【备考2024年】中考数学杭州卷真题变式分层精准练第21题

试卷更新日期：2023-08-30 类型：二轮复习

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一、原题

1. 在边长为 $1$ 的正方形 $A B C D$ 中，点 $E$ 在边 $A D$ 上（不与点 $A$ ， $D$ 重合），射线 $B E$ 与射线 $C D$ 交于点 $F$ ．

(1)、若 $E D = \frac{1}{3}$ ，求 $D F$ 的长．

(2)、求证： $A E \cdot C F = 1$ ．

(3)、以点 $B$ 为圆心， $B C$ 长为半径画弧，交线段 $B E$ 于点 $G$ ．若 $E G = E D$ ，求 $E D$ 的长．

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二、基础

2. 已知有一块三角形材料 $∠ A B C$ ，其中 $B C = 120 c m$ ，高 $A D = 80 c m$ ，现需要在三角形 $A B C$ 上裁下一个正方形材料做零件，使得正方形 $E F G H$ 的顶点 $E$ 、 $F$ 分别在边 $A B$ ， $A C$ 上， $H$ 、 $G$ 在 $B C$ 上，裁下的正方形 $E F G H$ 的边长是多少？

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3. 如图，正方形 $A B C D$ 的对角线 $A C$ 、 $B D$ 相较于点O，E是 $B C$ 的中点， $D E$ 交 $A C$ 于F，若 $D E = 12$ ，求 $E F$ 长.

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4. 如图，正方形ABCD的边长为2，BE=CE，MN=1，线段MN的两端在边CD，AD上滑动，当DM为多长时，△ABE与以点D、M、N为顶点的三角形相似？请说明理由。

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5. 如图，延长正方形 $A B C D$ 的一边 $C B$ 至点 $E ， E D$ 与 $A B$ 相交于点F，过点F作 $F G / / B E$ 交 $A E$ 于点G.求证： $G F = F B$ .

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6. 如图，点E，F分别在正方形ABCD的边AB，AD上，且AE＝DF，点G，H分别在边AB，BC上，且FG⊥EH，垂足为P．

(1)、求证：FG＝EH；

(2)、若正方形ABCD边长为5，AE＝2，tan∠AGF $= \frac{3}{4}$ ，求PF的长度．

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7. 如图所示正方形 $ABCD$ 与等边 $△ ABE$ ，连结 $CE$ ，过点 $A$ 作 $CE$ 的垂线段 $AF$ ，连结 $FD$ ， $AC$ ．

(1)、求 $∠ FEA$ 的度数；

(2)、证明： $CE = \sqrt{2} FD$ ．

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8. 如图，在正方形ABCD中，E为边AD上的点，点F在边CD上，∠BEF＝90°且CF＝3FD.

(1)、求证：△ABE∽△DEF；

(2)、若AB＝4，延长EF交BC的延长线于点G，求 CG的长.

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9. 如图，正方形ABCD，E，F分别在边BC，AB上，BE=BF，AE，CF交于点P.

(1)、求证：△ABE≌△CBF；

(2)、若AB=6，BE=2，求PC的长.

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10. 如图，在正方形 $A B C D$ 中，点 $E$ 为对角线 $A C$ ， $B D$ 交点， $A F$ 平分 $∠ D A C$ 交 $B D$ 于点 $G$ ，交 $D C$ 于点 $F$ .

(1)、求证： $△ A E G$ ∽ $△ A D F$ ；

(2)、若 $A G = 1$ ，求 $G F$ 的长.

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三、提高

11. 如图，将边长为3的正方形 $A B C D$ 沿直线 $E F$ 折叠，使点 $B$ 的对应点 $M$ 落在边 $A D$ 上（点 $M$ 不与点 $A ， D$ 重合），点 $C$ 落在点 $N$ 处， $M N$ 与 $C D$ 交于点 $P$ ，折痕分别与边 $A B$ ， $C D$ 交于点 $E ， F$ ，连接 $B M$ ．

(1)、求证： $∠ A M B = ∠ B M P$ ；

(2)、若 $D P = 1$ ，求 $M D$ 的长．

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12. 在正方形 $A B C D$ 中，点M是边 $A B$ 的中点，点E在线段 $A M$ 上（不与点A重合），点F在边 $B C$ 上，且 $A E = 2 B F$ ，连接 $E F$ ，以 $E F$ 为边在正方形 $A B C D$ 内作正方形 $E F G H$ ．

(1)、如图1，若 $A B = 4$ ，当点E与点M重合时，求正方形 $E F G H$ 的面积；

(2)、如图2，已知直线 $H G$ 分别与边 $A D ， B C$ 交于点I，J，射线 $E H$ 与射线 $A D$ 交于点K，求证： $E K = 2 E H$ ．

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13. 如图，在等腰直角三角形 $A B C$ 中， $∠ A C B = 90 °$ ， $A C = B C = 2 \sqrt{5}$ ，边长为2的正方形 $D E F G$ 的对角线交点与点C重合，点D在 $△$ ABC内部， $D G$ 与 $A C$ 交于点M，连接 $A D$ ， $B E$ ．

(1)、求证： $△ A C D ≅ △ B C E$ ；

(2)、当 $∠ A D C = 90 °$ 时，求 $A M$ 的长；

(3)、当点A、D、E三点在同一直线上时，直接写出 $A D$ 的长．

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14. 在四边形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，若四边形ABCD是正方形，如图1：则有AC=BD，AC⊥BD.

