【备考2024年】中考数学杭州卷真题变式分层精准练第23题

试卷更新日期：2023-08-30 类型：二轮复习

进入出卷网下载

一、原题

1. 如图，在 $⊙ O$ 中，直径 $A B$ 垂直弦 $C D$ 于点 $E$ ，连接 $A C ， A D ， B C$ ，作 $C F ⊥ A D$ 于点 $F$ ，交线段 $O B$ 于点 $G$ （不与点 $O ， B$ 重合），连接 $O F$ ．

(1)、若 $B E = 1$ ，求 $G E$ 的长．

(2)、求证： $B C^{2} = B G \cdot B O$ ．

(3)、若 $F O = F G$ ，猜想 $∠ C A D$ 的度数，并证明你的结论．

查看试题解析

二、基础

2. 如图， $A B$ 为 $⊙ O$ 的直径，D，E是 $⊙ O$ 上的两点，延长 $A B$ 至点C，连接 $C D$ ， $∠ B D C = ∠ A$ ．

(1)、求证： $△ A C D ∽ △ D C B$ ；

(2)、求证： $C D$ 是 $⊙ O$ 的切线；

(3)、若 $t a n E = \frac{3}{5} ， A C = 10$ ，求 $⊙ O$ 的半径．

查看试题解析
3. 如图， $A B$ 为 $⊙ O$ 的直径，C是圆上一点，D是 $\overset{⌢}{B C}$ 的中点，弦 $D E ⊥ A B$ ，垂足为点F．

(1)、求证： $B C = D E$ ；

(2)、P是 $\overset{⌢}{A E}$ 上一点， $A C = 6 ， B F = 2$ ，求 $t a n ∠ B P C$ ；

(3)、在（2）的条件下，当 $C P$ 是 $∠ A C B$ 的平分线时，求 $C P$ 的长．

查看试题解析
4. 如图， $△ A B C$ 内接于 $⊙ O$ ， $∠ B A C = 45 °$ ，过点 $B$ 作 $B C$ 的垂线，交 $⊙ O$ 于点 $D$ ，并与 $C A$ 的延长线交于点 $E$ ，作 $B F ⊥ A C$ ，垂足为 $M$ ，交 $⊙ O$ 于点 $F$ ．

(1)、求证： $B D = B C$ ；

(2)、若 $⊙ O$ 的半径 $r = 3$ ， $B E = 6$ ，求线段 $B F$ 的长．

查看试题解析
5. 如图， $A B$ 为 $⊙ O$ 的直径，E为 $A B$ 的延长线上一点，过点E作 $⊙ O$ 的切线，切点为点C，连接 $A C$ ， $B C$ ，过点A作 $A D ⊥ E C$ 交延长线于点D．

(1)、求证： $∠ B C E = ∠ D A C$ ．

(2)、若 $B E = 2$ ， $C E = 4$ ，求 $A D$ 的长．

查看试题解析
6. 如图，已知 $A B$ ， $C D$ 是 $⊙ O$ 的两条直径，直径 $C D$ 平分 $∠ A C E$ ， $∠ A C E$ 的一边 $C E$ 与 $⊙ O$ 和直径 $A B$ 分别交于点 $E$ ， $F$ ，连接 $B E$ ，且 $A C = A F$ ．

(1)、证明： $B E ∥ C D$ ；

(2)、若 $C F = 2$ ，求 $B F$ 的长．

查看试题解析
7. 如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，G为劣弧AD上一动点，AG与CD的延长线交于点F，连接AC、AD、CG、DG．记tan∠DGF=m（m为常数，且m>1）．

(1)、求证：∠AGC=∠ACF；

(2)、求 $\frac{A G \cdot A F}{C E^{2}}$ 的值（用含m的式子表示）．

查看试题解析
8. 如图， $△ A B C$ 为 $⊙ O$ 的内接三角形， $A D ⊥ B C$ ，垂足为D，直径 $A E$ 平分 $∠ B A D$ ，交 $B C$ 于点F，连结 $B E$ ．

