{5}$ C、 $\sqrt{3}$ D、1

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20. 已知直线 $x + y + 2 = 0$ 分别与x轴，y轴交于A，B两点，点P在圆 $(x - 2)^{2} + y^{2} = 2$ 上，则 $△ A B P$ 面积的取值范围是（）

A、 $[2 ， 4]$ B、 $[2 ， 6]$ C、 $[\sqrt{2} ， 3 \sqrt{2}]$ D、 $[2 \sqrt{2} ， 3 \sqrt{2}]$

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21. 已知过点 $(1 ， \sqrt{3})$ 的动直线l与圆C： $x^{2} + y^{2} = 16$ 交于A，B两点，过A，B分别作C的切线，两切线交于点N．若动点 $M (c o s θ ， s i n θ) (0 \leq θ < 2 π)$ ，则 $| M N |$ 的最小值为（）

A、6 B、7 C、8 D、9

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22. 在平面直角坐标系 $x O y$ 中，已知圆 $O_{1} ： x^{2} + y^{2} = 1$ ， $O_{2} ： (x - 4)^{2} + y^{2} = 4$ ，动点 $P$ 在直线x+ $\sqrt{3} y$ -b=0上，过 $P$ 点分别作圆 $O_{1}$ ， $O_{2}$ 的切线，切点分别为 $A$ ， $B$ ，若存在点 $P$ 满足 $P B = 2 P A$ ，则实数 $b$ 的取值范围是（）

A、 $[- 12 ， \frac{28}{3}]$ B、 $(- \infty ， - \frac{28}{3}] ∪ [12 ， + \infty)$ C、 $[- \frac{20}{3} ， 4]$ D、 $(- \infty ， - \frac{20}{3}] ∪ [4 ， + \infty)$

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23. 在四棱锥 $P - A B C D$ 中， $P A ⊥$ 平面 $A B C D ， A P = 2$ ，点M是矩形 $A B C D$ 内（含边界）的动点，且 $A B = 1 ， A D = 3$ ，直线 $P M$ 与平面 $A B C D$ 所成的角为 $\frac{π}{4}$ ．记点M的轨迹长度为 $α$ ，则 $t a n α =$ （）

A、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ B、1 C、 $\sqrt{3}$ D、2

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24. 如图所示，将一圆的八个等分点分成相间的两组，连接每组的四个点得到两个正方形．去掉两个正方形内部的八条线段后可以形成一正八角星．设正八角星的中心为O，并且 $\overset{⇀}{O A} = \overset{⇀}{e_{1}}$ ， $\overset{⇀}{O B} = \overset{⇀}{e_{2}}$ ，若将点O到正八角是16个顶点的向量都写成 $λ \bar{e_{1}} + μ \bar{e_{2}}$ ， $λ 、 μ \in R$ 的形式，则 $λ + μ$ 的取值范围为（）

A、 $[- 2 \sqrt{2} ， 2]$ B、 $[- 2 \sqrt{2} ， 1 + \sqrt{2}]$ C、 $[- 1 - \sqrt{2} ， 1 + \sqrt{2}]$ D、 $[- 1 - \sqrt{2} ， 2]$

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