【备考2024年】中考数学杭州卷真题变式分层精准练第19题

试卷更新日期：2023-08-30 类型：二轮复习

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一、原题

1. 如图，平行四边形 $A B C D$ 的对角线 $A C ， B D$ 相交于点 $O$ ，点 $E ， F$ 在对角线 $B D$ 上，且 $B E = E F = F D$ ，连接 $A E ， E C$ ， $C F ， F A$ ．

(1)、求证：四边形 $A E C F$ 是平行四边形．

(2)、若 $△ A B E$ 的面积等于2，求 $△ C F O$ 的面积．

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二、基础

2. 如图，在平行四边形 $A B C D$ 中，点E，F对角线 $A C$ 上，且 $A E = C F$ ，连接 $D E$ 、 $E B$ 、 $B F$ 、 $F D$ 、求证：四边形 $D E B F$ 是平行四边形．

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3. 如图，在 $▱ A B C D$ 中，点E在 $A B$ 上，点F在 $C D$ 上，且 $A E = C F$ ．

(1)、求证：四边形 $D E B F$ 是平行四边形；

(2)、若 $D E$ 为 $∠ A D C$ 的平分线，且 $A D = 3$ ， $E B = 2$ ，求 $▱ A B C D$ 的周长．

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4. 如图，四边形 $A B C D$ 对角线交于点 $O$ ，且 $O$ 为 $A C$ 中点，点 $E$ 、 $F$ 在直线 $A C$ 上， $A E = C F$ ， $D F ∥ B E$ ．求证：四边形 $A B C D$ 是平行四边形．

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5. 如图，在 $▱ A B C D$ 中，对角线 $A C$ ， $B D$ 相交于点O ，点E ， F在 $A C$ 上，点G ， H在 $B D$ 上，且 $A E = C F$ ， $B G = D H$ ．

(1)、若 $A C = A D$ ， $∠ C A D = 70 °$ ，试求 $∠ A B C$ 的度数．

(2)、求证：四边形 $E G F H$ 是平行四边形．

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6. 如图，点B是 $∠ M A N$ 的边 $A M$ 上的定点，点C是边 $A N$ 上的动点，将 $△ A B C$ 绕点B逆时针旋转得到 $△ D B E$ ，且点A的对应点D恰好落在边 $A N$ 上，连接 $C E$ ．点F是 $B C$ 上一点，连接 $A F$ ，且点F到 $A B$ 的距离等于点F到 $A C$ 的距离．当 $B C = A C$ 时．

(1)、求证：四边形 $A B E C$ 是平行四边形；

(2)、若 $∠ B C E = 50 °$ ，求 $∠ B A F$ 的度数．

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7. 如图，等边 $△ A B C$ 的边长是4，D、E分别为 $A B$ 、 $A C$ 的中点，过E点作 $E F ∥ D C$ 交 $B C$ 的延长线于点F，连接 $C D$ ．

(1)、求证：四边形 $C D E F$ 平行四边形；

(2)、求 $E F$ 的长．

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8. 如图，点B是 $∠ M A N$ 的边 $A M$ 上的定点，点C是边 $A N$ 上的动点，将 $△ A B C$ 绕点B逆时针旋转得到 $△ D B E$ ，且点A对应点D恰好落在边 $A N$ 上，连接 $C E$ ．点F是 $B C$ 上一点，连接 $A F$ ，且点F到 $A B$ 的距离等于点F到 $A C$ 的距离．当 $B C = A C$ 时．

(1)、求证：四边形 $A B E C$ 是平行四边形；

(2)、若 $∠ B C E = 50 °$ ，求 $∠ B A F$ 度数．

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9. 如图，在四边形 $A B C D$ 中， $∠ A C B = ∠ C A D = 90 °$ ，点 $E$ 在 $B C$ 边上， $A E ∥ D C$ ， $E F ⊥ A B$ ，垂足为 $F$ ．

(1)、求证：四边形 $A E C D$ 是平行四边形；

(2)、若 $A E$ 平分 $∠ B A C$ ， $B E = 5$ ， $\frac{B F}{B E} = \frac{4}{5}$ ，求 $B F$ 和 $A D$ 的长．

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10. 如图，在 $△ A B C$ 中， $∠ A C B = 90 °$ ， D为 $A B$ 边上一点，连接 $C D$ ， E为 $C D$ 中点，过点C作 $C F ∥ B D$ 交BE的延长线于F，连接 $D F$ 交 $A C$ 于点G，连接 $C F$ ．

(1)、求证：四边形 $D B C F$ 是平行四边形；

(2)、若 $∠ A = 30 °$ ， $B C = 4$ ， $C F = 6$ ，求四边形 $D B C F$ 的面积．

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三、提高

11. 如图，点 $A$ ， $F$ ， $C$ ， $D$ 在同一条直线上，点 $B$ ， $E$ 分别在直线 $A D$ 的两侧，且 $A B = D E$ ， $∠ A = ∠ D$ ， $A F = D C$ .