(1)、求证： $∠ A E B = ∠ A F D$ ；

(2)、若 $A B = 10 ， B F = 5$ ，求 $D F$ 的长；

查看试题解析
9. 如图， $A B$ 是 $⊙ O$ 的直径，C是 $⊙ O$ 上一点， $∠ A C B$ 的平分线交 $A B$ 于E，交 $⊙ O$ 于 $D$ ，连接 $A D$ ， $B D$ ．

(1)、求证： $A D = B D$ ：

(2)、若 $A B = 4$ ， $A C = 1$ ，求 $\frac{C E}{E D}$ 的值．

查看试题解析
10. 如图，在 $△ A B C$ 中， $A C = B C$ ， D是 $A B$ 上一点， $⊙ O$ 经过点A ， C ， D交 $B C$ 于点E ．过点D作 $D F ∥ B C$ ，分别交 $A C$ 于点G ， $⊙ O$ 于点F ．

(1)、求证 $A C = D F$ ；

(2)、若 $A C = 10 ， A B = 12 ， C F = 3$ ，求 $B E$ 的长．

查看试题解析

三、提高

11. 如图，在 $△ A B C$ 中， $A B = B C$ ，以 $B C$ 为直径作 $⊙ O$ 与 $A C$ 交于点D，过点D作 $D E ⊥ A B$ ，交 $C B$ 延长线于点F，垂足为点E．

(1)、求证： $D F$ 为 $⊙ O$ 的切线；

(2)、若 $B E = 3$ ， $c o s C = \frac{4}{5}$ ，求 $B F$ 的长．

查看试题解析
12. 如图， $△ A B C$ 为 $⊙ O$ 的内接三角形， $P$ 为 $B C$ 延长线上一点， $∠ P A C = ∠ B$ ， $A D$ 为 $⊙ O$ 的直径，过 $C$ 作 $C G ⊥ A D$ 交 $A D$ 于 $E$ ，交 $A B$ 于 $F$ ，交 $⊙ O$ 于 $G$ ．

(1)、判断直线 $P A$ 与 $⊙ O$ 的位置关系，并说明理由；

(2)、求证： $A G^{2} = A F \cdot A B$ ；

(3)、若 $⊙ O$ 的直径为 $10$ ． $A C = 2 \sqrt{5}$ ， $A B = 4 \sqrt{5}$ ，求 $A E \cdot F G$ 的值．

查看试题解析
13. 如图， $A B$ 是 $⊙ O$ 的直径，D是 $⊙ O$ 上一点，点E是 $\overset{⌢}{A D}$ 的中点，过点A作 $⊙ O$ 的切线交 $B D$ 的延长线于点F．连接 $A E$ 并延长交 $B F$ 于点C．

(1)、求证： $A B = B C$ ；

(2)、如果 $A B = 5$ ， $t a n ∠ F A C = \frac{1}{2}$ ，求 $F C$ 的长．

查看试题解析
14. 如图， $A B$ 是 $⊙ O$ 的直径， $C$ 是圆上的一点， $D$ 为 $\overset{⌢}{A C}$ 的中点，过点 $D$ 作 $⊙ O$ 的切线与 $B C$ 的延长线交于点 $F$ ，与 $B A$ 的延长线交于点 $G$ ，弦 $B D$ 、 $A C$ 交于点 $E$ ．

(1)、求证： $A C ∥ F G$ ；

(2)、求证： $C D^{2} = D E · B D$ ；

(3)、若 $D E = 2$ ， $B E = 4$ ，求 $C F$ 的长．

查看试题解析
15. 如图， $M N$ 为 $⊙ O$ 的直径，且 $M N = 15$ ， $M C$ 与 $N D$ 为圆内的一组平行弦，弦 $A B$ 交 $M C$ 于点H.点A在 $\overset{⌢}{M C}$ 上，点B在 $\overset{⌢}{N C}$ 上， $∠ O N D + ∠ A H M = 90 °$ .

(1)、求证： $M H \cdot C H = A H \cdot B H$ .

