【备考2024】2023年高考数学新高考一卷真题变式分层精准练：第5题

试卷更新日期：2023-08-31 类型：二轮复习

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一、原题

1. 设椭圆 $C_{1} ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + y^{2} = 1 (a > 1) ， C_{2} ： \frac{x^{2}}{4} + y^{2} = 1$ 的离心率分别为 $e_{1} ， e_{2}$ .若 $e_{2} = \sqrt{3} e_{1}$ ，则 $a =$ （）

A、 $\frac{2 \sqrt{3}}{3}$ B、 $\sqrt{2}$ C、 $\sqrt{3}$ D、 $\sqrt{6}$

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二、基础

2. 已知椭圆 $C$ ： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ ，若矩形的四个顶点都在 $C$ 上，则称 $C$ 为矩形的外接椭圆，已知边长为4的正方形 $A B C D$ 的外接椭圆的短轴长为 $2 \sqrt{6}$ ，则 $C$ 的方程为（）

A、 $\frac{x^{2}}{16} + \frac{y^{2}}{6} = 1$ B、 $\frac{x^{2}}{12} + \frac{y^{2}}{6} = 1$ C、 $\frac{x^{2}}{8} + \frac{y^{2}}{4} = 1$ D、 $\frac{x^{2}}{8} + \frac{y^{2}}{6} = 1$

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3. 已知椭圆 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的右焦点为 $F$ ，过原点的直线 $l$ 与 $C$ 交于 $A ， B$ 两点，若 $A F ⊥ B F$ ，且 $| A F | = 3 | B F |$ ，则 $C$ 的离心率为（）

A、 $\frac{\sqrt{10}}{4}$ B、 $\frac{\sqrt{10}}{5}$ C、 $\frac{2}{5}$ D、 $\frac{1}{3}$

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4. 已知以 $F_{1} (- 2 ， 0) ， F_{2} (2 ， 0)$ 为焦点的椭圆与直线 $x + y + 4 = 0$ 有且仅有一个公共点，则椭圆的长轴长为（）

A、 $3 \sqrt{2}$ B、 $2 \sqrt{6}$ C、 $2 \sqrt{10}$ D、 $4 \sqrt{2}$

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5. 若椭圆 $C ： \frac{x^{2}}{m} + \frac{y^{2}}{2} = 1$ 的离心率为 $\frac{\sqrt{6}}{3}$ ，则椭圆 $C$ 的长轴长为（）

A、6 B、 $\frac{2 \sqrt{6}}{3}$ 或 $2 \sqrt{6}$ C、 $2 \sqrt{6}$ D、 $2 \sqrt{2}$ 或 $2 \sqrt{6}$

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6. 已知点A，B，C为椭圆D的三个顶点，若 $△ A B C$ 是正三角形，则D的离心率是（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{2}{3}$ C、 $\frac{\sqrt{6}}{3}$ D、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$

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7. 设 $F_{1} ， F_{2}$ 是椭圆 $C ： \frac{x^{2}}{9} + \frac{y^{2}}{4} = 1$ 的两个焦点，点P在椭圆C上， $| P F_{1} | = 4$ ，则 $| P F_{2} | =$ （）

A、1 B、2 C、3 D、4

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8. 椭圆 $\frac{x^{2}}{5} + \frac{y^{2}}{m} = 1$ 的长轴长为6，则该椭圆的离心率为（）

A、 $\frac{2 \sqrt{2}}{3}$ B、 $\frac{2}{3}$ C、 $\frac{\sqrt{31}}{6}$ D、 $\frac{\sqrt{11}}{6}$

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三、提高

9. 已知椭圆 $C$ ： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左、右焦点分别为 $F_{1}$ 、 $F_{2}$ ，以 $F_{2}$ 为圆心的圆与 $x$ 轴交于 $F_{1}$ ， $B$ 两点，与 $y$ 轴正半轴交于点 $A$ ，线段 $A F_{1}$ 与 $C$ 交于点 $M$ .若 $| B M |$ 与 $C$ 的焦距的比值为 $\frac{\sqrt{31}}{3}$ ，则 $C$ 的离心率为（）