旋转图1中的Rt△COD到图2所示的位置，AC’与BD’有什么关系？（直接写出）；

若四边形ABCD是菱形，∠ABC=60°，旋转Rt△COD至图3所示的位置，AC’与BD’又有什么关系？写出结论并证明.

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15. 如图，在正方形 $A B C D$ 中，E是边 $B C$ 上的一点，过点E作 $B D$ 的垂线交 $B D$ 于点P，交 $A B$ 于点F，连接 $A P$ 并延长交 $B C$ 于点G．

(1)、求证： $P E = P F$ ；

(2)、若 $B G = C E$ ，求 $∠ E P G$ 的度数；

(3)、若 $A B = 6$ ， $E G = 1$ ，求 $△ P G E$ 的面积．

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16. 已知：正方形 $A B C D$ ，等腰直角三角板的直角顶点落在正方形的顶点 $D$ 处，使三角板绕点 $D$ 旋转.

(1)、当三角板旋转到图1的位置时，猜想 $C E$ 与 $A F$ 的数量关系，并加以证明；

(2)、在（1）的条件下，若 $D E ： A E ： C E = 1 ： \sqrt{6} ： 2 \sqrt{2}$ ，求 $∠ A E D$ 的度数；

(3)、若 $B C = 4$ ，点 $M$ 是边 $A B$ 的中点，连结 $D M$ ， $D M$ 与 $A C$ 交于点 $O$ ，当三角板的边 $D F$ 与边 $D M$ 重合时（如图2），若 $O F = \frac{\sqrt{5}}{3}$ ，求 $D N$ 的长.

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17. 在 $△ A B C$ 中， $A C = 4$ ，以AB为一边向外做正方形 $A B D E$ ，连接对角线交于点O.

(1)、如图1，若 $∠ A C B = 90 °$ ，连接 $O C$ 且 $O C = 3 \sqrt{2}$ ，问：
① $∠ O C B$ 的度数；
② $△ O A C$ 的面积.

(2)、如图2，若 $∠ E C B = 90 °$ ， $A B = 20$ ，连接 $E C$ 与 $A D$ 和 $A B$ 分别交于点F和点G，求线段 $A G$ 的长度.

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四、培优

18. 【课本再现】

(1)、正方形 $A B C D$ 的对角线相交于点 $O$ ，正方形 $A^{'} B^{'} C^{'} O$ 与正方形 $A B C D$ 的边长相等，如图1摆放时，易得重叠部分的面积与正方形 $A B C D$ 的面积的比值是 $\frac{1}{4}$ ；在正方形 $A^{'} B^{'} C^{'} O$ 绕点 $O$ 旋转的过程中（如图2），上述比值有没有变化？请说明理由．

(2)、【拓展延伸】如图3，在正方形 $A B C D$ 中， $∠ E P F$ 的顶点 $P$ 在对角线 $A C$ 上，且 $∠ E P F = 90 °$ ， $A P ： P C = 1 ： 2$ ，将 $∠ E P F$ 绕点 $P$ 旋转，旋转过程中， $∠ E P F$ 的两边分别与 $A B$ 边和 $B C$ 边交于点 $E$ ， $F$ ．
①在 $∠ E P F$ 的旋转过程中，试探究 $P E$ 与 $P F$ 的数量关系，并说明理由；

②若 $A C = 12$ ，当点 $F$ 与点 $B$ 重合时，求 $A E$ 的长．

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19. 【情境再现】

(1)、如图1，在正方形 $A B C D$ 中，点E、F分别在边 $A B 、 B C$ 上，且 $D E ⊥ A F$ ，求证： $D E = A F$ .

(2)、【迁移应用】
如图2，在矩形 $A B C D$ 中， $A D = k A B$ （k为常数），点E、F、G、H分别在矩形 $A B C D$ 的边上，且 $E G ⊥ F H$ ，求证： $E G = k F H$ .

(3)、【拓展延伸】
如图3，在四边形 $A B C D$ 中， $∠ A B C = ∠ A D C = 90 °$ ， $∠ B C D = 60 °$ ， $C D = 4$ ，点E、F分别在边 $A B 、 B C$ 上，且 $C E ⊥ D F$ ， $\frac{D F}{C E} = 4 \sqrt{3} - 6$ ，求 $A B$ 的长.

