四川省成都市邛崃市2022-2023学年八年级下学期期末数学试题

试卷更新日期：2023-08-29 类型：期末考试

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一、单选题

1. 若分式 $\frac{7}{x + 1}$ 有意义，那么 $x$ 的取值范围是（）

A、 $x = - 1$ B、 $x \neq - 1$ C、 $x > - 1$ D、 $x < - 1$

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2. 已知 $m + n = 3$ ， $m - n = 4$ ，则 $m^{2} - n^{2}$ 的值为（）

A、12 B、 $- 12$ C、25 D、 $- 25$

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3. 下列图标中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（）

A、 B、 C、 D、

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4. 在平面直角坐标系中有两点 $P (2 ， 3)$ ， $Q (- 3 ， 0)$ ，平移线段 $P Q$ 至某处，若此时点P的对应点 $P^{'}$ 的坐标为 $(- 1 ， 4)$ ，则点Q的对应点 $Q^{'}$ 的坐标为（）

A、 $(- 2 ， - 1)$ B、 $(0 ， - 1)$ C、 $(- 4 ， 1)$ D、 $(- 6 ， 1)$

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5. 已知直线 $a ∥ b$ ，将以 $P M$ ， $P N$ 为两腰的等腰 $△ P M N$ 的顶点P，N按如图所示的方式分别放在a，b上，若 $∠ M = 40 °$ ， $∠ 1 = 35 °$ ，则 $∠ 2 =$ （）

A、 $75 °$ B、 $70 °$ C、 $65 °$ D、 $60 °$

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6. 在平面直角坐标系中，若点 $A (x - 1 ， 3 x + 9)$ 在第三象限，则 $x$ 的取值范围为（）

A、 $x > 1$ B、 $x < - 3$ C、 $- 3 < x < 1$ D、 $x > - 3$

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7. 如图， $▱ A B C D$ 的对角线 $A C ， B D$ 相交于点 $O$ ，若 $A C = 16$ ， $B D = 12$ ， $A D = 10$ ，则 $▱ A B C D$ 的周长为（）

A、36 B、38 C、40 D、42

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8. 为了帮助遭受自然灾害的地区重建家园，某学校号召同学们自愿捐款．已知七年级同学捐款总额为5500元，八年级同学捐款总额为6000元，八年级捐款人数比七年级多30人，而且两个年级人均捐款额恰好相等．如果设七年级捐款人数为 $x$ 人，则所列方程为（）

A、 $\frac{5500}{x} = \frac{6000}{x + 30}$ B、 $\frac{5500}{x + 30} = \frac{6000}{x}$ C、 $\frac{5500}{x - 30} = \frac{6000}{x}$ D、 $\frac{5500}{x} = \frac{6000}{x - 30}$

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二、填空题

9. 已知 $a < b$ ，则 $a + 3$ $b + 3$ ．（填“ $>$ ”、“ $<$ ”或“ $=$ ”）

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10. 已知一个n边形的每一个外角都为30°，则n等于．

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11. 如图，在 $R t △ D E F$ 中， $∠ F = 30 °$ ，将 $△ D E F$ 绕点 $D$ 逆时针旋转一定的角度至 $△ D E^{'} F^{'}$ 处，此时点E， $D$ ， $F^{'}$ 恰好在同一条直线上，连接 $E E^{'}$ ，若 $E E^{'} = \sqrt{3}$ ，则 $D F =$ ．

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12. 若多项式 $a^{2} + 1 + M$ 的结果是一个多项式的平方，则单项式 $M =$ ．（只填一个你认为正确的答案）

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13. 如图，在 $▱ A B C D$ 中， $A B = \frac{3}{2} A D$ ，按以下步骤作图：①以点 $B$ 为圆心，合适的长为半径作弧，分别交 $A B ， B C$ 于点M，N；②分别以点M，N为圆心，大于 $\frac{1}{2} M N$ 的长为半径作弧，两弧在 $∠ A B C$ 内交于点O；③作射线 $B O$ ，交 $C D$ 于点E．若 $D E = 2$ ，则 $A B$ 的长为．

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三、解答题

14.

(1)、分解因式： $(x + 1) (x + 2) - 2$ ．

(2)、解不等式组： ${\begin{array}{l} 3 (y + 1) > 5 y - 1 ① \\ \frac{2 y - 1}{3} - \frac{5 y + 1}{2} \leq 1 ② \end{array}$ ，并求出不等式组的整数解．

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15. 解分式方程： $\frac{2 y}{y - 1} - 2 = \frac{1}{y^{2} - 1}$ ．

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16. 如图所示，在平面直角坐标系中，每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形， $△ A B C$ 的顶点均在格点上．
⑴将 $△ A B C$ 先向下平移4个单位长度，再向左平移2个单位长度，得到 $△ A^{'} B^{'} C^{'}$ ，请画出 $△ A^{'} B^{'} C^{'}$ ；
⑵将 $△ A B C$ 绕着点 $O$ 逆时针旋转 $90 °$ ，画出旋转后得到的 $△ A^{″} B^{″} C^{″}$ ，并直接写出 $A^{″}$ 的坐标；
⑶连接 $C^{'} C^{″}$ ，求线段 $C^{'} C^{″}$ 的长．

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17. 如图，在四边形 $A B C D$ 中， $A D ⊥ A B$ ， $A D ⊥ C D$ ， $E$ 为边 $A B$ 上一点，连接 $C E$ ， $B D$ 相交于点F，且 $C F = E F$ ，连接 $D E$ ．