A、 $\frac{\sqrt{3} - 1}{2}$ B、 $\frac{1}{2}$ C、 $\frac{\sqrt{3} + 1}{4}$ D、 $\frac{\sqrt{7} - 1}{2}$

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10. 已知椭圆 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左、右焦点分别为 $F_{1} ， F_{2}$ ，过 $F_{1}$ 作垂直于 $x$ 轴的直线，在第二象限分别交 $C$ 及圆 $x^{2} + y^{2} = a^{2}$ 于点 $A ， B$ ，若 $A$ 为 $B F_{1}$ 的中点， $P$ 为 $C$ 的上顶点，则 $∠ F_{1} P F_{2} =$ （）

A、 $6 0^{∘}$ B、 $9 0^{∘}$ C、 $12 0^{∘}$ D、 $15 0^{∘}$

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11. 点 $A$ 为椭圆 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 1)$ 的右顶点， $P$ 为椭圆 $C$ 上一点（不与 $A$ 重合），若 $\vec{P O} \cdot \vec{P A} = 0$ （ $O$ 是坐标原点），则椭圆 $C$ 的离心率的取值范围是（）

A、 $(\frac{1}{2} ， 1)$ B、 $(\frac{\sqrt{2}}{2} ， 1)$ C、 $(\frac{\sqrt{3}}{2} ， 1)$ D、 $(0 ， \frac{\sqrt{2}}{2})$

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12. 椭圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0 ， a \neq b)$ 任意两条相互垂直的切线的交点轨迹为圆： $x^{2} + y^{2} = a^{2} + b^{2}$ ，这个圆称为椭圆的蒙日圆．在圆 ${(x - 4)}^{2} + {(y - 3)}^{2} = r^{2} (r > 0)$ 上总存在点P，使得过点P能作椭圆 $x^{2} + \frac{y^{2}}{3} = 1$ 的两条相互垂直的切线，则r的取值范围是（）

A、 $(1 ， 9)$ B、 $[1 ， 9]$ C、 $(3 ， 7)$ D、 $[3 ， 7]$

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13. 设椭圆 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左右焦点分别为 $F_{1}$ ， $F_{2}$ ， $P$ 是椭圆上不与顶点重合的一点，记 $I$ 是 $△ P F_{1} F_{2}$ 的内心 $.$ 直线 $P I$ 交 $x$ 轴于 $A$ 点， $| \vec{O A} | = \frac{1}{4} c$ ，且 $\vec{P F_{1}} \cdot \vec{P F_{2}} = \frac{1}{16} a^{2}$ ，则椭圆 $C$ 的离心率为（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ C、 $\frac{3}{4}$ D、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$

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14. 椭圆 $C ： \frac{x^{2}}{4} + \frac{y^{2}}{3} = 1$ 的左､右顶点分别为 $A_{1} ， A_{2}$ ，点 $P$ 在椭圆 $C$ 上（ $P$ 不与 $A_{1} ， A_{2}$ 重合），且直线 $P A_{2}$ 的斜率的取值范围是 $[- 2 ， - 1]$ ，那么直线 $P A_{1}$ 斜率的取值范围是（）

A、 $[\frac{1}{2} ， \frac{3}{4}]$ B、 $[\frac{3}{8} ， \frac{3}{4}]$ C、 $[\frac{1}{2} ， 1]$ D、 $[\frac{3}{4} ， 1]$

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15. 如图， $A ， B$ 是椭圆 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左､右顶点， $P$ 是 $⊙ O ： x^{2} + y^{2} = a^{2}$ 上不同于 $A ， B$ 的动点，线段 $P A$ 与椭圆 $C$ 交于点 $Q$ ，若 $t a n ∠ P B A = 3 t a n ∠ Q B A$ ，则椭圆的离心率为（）

A、 $\frac{1}{3}$ B、 $\frac{\sqrt{2}}{3}$ C、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ D、 $\frac{\sqrt{6}}{3}$