(2)、求证： $\overset{⌢}{A C} = \overset{⌢}{B C}$ .

(3)、在 $⊙ O$ 中，沿弦 $N D$ 所在的直线作劣弧 $\overset{⌢}{N D}$ 的轴对称图形，使其交直径 $M N$ 于点G.若 $s i n ∠ C M N = \frac{3}{5}$ ，求 $N G$ 的长.

查看试题解析
16. 如图，点 $E$ 是 $△ A B C$ 的内心， $A E$ 的延长线与边 $B C$ 相交于点 $F$ ，与 $△ A B C$ 的外接圆相交于点 $D$ ．

(1)、求证： $S_{△ A B F} ： S_{△ A C F} = A B ： A C$ ；

(2)、求证： $A B ： A C = B F ： C F$ ；

(3)、求证： $A F^{2} = A B \cdot A C - B F \cdot C F$ ；

(4)、猜想：线段 $D F ， D E ， D A$ 三者之间存在的等量关系．（直接写出，不需证明．）

查看试题解析
17. 如图1，在 $⊙ O$ 中，直径 $A B ⊥ C D$ 于点F，点E为 $⊙ O$ 上一点，点C为弧 $A E$ 的中点，连接 $A E$ ，交 $C D$ 于点G．

(1)、求证： $A E = C D$ ；

(2)、如图2，过点C作 $⊙ O$ 的切线交BA的延长线于点Q，若 $A F = 2$ ， $A E = 8$ ，求 $O Q$ 的长度；

(3)、在（2）的基础上，点P为 $⊙ O$ 上任一点，连接 $P F 、 P Q$ ， $\frac{P F}{P Q}$ 的比值是否发生改变？若不变，求出比值；若变化，说明变化规律．

查看试题解析

四、培优

18. 如图1， $A C$ 为 $▱ A B C D$ 的对角线， $△ A B C$ 的外接圆 $⊙ O$ 交 $C D$ 于点 $E$ ，连结 $B E$ ．

(1)、求证∶ $∠ B A C = ∠ A B E$ ．

(2)、如图2，当 $A B = A C$ 时，连结 $O A 、 O B$ ，延长 $A O$ 交 $B E$ 于点 $G$ ，求证 $△ G O B ∽ △ G B A$ ．

(3)、如图3，在（2）的条件下，记 $A C 、 B E$ 的交点为点 $F$ ，连结 $A E 、 O F$ ．
①求证∶ $B G^{2} - G F^{2} = G F \cdot E F$ ．
②当 $\frac{E F}{F G} = \frac{7}{9}$ 时，求 $s i n ∠ E A G$ 的值．

查看试题解析
19. 如图， $△ A B C$ 内接于圆O， $A B = A C$ ，点D为劣弧上动点，延长 $A D$ ， $B C$ 交于点E，作 $D F ∥ A B$ 交圆O于点F，连接 $C F$ ．

(1)、如图1，当点D为弧 $A C$ 的中点时，求证： $D F = B C$ ；

(2)、如图2，若 $C F = C A$ ， $∠ A B C = α$ ，试用含有 $α$ 的代数式表示 $∠ E$ ；

(3)、在（2）的条件下，若 $B C = C E$ ．
①求证： $A C + A D = D E$ ；
②求 $t a n E$ 的值．

查看试题解析
20. 如图， $△ A B C$ 内接于 $⊙ O$ ，且 $A B = A C = 20$ ， $t a n ∠ A B C = \frac{4}{3}$ ． $D$ 是劣弧 $B C$ 上一点， $C E ⊥ A D$ 分别交 $A D$ ， $B D$ 于点 $G$ ，点 $F$ ，交 $⊙ O$ 于点 $E$ ．