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20. 【推理】
如图1，在正方形 $A B C D$ 中，点 $E$ 是 $C D$ 上一动点，将正方形沿着 $B E$ 折叠，点 $C$ 落在点 $F$ 处，连结 $B E$ ， $C F$ ，延长 $C F$ 交 $A D$ 于点 $G$ ．

(1)、求证： $△ B C E$ ≌ $△ C D G$ ．

(2)、如图2，在【推理】条件下，延长 $B F$ 交 $A D$ 于点 $H .$ 若 $\frac{H D}{H F} = \frac{4}{5}$ ， $C E = 9$ ，求线段 $D E$ 的长．

(3)、将正方形改成矩形，同样沿着 $B E$ 折叠，连结 $C F$ ，延长 $C F$ ， $B F$ 交直线 $A D$ 于 $G$ ， $H$ 两点，若 $\frac{A B}{B C} = k$ ， $\frac{H D}{H F} = \frac{4}{5}$ ，求 $\frac{D E}{E C}$ 的值 $($ 用含 $k$ 的代数式表示 $)$ ．

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21.

(1)、【问题探究】如图1，在正方形 $A B C D$ 中，点E、F、G、H分别在线段 $A B$ 、 $B C$ 、 $C D$ 、 $D A$ 上，且 $E G ⊥ F H$ .试猜想 $\frac{E G}{F H}$ 的值，并证明你的猜想.

(2)、【知识迁移】如图2，在矩形 $A B C D$ 中， $A B = m$ ， $B C = n$ ，点E、F、G、H分别在线段 $A B$ 、 $B C$ 、 $C D$ 、 $D A$ 上，且 $E G ⊥ F H$ .则求 $\frac{E G}{F H}$ 的值（用含m，n的式子表示）.

(3)、【拓展应用】如图3，在四边形 $A B C D$ 中， $∠ D A B = 90 °$ ， $∠ A B C = 60 °$ ， $A B = B C$ ，点E、F分别在线段 $A B$ 、 $A D$ 上，且 $C E ⊥ B F$ .则 $\frac{C E}{B F} =$ .

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22. 如图

(1)、【问题情境】如图1，四边形ABCD是正方形，点E是AD边上的一个动点，以CE为边在CE的右侧作正方形CEFG，连接DG、BE，则DG与BE的数量关系是；

(2)、如图2，四边形ABCD是矩形，AB=2，BC=4，点E是AD边上的一个动点，以CE为边在CE的右侧作矩形CEFG，且CG：CE=1：2，连接DG、BE.判断线段DG与BE有怎样的数量关系和位置关系，并说明理由；

(3)、【拓展提升】如图3，在（2）的条件下，连接BG，则2BG+BE的最小值为.

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23.

(1)、【基础巩固】如图1，在 $△ A B C$ 中， $D ， E ， F$ 分别为 $A B ， A C ， B C$ 上的点， $D E ∥ B C ， A F$ 交 $D E$ 于点G，求证： $\frac{D G}{E G} = \frac{B F}{C F}$ .

(2)、【尝试应用】如图2，已知 $D 、 E$ 为 $△ A B C$ 的边 $B C$ 上的两点，且满足 $B D = 2 D E = 4 C E$ ，一条平行于 $A B$ 的直线分别交 $A D 、 A E$ 和 $A C$ 于点 $L 、 M$ 和 $N$ ，求 $\frac{L M}{M N}$ 的值.

(3)、【拓展提高】如图3，点E是正方形 $A B C D$ 的边 $C D$ 上的一个动点， $A B = 3$ ，延长 $C D$ 至点F，使 $D F = 2 D E$ ，连接 $C G$ ，求 $C G$ 的最小值.

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24. 如图①．在矩形 $A B C D$ ． $A B = 3 ， A D = 5$ ，点 $E$ 在边 $B C$ 上，且 $B E = 2$ ．动点 $P$ 从点 $E$ 出发，沿折线 $E B - B A - A D$ 以每秒 $1$ 个单位长度的速度运动，作 $∠ P E Q = 90 °$ ， $E Q$ 交边 $A D$ 或边 $D C$ 于点 $Q$ ，连续 $P Q$ ．当点 $Q$ 与点 $C$ 重合时，点 $P$ 停止运动．设点 $P$ 的运动时间为 $t$ 秒．（ $t > 0$ ）

(1)、当点 $P$ 和点 $B$ 重合时，线段 $P Q$ 的长为；

(2)、当点 $Q$ 和点 $D$ 重合时，求 $t a n ∠ P Q E$ ；

(3)、当点 $P$ 在边 $A D$ 上运动时， $△ P Q E$ 的形状始终是等腰直角三角形．如图②．请说明理由；

(4)、作点 $E$ 关于直线 $P Q$ 的对称点 $F$ ，连接 $P F$ 、 $Q F$ ，当四边形 $E P F Q$ 和矩形 $A B C D$ 重叠部分图形为轴对称四边形时，直接写出 $t$ 的取值范围．

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