【备考2024年】中考数学杭州卷真题变式分层精准练第17题

试卷更新日期：2023-08-30 类型：二轮复习

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一、原题

1. 设一元二次方程 $x^{2} + b x + c = 0$ ．在下面的四组条件中选择其中一组 $b ， c$ 的值，使这个方程有两个不相等的实数根，并解这个方程．
① $b = 2 ， c = 1$ ；② $b = 3 ， c = 1$ ；③ $b = 3 ， c = - 1$ ；④ $b = 2 ， c = 2$ ．

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二、基础

2. 有甲、乙两位同学，根据“关于x的一元二次方程kx²-（k+2）x+2=0”（k为实数）这一已知条件，他们各自提出了一个问题考查对方，问题如下：
甲：你能不解方程判断方程实数根的情况吗？
乙：若方程有两个不相等的正整数根，你知道整数k的值等于多少吗？请你帮助两人解决上述问题．

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3. 已知一元二次方程 $a x^{2} + b x + c = 0 (a \neq 0)$ ．
①若方程两根为1和2，则 $2 a - c = 0$ ；

②若 $b = 2 a + c$ ，则一元二次方程 $a x^{2} + b x + c = 0$ 有两个不相等的实数根；

③若 $m$ 是方程 $a x^{2} + b x + c = 0$ 的一个根，则一定有 $b^{2} - 4 a c = (2 a m + b)^{2}$ 成立．

判断以上说法是否正确，并说明理由．

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4. 已知一元二次方程 $a x^{2} + 2 x + 1 = 0$ 有两个不相等的实数根，求a的取值范围.

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5. 已知关于x的一元二次方程 $x^{2} + 3 x + k - 2 = 0$ 的两个实数根分别为 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ，若 $(x_{1} + 1) (x_{2} + 1) = - 1$ ，求k的值．

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6. 关于 $x$ 的一元二次方程 $m x^{2} - (3 m - 1) x + 2 m - 1 = 0$ ，其根的判别式的值为 $1$ ，求 $m$ 的值及该方程的解．

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7. 已知关于x的方程 $x^{2} - (k + 3) x + 2 k + 2 = 0$ ．

(1)、求证：该方程总有两个实数根；

(2)、记该方程的两个实数根为 $x_{1} ， x_{2}$ ，若 $x_{1} = 3 x_{2}$ ，求k值；

(3)、若 $M = x_{1}^{2} + x_{2}^{2} + x_{1} x_{2}$ ，证明： $M \geq 3$ ．

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8. 已知关于 $x$ 的一元二次方程 $k x^{2} - (2 k + 4) x + k - 6 = 0$ 有两个不相等的实数根．

(1)、求 $k$ 的取值范围；

(2)、当 $k = 1$ 时，用配方法解方程．

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9. 已知关于x的一元二次方程x²－4x+m+1＝0有实数根．

(1)、求m的取值范围；

(2)、如果方程的两个实数根为x₁ ， x₂ ，且 $(x_{1} - 1) (x_{2} - 1) \geq - 1$ ，求m的所有整数值的和．

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10. 已知关于 $x$ 的一元二次方程 $(a + c) x^{2} + 2 b x + (a - c) = 0$ ，其中 $a$ ， $b$ ， $c$ 分别为 $△ A B C$ 三边的长．

(1)、如果 $x = - 1$ 是方程的根，试判断 $△ A B C$ 的形状，并说明理由；

(2)、如果方程有两个相等的实数根，试判断 $△ A B C$ 的形状，并说明理由；

(3)、如果 $△ A B C$ 是等边三角形，试求这个一元二次方程的根．

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三、提高

11. 已知关于x的一元二次方程 $x^{2} - (2 m + 1) x + m^{2} + m = 0$ ．

(1)、求证：无论m取何值，方程都有两个不相等的实数根；

(2)、如果方程的两个实数根为 $x_{1}$ ， $x_{2} (x_{1} > x_{2})$ ，且 $\frac{x_{2} + 3}{x_{1}}$ 为整数，求整数m所有可能的值．

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12. 等腰三角形的三边长分别为 $a$ 、 $b$ 、 $c$ ，若 $a = 6$ ， $b$ 与 $c$ 是方程 $x^{2} - (3 m + 1) x + 2 m^{2} + 2 m = 0$ 的两根，求此三角形的周长．

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13. 对于实数u、v，定义一种运算“*”为： $u * v = u v + v$ ．若关于x的方程 $x * (a * x) = - \frac{1}{4}$ 有两个相等的实数根，求满足条件的实数a的值．

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14. 如果关于 $x$ 的方程 $m x^{2} - 2 (m + 2) x + m + 5 = 0$ 没有实数根，试判断关于 $x$ 的方程 $(m - 5) x^{2} - 2 (m - 1) x + m = 0$ 的根的情况.