(1)、求证：四边形 $B F E C$ 是平行四边形

(2)、若四边形 $B F E C$ 是菱形， $∠ A B C = 90 °$ ， $A B = 4$ ， $B C = 3$ ，求 $A F$ 的长.

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12. 如图， $A M$ 是 $△ A B C$ 的中线， $D$ 是线段 $A M$ 上一点（不与点 $A$ 重合）． $D E ∥ A B$ 交 $A C$ 于点 $F$ ， $C E ∥ A M$ ，连接 $A E$ ．

(1)、如图1，当点 $D$ 与 $M$ 重合时，证明 $△ A B D ≌ △ E D C$ ；

(2)、如图1，当点 $D$ 与 $M$ 重合时，求证：四边形 $A B D E$ 是平行四边形；

(3)、如图2，当点 $D$ 不与 $M$ 重合时，（2）中的结论还成立吗？请说明理由．

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13. 如图，在 $R t △ A B C$ 中， $∠ B = 90 °$ ，点E是 $A C$ 的中点， $∠ B A C$ 的平分线 $A D$ 交 $B C$ 于点D ，作 $A F ∥ B C$ ，连接 $D E$ 并延长交 $A F$ 于点F ，连接 $F C$ ．

(1)、求证：四边形 $A D C F$ 是平行四边形；

(2)、当 $∠ A C B = 30 °$ 时，请判断四边形 $A D C F$ 的形状，并说明理由．

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14. 如图，已知 $△ A B C$ 是等边三角形，点 $D$ 是 $A B$ 边上的一点．

(1)、求作：直线 $D E$ ，使 $D E ⊥ B C$ 于点 $E$ （要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）；

(2)、在（1）所作图中，取 $A C$ 边上的点 $F$ ，使 $A F = A D$ ，连接 $D F$ ， $E F$ ．若 $B D = 2 A D$ ，请按要求补全图形，并证明四边形 $D B E F$ 是平行四边形（若完成第（1）题有困难，可画草图完成第（2）题）．

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15. 如图，在 $△ A B C$ 中， $D$ ， $E$ 分别是边 $B C$ ， $A C$ 的中点，过点 $A$ 作 $A F ∥ B C$ 交 $D E$ 延长线于点 $F$ ，连接 $A D$ ， $C F$ ．

(1)、求证：四边形 $A B D F$ 为平行四边形；

(2)、请对 $△ A B C$ 的边或角添加一个条件，使得四边形 $A D C F$ 成为菱形，并进行证明．

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16. 如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，E是AD的中点，过点A作AF∥BC，交BE的延长线于点F，连结CF.

(1)、求证：① △AEF≌△DEB；② 四边形ADCF是平行四边形；

(2)、若AB=AC，试判断四边形ADCF的形状，并证明你的结论.

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四、培优

17. 如图，在 $▱ A B C D$ 中， $B E ∥ D F$ 且分别交对角线 $A C$ 于点E、F ，连接 $B D 、 B F$ ．

(1)、求证：四边形 $B E D F$ 是平行四边形；

(2)、若 $D F ⊥ A C$ ， $D F = 12$ ， $D C = B F = 13$ ，求 $B C$ 的长．

(3)、在（2）的条件下，求四边形 $A B C D$ 的面积．

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18. 综合与实践：如图，在 $▱ A B C D$ 中， $∠ B A D$ 的平分线交边 $B C$ 于点 $E$ ，交边 $D C$ 的延长线于点 $F$ ．

(1)、如图1，求证： $C E = C F$ ；

(2)、如图2，若 $∠ A B C = 90 °$ ， $G$ 是 $E F$ 的中点，分别连接 $C G$ ， $B G$ ， $D G$ ，求证： $D G ⊥ B G$ ；

(3)、如图3，若 $∠ A B C = 120 °$ ，四边形 $C F G E$ 为平行四边形，分别连接 $D B$ ， $D G$ ， $B G$ ，请直接判断 $△ B D G$ 的形状．

