广东省广州市2023-2024学年高三上学期数学8月阶段训练试题

试卷更新日期：2023-08-29 类型：月考试卷

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一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1. 已知集合 $M = {x ∣ x^{2} - x - 2 ⩽ 0} ， N = {x ∣ y = \sqrt{x + 2} + \sqrt{1 - x}}$ ，则 $M \cup N =$ （）

A、 $[- 2 ， 2]$ B、 $[- 1 ， 1]$ C、 $[- 2 ， 1]$ D、 $[- 1 ， 2]$

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2. 已知复数 $z$ 满足 $(1 - i) z = 1 + i$ ，则 $z =$ （）

A、 $- i$ B、 $i$ C、 $1 - i$ D、 $1 + i$

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3. 在 $▱ A B C D$ 中， $G$ 为 $△ A B C$ 的重心，满足 $\vec{A G} = x \vec{A B} + y \vec{A D} (x ， y \in R)$ ，则 $x + 2 y =$ （）

A、 $\frac{4}{3}$ B、 $\frac{5}{3}$ C、0 D、-1

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4. 设命题 $p$ ：若数列 ${a_{n}}$ 是公差不为0的等差数列，则点 $P (n ， a_{n})$ 必在一次函数图象上；命题 $q$ ：若正项数列 ${a_{n}}$ 是公比不为1的等比数列，则点 $Q (n ， a_{n})$ 必在指数函数图象上.下列说法正确的是（）

A、p、q均为真命题 B、p、q均为假命题 C、 $p$ 真 $q$ 假 D、 $p$ 假 $q$ 真

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5. 某人从 $A$ 地到 $B$ 地，乘火车、轮船、飞机的概率分别为0.3，0.3，0.4，乘火车迟到的概率为0.2，乘轮船迟到的概率为0.3，乘飞机迟到的概率为0.4，则这个人从 $A$ 地到 $B$ 地迟到的概率是（）

A、0.16 B、0.31 C、0.4 D、0.32

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6. 已知把物体放在空气中冷却时，若物体原来的温度是 ${θ_{1}}^{°} C$ ，空气的温度是 $θ_{0} ℃$ ，则 $t m i n$ 后物体的温度 $θ^{°} C$ 满足公式 $θ = θ_{0} + (θ_{1} - θ_{0}) e^{- k t}$ (其中 $k$ 是一个随着物体与空气的接触状况而定的正常数).某天小明同学将温度是 $8 0^{°} C$ 的牛奶放在 $2 0^{°} C$ 空气中，冷却 $2 m i n$ 后牛奶的温度是 $5 0^{°} C$ ，则下列说法正确的是（）

A、 $k = l n 2$ B、 $k = 2 l n 2$ C、牛奶的温度降至 $3 5^{°} C$ 还需 $4 m i n$ D、牛奶的温度降至 $3 5^{°} C$ 还需 $2 m i n$

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7. 已知 $F_{1} ， F_{2}$ 分别是椭圆 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左，右焦点，M，N是椭圆 $C$ 上两点，且 $\vec{M F_{1}} = 2 \vec{F_{1} N} ， \vec{M F_{2}} \cdot \vec{M N} = 0$ ，则椭圆 $C$ 的离心率为（）

A、 $\frac{3}{4}$ B、 $\frac{2}{3}$ C、 $\frac{\sqrt{5}}{3}$ D、 $\frac{\sqrt{7}}{4}$

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8. 记 $a = \sqrt[2023]{2022} ， b = \sqrt[2023]{2023} ， c = \sqrt[2024]{2023}$ ，则a，b，c的大小关系是（）

A、 $a > b > c$ B、 $a > c > b$ C、 $b > c > a$ D、 $b > a > c$

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二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9. 已知一组样本数据 $x_{1} ， x_{2} ， ⋯ ， x_{n} (n ⩾ 4)$ 均为正数，且 $x_{1} < x_{2} < ⋯ < x_{n}$ ，若由 $y_{k} = 2 x_{k} - 1 (k = 1 ， 2 ， ⋯ ， n)$ 生成一组新的数据 $y_{1} ， y_{2} ， ⋯ ， y_{n}$ ，则这组新数据与原数据的（）可能相等.

A、极差 B、平均数 C、中位数 D、标准差

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10. 已知 $O$ 为抛物线 $C ： y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 的顶点，直线 $l$ 交抛物线于M ， N两点，过点M ， N分别向准线 $x = - \frac{p}{2}$ 作垂线，垂足分别为P ， Q ，则下列说法正确的是（）

A、若直线l过焦点 $F$ ，则N ， O ， P三点不共线 B、若直线 $l$ 过焦点 $F$ ，则 $P F ⊥ Q F$ C、若直线 $l$ 过焦点 $F$ ，则抛物线 $C$ 在M，N处的两条切线的交点在某定直线上 D、若 $O M ⊥ O N$ ，则直线 $l$ 恒过点 $(2 p ， 0)$

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11. 已知正四面体 $P - A B C$ 的棱长为2，下列说法正确的是（）