(1)、求证：四边形 $B C D E$ 是平行四边形；

(2)、取 $C D$ 中点 $G$ ，连接 $F G$ ，若 $F G = 2$ ， $C D = 3$ ， $∠ B C D = 120 °$ ，求四边形 $B C D E$ 的面积．

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18. 关于直线 $y_{1} = m x + n$ （ $m$ ， $n$ 为常数，且 $m \neq 0$ ）和 $y_{2} = 2 x$ 有如下信息：
①当 $x > 1$ 时， $y_{2} > y_{1}$ ；当 $x < 1$ 时， $y_{2} < y_{1}$ ；
②当 $y_{1} \geq 0$ 时， $x \leq 3$ ．

(1)、求直线 $y_{1}$ 的函数关系式；

(2)、在图中画出 $y_{1}$ ， $y_{2}$ 的图象；

(3)、若 $y_{3} + y_{1} = 0$ ，求出 $y_{1}$ ， $y_{2}$ ， $y_{3}$ 围成的图形的面积．

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四、填空题

19. 若多项式 $x^{2} + m x + n$ 分解因式后的结果为 $(x + 2) (x + 3)$ ，则 $m - n$ 的值为．

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20. 已知 $\frac{1}{x} - \frac{1}{y} = \frac{4}{x - y}$ ，则代数式 $\frac{2 x}{y} + \frac{y}{2 x}$ 的值为．

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21. 现定义一种新运算： $x \oplus y = {\begin{array}{l} x + y ， x \geq y \\ x - y ， x < y \end{array}$ ，若 $a$ 满足 $(3 a - 1) \oplus (2 a + 3) > - 5$ ，则 $a$ 的取值范围为．

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22. 如图，点E，F分别为 $▱ A B C D$ 的边 $A B ， B C$ 的中点， $D E = \sqrt{5}$ ， $D F = 2 \sqrt{5}$ ， $∠ E D F = 60 °$ ，则 $A D =$ ．

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23. 如图，在等腰 $R t △ E D F$ 中， $∠ E D F = 90 °$ ， $D E = D F = 2$ ， $D G ⊥ E F$ 于点 $G$ ，点M，N分别是DE，DG上的动点，且 $D N = E M$ ，则 $F M + F N$ 的最小值为．

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五、解答题

24. 为了做好今年的防汛工作，确保人民群众生命财产安全，某地计划对区域内的河道清淤疏浚，提高河道行洪、排涝能力．现打算租赁A、B两种型号的卡车转运河道内淤积的泥沙，已知A、B两种型号卡车的相关信息如下表所示：

车辆型号	A型	B型
运输量（吨/辆・天）	$a + 50$	$a$
租金（元/辆・天）	1000	800

若A型卡车每天转运3000吨泥沙与B型卡车每天转运2700吨泥沙所需车辆数相同．

(1)、求出上表中

a

的值（写出解题过程）；

(2)、该地计划租赁A、B两种型号的卡车共10辆，且满足每天转运的泥沙不少于4750吨，租金总额不超过9600元．

①若设租赁A型卡车 $x$ 辆，每天的租金总额为 $w$ 元，请写出 $w$ 与 $x$ 的关系式；

②请列出所有的租赁方案，并求出最节省的租赁方案和此时的租金总额．

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25. 如图，在边长为 $m$ 的正方形纸片中剪去一个边长为 $n$ 的小正方形纸片 $(m > n)$ ，把剩余的部分拼成一个长方形纸片．

(1)、通过计算两个纸片中阴影部分的面积，可得等式____（填选项前面的字母）；

A、 $m^{2} + 2 m n + n^{2} = (m + n)^{2}$ B、 $m^{2} - 2 m n + n^{2} = (m - n)^{2}$ C、 $m^{2} - n^{2} = (m + n) (m - n)$ D、 $m^{2} - m n = m (m - n)$

(2)、请利用（1）中所选的结论，解答以下问题：
①如图，大正方形ABCD的面积为 $S_{1}$ ，小正方形 $C E F G$ 的面积为 $S_{2}$ ，且 $S_{1} - S_{2} = 30$ ，求不规则四边形 $B G E D$ 的面积；
②计算： $(1 - \frac{1}{2^{2}}) \times (1 - \frac{1}{3^{2}}) \times (1 - \frac{1}{4^{2}}) \times \cdot \cdot \cdot \times (1 - \frac{1}{202 2^{2}}) \times (1 - \frac{1}{202 3^{2}})$ ．

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26. 如图

(1)、尝试解决：如图1，在 $△ E D F$ 中， $∠ E D F = 90 °$ ， $D E = D F$ ，点M在边 $E F$ 上运动（M不与点E，F重合），连接 $D M$ ，过点D作线段 $D N ⊥ D M$ ，垂足为点D，且 $D N = D M$ ，连接 $N F$ ，求出 $∠ E F N$ 的度数；

(2)、类比探究：如图2，在 $△ E D F$ 中， $∠ E D F = 90 °$ ， $D E = D F$ ，点M在边 $E F$ 上运动（M不与点E，F重合），连接 $D M$ ，以 $D M$ 为腰在 $D E$ 上方作等腰 $R t △ M D N$ ，其中 $∠ M D N = 90 °$ ， $D M = D N$ ，试问线段 $D M ， E M ， F M$ 之间有怎样的等量关系？写出结论并证明；

(3)、拓展应用：如图3，在 $△ E D F$ 中， $∠ E D F = 90 °$ ， $D E = D F$ ，在 $D F$ 左侧作 $∠ D M F = 45 °$ ，若 $D M = 5$ ， $F M = 2$ ，求出 $E M$ 的长度．

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