(1)、当 $A F$ 经过圆心时，
①求证： $A F$ 平分 $∠ B A C$ ；
②求 $\frac{F G}{A G}$ 的值；

(2)、①连接 $C D$ ，求证： $C G = F G$ ；
②连接 $A E$ ，求证： $∠ B A C = 2 ∠ E A D$ ；

③连接 $B E$ ，若 $s i n ∠ C A D = \frac{1}{5}$ ，求 $B E$ 的长．

查看试题解析
21. 如图1：以x轴的正半轴上一点O₁为圆心作⊙O₁ ，交x轴于C、D两点，交y轴于A、B两点，以O为圆心OA为半径的⊙O与x轴的负半轴交于G点.设⊙O₁的弦AC的延长线交⊙O于F点，连结GF，AG，若AO＝4， $AF = 2 \sqrt{2} GF$

(1)、求证：△AGC∽△AFG；

(2)、求出点O₁的坐标；

(3)、如图2，线段EA、EB（或它们的延长线）分别交⊙O于点M、N.问：当点E在 $\overset{⌢}{A D B}$ （不含端点A、B）上运动时，线段MN的长度是否会发生变化？若不变，求出MN的长度；若变化，请说明理由.

查看试题解析
22.

(1)、【证明体验】
如图1， $⊙ O$ 是等腰 $△ A B C$ 的外接圆， $A B ＝ A C$ ，在 $\overset{⌢}{A C}$ 上取一点 $P$ ，连结 $A P ， B P ， C P$ ，求证： $∠ A P B ＝ ∠ P A C + ∠ P C A$ ；

(2)、【思考探究】
如图2，在（1）条件下，若点 $P$ 为 $\overset{⌢}{A C}$ 的中点， $A B ＝ 6 ， P B ＝ 5$ ，求 $P A$ 的值；

(3)、【拓展延伸】
如图3， $⊙ O$ 的半径为5，弦 $B C ＝ 6$ ，弦 $C P ＝ 5$ ，延长 $A P$ 交 $B C$ 的延长线于点 $E$ ，且 $∠ A B P ＝ ∠ E$ ，求 $A P \cdot P E$ 的值.

查看试题解析
23. A，B在半径为 $4$ 的 $⊙ O$ 上， $∠ A O B = 90 °$ ， C在劣弧 $A B$ 上， $A C$ 、 $O B$ 延长线交于点D，连结 $B C$ .

(1)、求 $∠ B C D$ 的度数；

(2)、若 $A C = x$ ， $B D = y$ ，求y与x的关系式；

(3)、 $O M = \sqrt{3}$ ，以M为圆心的圆经过点A，C.当 $B D = (\sqrt{3} - 1) O B$ 时，求 $⊙ M$ 的半径.

查看试题解析
24. 如图，圆O为 $△ A B C$ 的外接圆， $B O$ 延长线与 $A C$ 交于点D， $O E ⊥ B C$ ，点F在 $O E$ 上， $B D$ 平分 $∠ A B F$ .

(1)、如图1，求证： $△ A B D ∽ △ O B F$ ；

(2)、如图2，连结 $D F$ ，求证： $D F ∥ A B$ ；

(3)、如图3，连结 $C F$ 并延长分别交 $B A$ ， $B D$ 于G，H两点，若 $∠ D F C = 6 ∠ B C G$ ， $B D = 2 F G$ ，求 $\frac{G H}{B H}$ .

查看试题解析
25. 如图1，已知 $⊙ O$ 外一点 $P$ 向 $⊙ O$ 作切线 $P A$ ，点 $A$ 为切点，连接 $P O$ 并延长交 $⊙ O$ 于点 $B$ ，连接 $A O$ 并延长交 $⊙ O$ 于点 $C$ ，过点 $C$ 作 $C D ⊥ P B$ ，分别交 $P B$ 于点 $E$ ，交 $⊙ O$ 于点 $D$ ，连接 $A D$ .

(1)、求证： $△ A P O$ ∽ $△ D C A$ ；

(2)、如图2，当 $A D = A O$ 时，
①求 $∠ P$ 的度数；
②连接 $A B$ ，若点 $B$ 关于直线 $A C$ 的对称点为 $Q$ ，连接 $C Q$ ， $P Q .$ 请直接写出 $\frac{P Q}{C Q}$ 的值.

查看试题解析