A、正四面体 $P - A B C$ 的外接球表面积为 $6 π$ B、正四面体 $P - A B C$ 内任意一点到四个面的距离之和为定值 C、正四面体 $P - A B C$ 的相邻两个面所成二面角的正弦值为 $\frac{1}{3}$ D、正四面体 $Q - M N G$ 在正四面体 $P - A B C$ 的内部，且可以任意转动，则正四面体 $Q - M N G$ 的体积最大值为 $\frac{2 \sqrt{2}}{81}$

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12. 若 $f (x)$ 是定义在 $R$ 上的偶函数，其图象关于直线 $x = 1$ 对称，且对任意 $x_{1} ， x ， \in [0 ， \frac{1}{2}]$ ，都有 $f (x_{1} + x_{2}) = f (x_{1}) f (x_{2})$ ，则下列说法正确的是（）

A、 $f (1)$ 一定为正数 B、2是 $f (x)$ 的一个周期 C、若 $f (1) = 1$ ，则 $f (\frac{2023}{4}) = 1$ D、若 $f (x)$ 在 $[0 ， \frac{1}{2}]$ 上单调递增，则 $f (1) \neq \frac{1}{2024}$

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三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13. 已知 $s i n α c o s (α + \frac{π}{6}) = 3 c o s α s i n (α + \frac{π}{6})$ ，则 $t a n α =$ .

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14. 已知Rt $△ A B C$ 的两条直角边分别为3，4，以斜边所在直线为轴，其余各边旋转一周形成的曲面围成的几何体体积是.

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15. 已知函数 $f (x) = s i n ω x + \sqrt{3} c o s ω x (ω > 0)$ 在 $[0 ， 2 π]$ 上有且仅有4个零点，且 $f (\frac{π}{3} + x) = - f (\frac{π}{3} - x)$ ，则 $f (\frac{π}{6}) =$ .

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16. 已知 $⊙ O_{1} ： x^{2} + (y - 2)^{2} = 1 ， ⊙ O_{2} ： (x - 3)^{2} + (y - 6)^{2} = 9$ ，过 $x$ 轴上一点 $P$ 分别作两圆的切线，切点分别是M ， N ，当 $| P M | + | P N |$ 取到最小值时，点 $P$ 坐标为.

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四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17. 在 $△ A B C$ 中， $A C = 2 ， A B = \sqrt{6} ， D$ 为BC中点.

(1)、若AD=2，求BC；

(2)、若 $∠ B A D = \frac{π}{4}$ ，求 $s i n ∠ D A C$ 的值.

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18. 西梅以“梅”为名，实际上不是梅子，而是李子，中文正规名叫“欧洲李”，素有“奇迹水果”的美誉.因此，每批西梅进人市场之前，会对其进行检测，现随机抽取了10箱西梅，其中有4箱测定为一等品.

(1)、现从这10箱中任取3箱，求恰好有1箱是一等品的概率；

(2)、以这10箱的检测结果来估计这一批西梅的情况，若从这一批西梅中随机抽取3箱，记 $ξ$ 表示抽到一等品的箱数，求 $ξ$ 的分布列和期望.

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19. 如图，在四棱柱 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，底面ABCD和侧面 $A B B_{1} A_{1}$ 均为矩形， $A B = 2 ， B C = 6$ ， $B B_{1} = 2 \sqrt{3} ， A_{1} C = 4$ .

(1)、求证： $A_{1} D ⊥ D C$ ；

(2)、求 $A C_{1}$ 与平面 $B A A_{1} B_{1}$ 所成角的正弦值.

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20. 已知数列 ${a_{n}}$ 满足 $a_{1} > 0 ， a_{n + 1} = {\begin{array}{l} l o g_{2} a_{n} ， n 为奇数， \\ 2^{a_{n} + 2} ， n 为偶数 . \end{array}$

(1)、判断数列 ${a_{2 n - 1}}$ 是否是等比数列？若是，给出证明；否则，请说明理由；

(2)、若数列 ${a_{n}}$ 的前10项和为361，记 $b_{n} = \frac{1}{(l o g_{2} a_{2 n + 1}) \cdot a_{2 n + 2}}$ ，数列 ${b_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $T_{n}$ ，求证： $T_{n} < \frac{7}{16}$ .

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21. 已知双曲线 $\frac{x^{2}}{4} - \frac{y^{2}}{9} = 1$ 与直线 $l ： y = k x + m (k \neq \pm \frac{3}{2})$ 有唯一的公共点 $M$ .

(1)、若点 $N (2 ， 9)$ 在直线 $l$ 上，求直线 $l$ 的方程；

(2)、过点 $M$ 且与直线 $l$ 垂直的直线分别交 $x$ 轴于 $A (x_{1} ， 0) ， y$ 轴于 $B (0 ， y_{1})$ 两点.是否存在定点G ， H ，使得 $M$ 在双曲线上运动时，动点 $P (x_{1} ， y_{1})$ 使得 $| | P G | - | P H | |$ 为定值.

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22. 已知函数 $f (x) = x l n x$ .

(1)、讨论 $f (x)$ 的单调性；

(2)、若两个不相等的正实数a ， b满足 $f (a) = f (b)$ ，求证： $a + b < 1$ ；

(3)、若 $\frac{π}{4} < α < \frac{π}{2}$ ，求证： $f (c o s α) < f (s i n α)$ .

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