【备考2024年】中考数学杭州卷真题变式分层精准练第22题

试卷更新日期：2023-08-30 类型：二轮复习

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一、原题

1. 设二次函数

y = a x^{2} + b x + 1

，（

a \neq 0

，

b

是实数）．已知函数值

y

和自变量

x

的部分对应取值如下表所示：

$x$	…	$- 1$	0	1	2	3	…
$y$	…	$m$	1	$n$	1	$p$	…

(1)、若

m = 4

，求二次函数的表达式；

(2)、写出一个符合条件的

x

的取值范围，使得

y

随

x

的增大而减小．

(3)、若在m、n、p这三个实数中，只有一个是正数，求

a

的取值范围．

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二、基础

2. 小颖同学想用“描点法”画二次函数y＝ax²+bx+c（a≠0）的图象，取自变量x的6个值，分别计算出对应的y值，如表：
x
……
﹣2
﹣1
0
1
2
3
……
y
……
11
2
﹣1
2
5
m
……
由于粗心，小颖算错了其中的一个y值．

(1)、求该二次函数表达式；

(2)、请你指出这个算错的y值；

(3)、通过计算求m的值．

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3. 已知二次函数y＝ax²+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）的自变量x和函数值y部分对应值如下表：
x
…
0
1
2
3
4
…
y
…
3
0
-1
0
m
…

(1)、抛物线的对称轴为；

(2)、m的值为；

(3)、求该抛物线的解析式；

(4)、若点A（ $t ， y_{1}$ ），B（ $t + 2 ， y_{2}$ ）都在函数图象上，且 $t < 0$ ，则 $y_{1}$ $y_{2}$ （填“>”，“<”或“=”）．

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4. 在平面直角坐标系中，已知点 $A (1 ， 2) ， B (2 ， 3) ， C (2 ， 1)$ ，直线 $y = x + m$ 经过点A，抛物线 $y = a x^{2} + b x + 1$ 恰好经过A，B，C三点中的两点．

(1)、求直线 $y = x + m$ 的解析式；

(2)、求a，b的值；

(3)、平移抛物线 $y = a x^{2} + b x + 1$ ，使其顶点仍在直线 $y = x + m$ 上，求平移后所得抛物线与y轴交点纵坐标的最大值．

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5. 在平面直角坐标系中，二次函数 $y = x^{2} + bx + c (b ， c$ 都是常数 $)$ 的图象经过点 $(1 ， 0)$ 和 $(0 ， 2)$ .

(1)、当 $- 2 \leq x \leq 2$ 时，求 $y$ 的取值范围；

(2)、已知点 $P (m ， n)$ 在该函数的图象上，且 $m + n = 1$ ，求点 $P$ 的坐标.

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6. 如图，抛物线 $y = - x^{2} + b x + c$ 与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，点A的坐标为 $(3 ， 0)$ ，点C的坐标为 $(0 ， 3)$ .

(1)、求b与c的值；

(2)、求函数的最大值；

(3)、 $M (m ， n)$ 是抛物线上的任意一点，当 $n \geq \frac{7}{4}$ 时，利用函数图象写出 $m$ 的取值范围.

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7. 设二次函数 $y_{1} = 2 x^{2} + b x + c$ （b，c是常数）的图像与x轴交于A，B两点.

(1)、若A，B两点的坐标分别为(1，0)，(2，0)，求函数 $y_{1}$ 的表达式及其图像的对称轴.

(2)、若函数 $y_{1}$ 的表达式可以写成 $y_{1} = 2 {(x - h)}^{2} - 2$ （h是常数）的形式，求 $b + c$ 的最小值.

(3)、设一次函数 $y_{2} = x - m$ （m是常数）.若函数 $y_{1}$ 的表达式还可以写成 $y_{1} = 2 (x - m) (x - m - 2)$ 的形式，当函数 $y = y_{1} - y_{2}$ 的图像经过点 $(x_{0} ， 0)$ 时，求 $x_{0} - m$ 的值.

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8. 已知二次函数 $y = x^{2} - (2 m - 1) x + m^{2} - m$ （m是常数）.

(1)、若二次函数图象经过 $(0 ， 0)$ ，求二次函数的解析式；

(2)、若 $A (n - 3 ， n^{2} + 2)$ ， $B (- n + 1 ， n^{2} + 2)$ 是该二次函数图象上的两个不同点，求二次函数表达式和n的值；

(3)、若点 $C (- 1 ， y_{1})$ ，点 $D (m ， y_{2})$ 也均在此函数图象上，且满足 $y_{1} < y_{2}$ ，求m的取值范围.