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16. 已知椭圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的右焦点为 $F$ ，上顶点为 $A$ ，若直线 $A F$ 与圆 $O$ ： $x^{2} + y^{2} = \frac{3 a^{2}}{16}$ 相切，则该椭圆的离心率为（）

A、 $\frac{\sqrt{3}}{4}$ B、 $\frac{1}{2}$ C、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ D、 $\frac{1}{2}$ 或 $\frac{\sqrt{3}}{2}$

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17. 设椭圆C： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ $(a > b > 0)$ 的左、右焦点分别为 $F_{1}$ ， $F_{2}$ ，直线l过点 $F_{1}$ .若点 $F_{2}$ 关于l的对称点P恰好在椭圆C上，且 $\vec{F_{1} P} \cdot \vec{F_{1} F_{2}} = \frac{1}{2} a^{2}$ ，则C的离心率为（）

A、 $\frac{1}{3}$ B、 $\frac{2}{3}$ C、 $\frac{1}{2}$ D、 $\frac{2}{5}$

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18. 已知椭圆 $C_{1}$ 与双曲线 $C_{2}$ 有共同的焦点 $F_{1} (- \sqrt{3} ， 0)$ ， $F_{2} (\sqrt{3} ， 0)$ ，离心率分别为 $e_{1}$ ， $e_{2}$ ，点 $P$ 为椭圆 $C_{1}$ 与双曲线 $C_{2}$ 在第一象限的公共点，且 $∠ F_{1} P F_{2} = \frac{π}{3}$ ，若 $e_{2} = \sqrt{3}$ ，则椭圆 $C_{1}$ 的方程为（）

A、 $\frac{x^{2}}{9} + \frac{y^{2}}{6} = 1$ B、 $\frac{x^{2}}{6} + \frac{y^{2}}{3} = 1$ C、 $\frac{x^{2}}{12} + \frac{y^{2}}{9} = 1$ D、 $\frac{x^{2}}{4} + y^{2} = 1$

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19. 已知椭圆 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左，右焦点分别为 $F_{1}$ ， $F_{2}$ ， $P$ 为椭圆 $C$ 上一点， $∠ F_{1} P F_{2} = 60 °$ ，点 $F_{2}$ 到直线 $P F_{1}$ 的距离为 $\frac{\sqrt{3}}{3} a$ ，则椭圆 $C$ 的离心率为（）

A、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ B、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ C、 $\frac{\sqrt{6}}{3}$ D、 $\frac{2 \sqrt{2}}{3}$

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20. 已知M，N是椭圆 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 上关于原点O对称的两点，P是椭圆C上异于M，N的点，且 $\vec{P M} \cdot \vec{P N}$ 的最大值是 $\frac{1}{4} a^{2}$ ，则椭圆C的离心率是（）

A、 $\frac{1}{3}$ B、 $\frac{1}{2}$ C、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ D、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$

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四、巅峰

21. 如图，已知椭圆 $C_{1} ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 和双曲线 $C_{2} ： \frac{x^{2}}{m^{2}} - \frac{y^{2}}{n^{2}} = 1 (m > 0 ， n > 0)$ 有公共的焦点 $F_{1} (- c ， 0)$ ， $F_{2} (c ， 0)$ ， $C_{1} ， C_{2}$ 的离心率分别为 $e_{1} ， e_{2}$ ，且在第一象限相交于点 $P$ ，则下列说法中错误的是（）

① 若 $a^{2} + 3 m^{2} = 4 c^{2}$ ，则 $b = \sqrt{3} n$ ；② 若 $| P F_{1} | \cdot | P F_{2} | = 2$ ，则 $a^{2} - m^{2}$ 的值为1；③ $△ F_{1} P F_{2}$ 的面积 $S = n b$ ；④ 若 $∠ F_{1} P F_{2} = 60 °$ ，则当 $e_{2} = \sqrt{3} e_{1}$ 时， $e_{1}^{2} + e_{2}^{2}$ 取得最小值2．