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19. “先天下之忧而忧，后天下之乐而乐”这是《岳阳楼记》中的一句千古名言，也是岳阳精神的真实写照，这句话具有鲜明的对称美．如果一个凸四边形沿着它的一条对角线对折后能完全重合，我们就把这个四边形称为“忧乐四边形”．如图1，凸四边形 $A B C D$ 沿对角线 $A C$ 对折后完全重合，四边形 $A B C D$ 是以直线 $A C$ 为对称轴的“忧乐四边形”．

(1)、下列四边形一定是“忧乐四边形”的有（填序号）
①平行四边形；②长方形；③正方形；④菱形；⑤梯形

(2)、在四边形 $A B C D$ 中，点E是 $B C$ 边上的中点，四边形 $A B E F$ 是以直线 $A E$ 为对称轴的“忧乐四边形”（点F在四边形 $A B C D$ 内部），连接 $A F$ 并延长交 $D C$ 于点G ．
①如图2，若四边形 $A B C D$ 是矩形，求证：四边形 $F E C G$ 是“忧乐四边形”．
②如图3，若四边形 $A B C D$ 是平行四边形，①中的结论是否仍然成立，请说明理由．

(3)、如图4，四边形 $A B C D$ 是正方形，且点E为线段 $B C$ 上的动点（不与B、C重合），四边形 $A B E F$ 是以直线 $A E$ 为对称轴的“忧乐四边形”（点F在正方形 $A B C D$ 内部），连接 $D F$ 并延长，与 $A E$ 的延长线交于点H ，连接 $C H$ ，请直接写出 $D H ， A H ， C H$ 三条线段之间的数量关系．

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20. 综合与实践
如图1，在正方形 $A B C D$ 中，点 $E$ ， $F$ 分别是边 $B C$ ， $C D$ 上的点，且 $A E ⊥ B F$ ．

(1)、求证： $A E = B F$ ．

(2)、如图2，在图1的基础上，过点 $E$ 作 $A E$ 的垂线，与正方形 $A B C D$ 的外角 $∠ D C M$ 的平分线交于点 $N$ ，连接 $F N$ ．求证：四边形 $B E N F$ 是平行四边形．（提示：在 $A B$ 上截取 $A G = C E$ ，连接 $E G$ ）

(3)、如图3，连接 $A F$ ，若四边形 $B E N F$ 的面积是9， $A B = 4$ ，则直接写出 $A F$ 的长．

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21. 综合与探究
如图，直线 $A B ： y = - x + 3$ 分别交 $x$ 轴， $y$ 轴于点 $B ， E$ ，过点A作直线 $C D$ 分别交 $x$ 轴， $y$ 轴于点 $C (- 9 ， 0)$ ， $D (0 ， \frac{9}{2})$ ．

(1)、求直线 $C D$ 的解析式．

(2)、在 $y$ 轴左侧作直线 $F G ∥ y$ 轴，分别交直线 $A B$ ， $C D$ 于点 $F ， G$ ．当 $F G = 2 D E$ 时，过点 $G$ 作直线 $G H$ $∥ x$ 轴，交 $y$ 轴于点 $H$ ．能否在直线 $G H$ 上找一点 $P$ ，使 $P F + P D$ 的值最小，求出 $P$ 点的坐标．

(3)、 $M$ 为直线 $C D$ 上一点，在（2）的条件下， $x$ 轴上是否存在点 $Q$ 使得以 $P ， Q ， M ， O$ 为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点 $Q$ 的坐标；若不存在，请说明理由．

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22. 综合与实践

(1)、问题情境：

在综合实践活动课上，同学们以“平行四边形纸片的折叠”为主题开展数学活动．在平行四边形纸片 $A B C D$ 中，E为 $C D$ 边上任意一点，将 $△ A D E$ 沿 $A E$ 折叠，点D的对应点为 $D^{'}$ ．

分析探究：
如图1，当点 $D^{'}$ 恰好落在 $A B$ 边上时，四边形 $D^{'} B C E$ 的形状为．

(2)、问题解决：
如图2，当E，F为 $C D$ 边的三等分点时，连接 $F D^{'}$ 并延长，交 $A B$ 边于点G．试判断线段 $A G$ 与 $B G$ 的数量关系，并说明理由．

(3)、如图3，当 $∠ A B C = 60 °$ ， $∠ D A E = 45 °$ 时，连接 $D D^{'}$ 并延长，交 $B C$ 边于点H．若 $▱ A B C D$ 的面积为24， $A D = 4$ ，请直接写出线段 $D^{'} H$ 的长．

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