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9. 已知二次函数 $y = x^{2} + b x + 2 b$ （b为常数）．

(1)、若图象过 $（ 2 ， 8 ）$ ，求函数的表达式．

(2)、在（1）的条件下，当 $- 2 \leq x \leq 2$ 时，求函数的最大值和最小值．

(3)、若函数图象不经过第三象限，求b的取值范围

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10. 在平面直角坐标系中，设二次函数y₁＝x²+bx+a，y₂＝ax²+bx+1（a，b是实数，a≠0）．

(1)、若函数y₁的对称轴为直线x＝2，且它的图象经过点（﹣a，b），求函数y₁的解析式．

(2)、若函数y₂的图象经过点（r，0），其中r≠0，求证：函数y₁的图象经过点（ $\frac{1}{r}$ ， 0）．

(3)、设函数y₁和函数y₂的最小值分别为m和n，若m+n＝0，求m，n的值．

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三、提高

11. 如图，已知抛物线 $y = x^{2} + b x + c$ 经过 $A (- 1 ， 0)$ 、 $B (3 ， 0)$ 两点.

(1)、求抛物线的解析式和顶点坐标；

(2)、当 $0 < x < 3$ 时，求 $y$ 的取值范围；

(3)、点P为抛物线上一点，若 $S_{Δ P A B} = 10$ ，求出此时点P的坐标.

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12. 已知函数 $y = x^{2} + b x + 3 b$ （b为常数）.

(1)、若图象经过点 $(- 2 ， 4)$ ，判断图象经过点 $(2 ， 4)$ 吗？请说明理由；

(2)、设该函数图象的顶点坐标为 $(m ， n)$ ，当b的值变化时，求m与n的关系式；

(3)、若该函数图象不经过第三象限，当 $- 6 \leq x \leq 1$ 时，函数的最大值与最小值之差为16，求b的值.

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13. 在平面直角坐标系中，抛物线 $y = a x^{2} + b x - 6 (a \neq 0)$ 与 $x$ 轴交于点 $A (- 3 ， 0)$ 和点 $B (1 ， 0)$ ，与 $y$ 轴交于点 $C$ ，点 $D$ 在抛物线的对称轴上．

(1)、若点E在x轴下方的抛物线上，求 $△ A B E$ 面积的最大值．

(2)、抛物线上是否存在一点F，使得以点A，C，D，F为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出点F的坐标，若不存在，请说明理由．

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14. 如图，直线 $y = k x + 2$ 与x轴交于点 $A (3 ， 0)$ ，与 $y$ 轴交于点 $B$ ，抛物线 $y = - \frac{4}{3} x^{2} + b x + 2$ 经过点 $A ， B$ ．

(1)、求 $k$ 的值和抛物线的解析式．

(2)、 $M (m ， 0)$ 为 $x$ 轴上一动点，过点 $M$ 且垂直于 $x$ 轴的直线与直线 $A B$ 及抛物线分别交于点 $P ， N$ ．若以 $O ， B ， N ， P$ 为顶点的四边形是平行四边形，求 $m$ 的值．

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15. 在平面直角坐标系 $x O y$ 中，抛物线 $y = a x^{2} + b x + c$ 经过点 $(0 ， - 2)$ ， $(2 ， - 2)$ ．

(1)、直接写出c的值和此抛物线的对称轴；

(2)、若此抛物线与直线 $y = - 6$ 没有公共点，求a的取值范围；

(3)、点 $(t ， y_{1})$ ， $(t + 1 ， y_{2})$ 在此抛物线上，且当 $- 2 ≤ t ≤ 4$ 时，都有 $| y_{2} - y_{1} | < \frac{7}{2}$ ．直接写出a的取值范围．

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16. 如图，抛物线y＝−x²+bx+c经过点A（-1，0），点B（3，0），与y轴交于点C，点D在射线CO上运动.

(1)、求该抛物线的表达式和对称轴.

(2)、过点D作x轴的平行线交抛物线于点E，F（点E在点F的左侧），若EF＝2OC，求点E的坐标.

(3)、记抛物线的顶点关于直线EF的对称点为点P，当点P到x轴的距离等于1时，求出所有符合条件的线段EF的长.

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17. 设二次函数 $y = a (x - 2) (x + b)$ （a，b是常数且 $a \neq 0$ ）.

(1)、若函数图象的对称轴为直线 $x = 1$ ，求b的值；

(2)、若函数图象经过 $A (- 1 ， 6) ， B (0 ， - 2) ， C (2 ， 1)$ 三个点中的两个点，求二次函数的解析式；

(3)、当 $a > 0$ ，函数图象过两点 $(x_{1} ， m) ， (x_{2} ， n)$ ，当 $x_{1} < 2 < x_{2} < 5$ 时，总有 $m > n$ ，求证： $a - b > 5$ .

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18. 二次函数 $y = a x^{2} + b x + c (a ， b ， c$ 是常数， $a b \neq 0)$ ，当 $x = - \frac{b}{2 a}$ 时，函数 $y$ 有最小值 $- 1$ .