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15. 已知有关于x的一元二次方程 $（ k + 1) x^{2} - (3 k + 1) x + 2 k = 0$ ．

(1)、求k的取值范围，并判断该一元二次方程根的情况；

(2)、若方程有一个根为-2，求k的值及方程的另一个根；

(3)、若方程的一个根是另一个根3倍，求k的值．

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16. 已知关于 $x$ 的方程 $k x^{2} - 2 (k + 1) x + k - 1 = 0$ 有两个不相等的实数根．

(1)、求 $k$ 的取值范围．

(2)、是否存在实数 $k$ ，使此方程的两个实数根的倒数和等于1？若存在，求出 $k$ 的值：若不存在，说明理由．

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四、培优

17. 已知关于 $x$ 的方程 $x^{2} - 2 x + \frac{3 k^{2} - 9 k}{x^{2} - 2 x - 2 k} = 3 - 2 k$ 有四个不同的实数根，求 $k$ 的取值范围.

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18. a是大于零的实数，已知存在唯一的实数 $k$ ，使得关于 $x$ 的二次方程 $x^{2} + (k^{2} + ak) x + 1999 + k^{2} + ak = 0$ 的两个根均为质数 $.$ 求 $a$ 的值．

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19. 阅读材料：已知方程p²﹣p﹣1＝0，1﹣q﹣q²＝0且pq≠1，求 $\frac{p q + 1}{q}$ 的值．
解：由p²﹣p﹣1＝0，及1﹣q﹣q²＝0可知p≠0，

又∵pq≠1，

∴p≠ $\frac{1}{q}$ ．

∵1﹣q﹣q²＝0可变形为 ${(\frac{1}{q})}^{2} - \frac{1}{q}$ ﹣1＝0，

根据p²﹣p﹣1＝0和 ${(\frac{1}{q})}^{2} - \frac{1}{q}$ ﹣1＝0的特征，

∴p、 $\frac{1}{q}$ 是方程x²﹣x﹣1＝0的两个不相等的实数根，

则p+ $\frac{1}{q}$ ，即 $\frac{p q + 1}{q} = 1$ ．

根据阅读材料所提供的方法，完成下面的解答．

已知：2m²﹣5m﹣1＝0， $\frac{1}{n^{2}} + \frac{5}{n} - 2 = 0$ ，且m≠n ，求：

(1)、mn的值；

(2)、 $\frac{1}{m^{2}} + \frac{1}{n^{2}}$ ．

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20. 根据以下材料，完成题目．
材料一：数学家欧拉为了解决一元二次方程 $x^{2} = - 1$ 在实数范围内无解的问题，引进虚数单位 $i$ ，规定 $i^{2} = - 1$ ．当 $b \neq 0$ 时，形如 $a + b i$ （ $a$ ， $b$ 为实数）的数统称为虚数．比如 $5 i$ ， $3 + 2 i$ ， $1 - \sqrt{2} i$ ．当 $b = 0$ 时， $a + b i = a + 0 \cdot i = a$ 为实数．

材料二：虚数的运算与整式的运算类似，任意两个虚数 $a + b i$ ， $c + d i$ （其中 $a$ ， $b$ ， $c$ ， $d$ 为实数．且 $b \neq 0$ ， $d \neq 0$ ）有如下运算法则

$(a + b i) + (c + d i) = (a + c) + (b + d) i$

$(a + b i) - (c + d i) = (a - c) + (b - d) i$

$(a + b i) \cdot (c + d i) = a c + a d i + b c i + b d i^{2} = (a c - b d) + (a d + b c) i$

材料三：关于 $x$ 的一元二次方程 $a x^{2} + b x + c = 0$ （ $a$ ， $b$ ， $c$ 为实数且a≠0）如果没有实数根，那么它有两个虚数根，求根公式为 $x = \frac{- b \pm \sqrt{4 a c - b^{2}} \cdot i}{2 a}$ ．

解答以下问题：

(1)、填空：化简 $i^{4} =$ ， $(1 + i)^{2} =$ ；

(2)、关于 $x$ 的一元二次方程 $x^{2} + m x + n = 0$ 有一个根是 $1 + i$ ，其中 $m$ ， $n$ 是实数，求 $m + n$ 的值；

(3)、已知关于 $x$ 的一元二次方程 $x^{2} - 3 x - k + 4 = 0$ 无实数根，且 $k$ 为正整数，求该方程的虚数根．

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