A、①② B、②③ C、③④ D、②④

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22. 已知椭圆 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左、右焦点分别为 $F_{1}$ ， $F_{2}$ ．椭圆 $C$ 在第一象限存在点 $M$ ，使得 $| M F_{1} | = | F_{1} F_{2} |$ ，直线 $F_{1} M$ 与 $y$ 轴交于点 $A$ ，且 $F_{2} A$ 是 $∠ M F_{2} F_{1}$ 的角平分线，则椭圆 $C$ 的离心率为（）

A、 $\frac{\sqrt{6} - 1}{2}$ B、 $\frac{\sqrt{5} - 1}{2}$ C、 $\frac{1}{2}$ D、 $\frac{\sqrt{3} - 1}{2}$

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23. 已知 $F$ 是椭圆 $\frac{x^{2}}{16} + \frac{y^{2}}{7} = 1$ 的左焦点， $P$ 为椭圆上任意一点，点 $Q$ 的坐标为 $(- 2 ， 1)$ ，则 $| P Q | + | P F |$ 的最小值为（）

A、 $1 + \sqrt{2}$ B、 $8 - \sqrt{26}$ C、3 D、 $\sqrt{2} + \sqrt{5}$

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24. 已知椭圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ ）的焦点为 $F_{1}$ ， $F_{2}$ ， $P$ 是椭圆上一点，且 $2 \vec{P F_{1}} \cdot \vec{P F_{2}} = | \vec{P F_{1}} | \cdot | \vec{P F_{2}} |$ ，若 $△ F_{1} P F_{2}$ 的内切圆的半径 $r$ 满足 $| P F_{1} | = 3 r s i n ∠ F_{1} F_{2} P$ ，则 $\frac{a^{2} + 21 e}{7 b}$ （其中 $e$ 为椭圆 $C$ 的离心率）的最小值为（）

A、 $\frac{\sqrt{10}}{10}$ B、 $\frac{3 \sqrt{10}}{10}$ C、 $\frac{\sqrt{21}}{7}$ D、 $\frac{2 \sqrt{21}}{7}$

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25. 已知椭圆 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ ， $F_{1}$ ， $F_{2}$ 分别为椭圆的左右焦点，若椭圆C上存在点 $P (x_{0} ， y_{0})$ （ $x_{0} \geq 0$ ）使得 $∠ P F_{1} F_{2} = 30 °$ ，则椭圆的离心率的取值范围为（）

A、 $(0 ， \frac{1}{2})$ B、 $(0 ， \frac{\sqrt{3}}{2}]$ C、 $[\frac{1}{2} ， 1)$ D、 $[\frac{\sqrt{3}}{2} ， 1)$

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26. 已知椭圆 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 以 $F_{1} ， F_{2}$ 为左右焦点，点P、Q在椭圆上，且 $P Q$ 过右焦点 $F_{2}$ ， $Q F_{1} ⊥ Q P$ ，若 $s i n ∠ F_{1} P Q = \frac{5}{13}$ ，则该椭圆离心率是（）

A、 $\frac{\sqrt{5}}{3}$ B、 $\frac{\sqrt{26}}{26}$ C、 $\frac{1}{5}$ D、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$

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27. 设P是椭圆 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的下顶点，若C上存在点Q满足 $| P Q | > 2 b$ ，则C的离心率的取值范围是（）

A、 $(\frac{\sqrt{2}}{2} ， 1)$ B、 $(\frac{1}{2} ， 1)$ C、 $(\frac{\sqrt{3}}{2} ， 1)$ D、 $(0 ， \frac{\sqrt{2}}{2})$

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28. 已知椭圆 $Γ$ ： $\frac{x^{2}}{4} + \frac{y^{2}}{3} = 1$ ，过其左焦点 $F_{1}$ 作直线l交椭圆 $Γ$ 于P，A两点，取P点关于x轴的对称点B.若G点为 $△ P A B$ 的外心，则 $\frac{| P A |}{| G F_{1} |} =$ （）

A、2 B、3 C、4 D、以上都不对

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