(1)、若该函数图象的对称轴为直线 $x = 1$ ，并且经过 $(0 ， 0)$ 点，求该函数的表达式.

(2)、若一次函数 $y = a x + c$ 的图象经过二次函数 $y = a x^{2} + b x + c$ 图象的顶点.
①求该二次函数图象的顶点坐标.
②若 $(a ， p) ， (c ， q)$ 是该二次函数图象上的两点，求证： $p > q$ .

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19. 已知抛物线y＝ax²+bx+c的顶点为（3，2），且过点（0，11）.

(1)、求抛物线的解析式；

(2)、将抛物线先向左平移2个单位长度，再向下平移m（m＞0）个单位长度后得到新抛物线.
①若新抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），且OB＝3OA，求m的值；
②若P（x₁ ， y₁），Q（x₂ ， y₂）是新抛物线上的两点，当n≤x₁≤n+1，x₂≥4时，均有y₁≤y₂ ，求n的取值范围.

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四、培优

20. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线 $y = a x^{2} + x + c$ 经过点 $A (- 2 ， 0)$ 和点 $B (4 ， 0)$ ，且与直线 $l ： y = - x - 1$ 交于 $D 、 E$ 两点（点 $D$ 在点 $E$ 的右侧），点 $M$ 为直线 $l$ 上的一动点，设点 $M$ 的横坐标为 $t$ ．

(1)、求抛物线的解析式．

(2)、过点 $M$ 作 $x$ 轴的垂线，与拋物线交于点 $N$ ．若 $0 < t < 4$ ，求 $△ N E D$ 面积的最大值．

(3)、抛物线与 $y$ 轴交于点 $C$ ，点 $R$ 为平面直角坐标系上一点，若以 $B 、 C 、 M 、 R$ 为顶点的四边形是菱形，请求出所有满足条件的点 $R$ 的坐标．

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21. 在平面直角坐标系中，抛物线 $y = x^{2} + b x + c$ 经过 $(- 1 ， 0)$ 、 $(0 ， - 3)$ 两点，点P在抛物线上，其横坐标为m ．

(1)、求此抛物线对应的函数表达式；

(2)、当点P在y轴右侧且到x轴的距离是4时，求m的值；

(3)、点Q是抛物线上一点，其横坐标为 $m + 1$ ，抛物线上点P、Q之间的部分图象记为G（包括点P、点Q），当图象G上恰有2个点到直线 $y = 1$ 的距离为1时，直接写出m的取值范围；

(4)、设点 $M (m - 1 ， m - 1)$ ，以 $P M$ 为对角线作矩形，矩形的边分别与x轴、y轴平行，当矩形的边与抛物线有两个交点，且最高点与最低点的纵坐标之差为1时，直接写出m的值．

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22. 如图1，二次函数 $y = a x^{2} + b x + 3$ 的图像与x轴交于点 $A (- 1 ， 0)$ ， $B (3 ， 0)$ ，与y轴交于点C.

(1)、求二次函数的解析式；

(2)、点P为抛物线上一动点.
①如图2，过点C作x轴的平行线与抛物线交于另一点D，连接 $B C$ ， $B D$ .当 $S_{△ P B C} = 2 S_{△ D B C}$ 时，求点P的坐标；
②如图3，若点P在直线 $B C$ 上方的抛物线上，连接 $O P$ 与 $B C$ 交于点E，求 $\frac{P E}{O E}$ 的最大值.

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23. 如图，已知抛物线y＝ax²+bx+3与x轴交于A（﹣1，0）、B（3，0）两点，与y轴交于点C，连接BC．

(1)、求抛物线的解析式；

(2)、若点P为线段BC上的一动点（不与B、C重合），PM∥y轴，且PM交抛物线于点M，交x轴于点N，当△BCM的面积最大时，求点P的坐标；

(3)、在（2）的条件下，当△BCM的面积最大时，点D是抛物线的对称轴上的动点，在抛物线上是否存在点E，使得以A、P、D、E为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点E的坐标；若不存在，请说明理由．

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24. 如图，直线 $y = - \frac{2}{3} x + a$ 与x轴交于点A（3，0），与y轴交于点B，抛物线 $y = - \frac{4}{3} x^{2} + b x + c$ 经过点A，B.

(1)、求点B的坐标和抛物线的表达式；

(2)、P（x₁ ， y₁），Q（4，y₂）两点均在该抛物线上，若y₁≥y₂ ，求P点的横坐标x₁的取值范围；

(3)、点M为直线AB上一动点，将点M沿与y轴平行的方向平移一个单位长度得到点N，若线段MN与抛物线只有一个公共点，直接写出点M的横坐标的取值范围.

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x	……	﹣2	﹣1	0	1	2	3	……
y	……	11	2	﹣1	2	5	m	……