【备考2024】2023年高考数学新高考一卷真题变式分层精准练：第2题

试卷更新日期：2023-08-31 类型：二轮复习

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一、原题

1. 已知 $z = \frac{1 - i}{2 + 2 i}$ ，则 $z - \bar{z}$ =（）

A、−i B、i C、0 D、1

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二、基础

2. 已知复数 $z$ 满足 $(z + 2 i) (2 - i) = 5$ ，则 $z$ 的共轭复数 $\bar{z} =$ （）

A、 $2 - i$ B、 $2 + i$ C、 $- 2 + i$ D、 $- 2 - i$

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3. 复数 $z = - 2 i (- 1 + \sqrt{3} i)$ 的虚部为（）

A、 $- 2$ B、2 C、 $2 i$ D、 $2 \sqrt{3}$

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4. 若复数 $z = | \sqrt{3} i - 1 | + \frac{1}{1 + i}$ ，则复数 $z$ 的虚部为（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $- \frac{1}{2} i$ C、 $- \frac{1}{2} i$ D、 $- \frac{1}{2}$

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5. 若复数z的虚部小于0，且 $z^{2} = - 1$ ，则 $z (1 - z) =$ （）

A、 $1 + i$ B、 $1 - i$ C、 $- 1 + i$ D、 $- 1 - i$

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6. 已知 $z$ 为复数且 $z \cdot (1 - i) = 1 + 3 i$ （ $i$ 为虚数单位），则共轭复数 $\bar{z}$ 的虚部为（）

A、2 B、 $2 i$ C、 $- 2$ D、 $- 2 i$

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7. 在复平面内，复数 $z i - 3 = - 2 i$ 对应的点位于（）

A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限

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8. 已知复数 $z = \frac{5 i}{1 + 2 i}$ ，则 $\bar{z} =$ （）

A、 $1 + 2 i$ B、 $1 - 2 i$ C、 $2 + i$ D、 $2 - i$

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9. 复数 $z = \frac{2 + i}{i}$ ，则在复平面内z对应的点的坐标是（）

A、 $(1 ， - 2)$ B、 $(- 1 ， - 2)$ C、 $(1 ， 2)$ D、 $(- 1 ， 2)$

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三、提高

10. 已知 $i$ 为虚数单位，下列说法中错误的是（）

A、复数 $z_{1}$ 对应的向量为 $\vec{O Z_{1}}$ ，复数 $z_{2}$ 对应的向量为 $\vec{O Z_{2}}$ ，若 $| z_{1} + z_{2} | = | z_{1} - z_{2} |$ ，则 $\vec{O Z_{1}} ⊥ \vec{O Z_{2}}$ B、互为共轭复数的两个复数的模相等，且 ${| \bar{z} |}^{2} = {| z |}^{2} = z \cdot \bar{z}$ C、复数的模实质上就是复平面内复数对应的点到原点的距离，也就是复数对应的向量的模 D、若复数 $z$ 满足 $| z - i | = \sqrt{5}$ ，则复数 $z$ 对应的点在以 $(1 ， 0)$ 为圆心， $\sqrt{5}$ 为半径的圆上

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11. 已知 $2 - i$ 是关于x的方程 $x^{2} + p x + q = 0$ 的一个根，则实数p，q分别为（）

A、 $p = 4 ， q = - 11$ B、 $p = - 4 ， q = 3$ C、 $p = 4 ， q = - 3$ D、 $p = - 4 ， q = 5$

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12. 若复数 $z$ 满足 $z + 2 \bar{z} = \frac{2}{1 + i}$ ，则 $z$ 的虚部是（）

A、 $1$ B、 $- 1$ C、 $i$ D、 $- i$

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13. 在复平面内，复数 $z_{1}$ ， $z_{2}$ 对应的点分别是 $(2 ， - 1)$ ， $(1 ， - 3)$ ，则 $\frac{z_{2}}{z_{1}}$ 的虚部是（）

A、 $i$ B、 $- i$ C、 $1$ D、 $- 1$

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14. 复数 $z = \frac{(1 + \sqrt{3} i)^{3}}{(2 + 2 i)^{2}} + \frac{3 + i}{2 - i}$ ，则 $\bar{z}$ 的虚部是（）

A、2 B、 $2 i$ C、 $i$ D、 $- 2$

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15. 已知i为虚数单位，复数z满足 $i^{2023} (2 + z) = 2 - i$ ，则 $\bar{z} =$ （）

A、 $- 1 + 2 i$ B、 $- 1 - 2 i$ C、 $1 + 2 i$ D、 $1 - 2 i$

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16. 已知复数 $z$ 满足 $z (1 + 2 i) = | 4 - 3 i |$ (其中 $i$ 为虚数单位)，则复数 $z$ 的虚部为（）

A、 $- 2$ B、 $- 2 i$ C、 $1$ D、 $i$

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四、巅峰

17. 设有下面四个命题
      $p_{1}$ ：若复数 $z$ 满足 $\frac{1}{z} \in R$ ，则 $z \in R$ ；

      $p_{2}$ ：若复数 $z$ 满足 $z^{2} \in R$ ，则 $z \in R$ ；

      $p_{3}$ ：若复数 $z_{1}$ ， $z_{2}$ 满足 $z_{1} ， z_{2} \in R$ ，则 $z_{1} = {\bar{z}}_{2}$ ；

      $p_{4}$ ：若复数 $z \in R$ ，则 $\bar{z} \in R$ ．

其中的真命题为（  ）

A、 $p_{1}$ ， $p_{3}$ B、 $p_{1}$ ， $p_{4}$ C、 $p_{2}$ ， $p_{3}$ D、 $p_{2}$ ， $p_{4}$

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18. 已知复数 $z_{1}$ ， $z_{2}$ ，则下面四个命题中为真命题的是（）
$P_{1}$ ：若 $| z_{1} | = | z_{2} |$ ，则 $z_{1} = z_{2}$ ； $P_{2}$ ：若 $z_{1} = - z_{2}$ ，则 $| z_{1} | = | - z_{2} |$ ；
$P_{3}$ ：若 $z_{1} = \bar{z_{2}}$ ，则 $| z_{1} | = | z_{2} |$ ； $P_{4}$ ：若 $| z_{1} | = | z_{2} |$ ，则 $z_{1} = \bar{z_{2}}$ .

A、 $P_{1}$ ， $P_{3}$ B、 $P_{1}$ ， $P_{4}$ C、 $P_{2}$ ， $P_{3}$ D、 $P_{2}$ ， $P_{4}$

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19. 若 $z = \cos θ + i \sin θ$ ( $θ \in R ， i$ 是虚数单位)，则 $| z - 2 - 2 i |$ 的最小值是（）

A、 $2 \sqrt{2}$ B、 $\sqrt{2}$ C、 $2 \sqrt{2} + 1$ D、 $2 \sqrt{2} - 1$

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20. 已知复数 $z_{1} ， z_{2} ， z_{3}$ ， $z_{1}$ 与 $z_{3}$ 共轭， $\frac{z_{1} + 1}{z_{2} + 1} = a (a \in R)$ ， $| z_{1} - z_{2} | = 2 | z_{2} - z_{3} |$ 且 $| z_{i} + 1 | + | z_{i} - 1 | = 4 (i = 1 ， 2 ， 3)$ ，则 $2 | z_{2} - z_{3} | + | z_{2} - 1 | + | z_{3} - 1 |$ 的值为（）

A、5 B、6 C、7 D、8

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