黑龙江省哈尔滨市重点中学2023-2024学年高三上册数学开学考试试卷

试卷更新日期：2023-08-28 类型：开学考试

进入出卷网下载

一、选择题（前8个小题为单选题，每题只有一个选项，每题5分，满分40分；后4小题为多选题，每题不只有一个选项，每题5分，满分20分）

1. 已知集合A={-1，1，2，4}，B={x||x-1|≤1}，则A∩B=（）

A、{-1，2} B、{1，2} C、{1，4} D、{-1，4}

查看试题解析
2. “ $0 < a < 4$ ”是“函数 $f (x) = \frac{1}{a x^{2} - a x + 1}$ 的定义域为R”的（）

A、必要不充分条件 B、充分不必要条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

查看试题解析
3. 已知a>b ，则下列不等式中一定成立的是（）

A、 $\frac{1}{a} > \frac{1}{b}$ B、a²>b² C、lna>lnb D、2^a^-^b>1

查看试题解析
4. 方程|x²-2x|=a²+1(a>0)的解的个数是（）

A、1 B、2 C、3 D、4

查看试题解析
5. 已知 $f (x) = l g (e^{| x |} + 1)$ ， $a = 2^{0.3}$ ， $b = l o g_{3} 2$ ， $c = l o g_{2} \frac{1}{4}$ ，则 $f (a)$ 、 $f (b)$ 、 $f (c)$ 的大小关系为（）

A、 $f (c) > f (a) > f (b)$ B、 $f (b) > f (a) > f (c)$ C、 $f (a) > f (b) > f (c)$ D、 $f (c) > f (b) > f (a)$

查看试题解析
6. 函数 $f (x) = x^{2} l o g_{3} \frac{2 + x}{2 - x}$ 的大致图象是（）

A、 B、 C、 D、

查看试题解析
7. 随着社会的发展，人与人的交流变得广泛，信息的拾取、传输和处理变得频繁，这对信息技术的要求越来越高，无线电波的技术也越来越成熟，其中电磁波在空间中自由传播时能量损耗满足传输公式： $L = 32.44 + 20 l g D + 20 l g F$ ，其中D为传输距离，单位是 $k m$ ， F为载波频率，单位是 $M H z$ ， L为传输损耗（亦称衰减）单位为 $d B$ ．若传输距离变为原来的4倍，传输损耗增加了 $18 d B$ ，则载波频率变为原来约（）倍（参考数据： $l g 2 \approx 0.3 ， l g 3 \approx 0.5$ ）

A、1倍 B、2倍 C、3倍 D、4倍

查看试题解析
8. 已知函数 $f (x) = l o g_{\frac{1}{2}} (x^{2} - a x + 3 a)$ 在 $[2 ， + \infty)$ 上单调递减，则 $a$ 的取值范围（）

A、 $(- \infty ， 4]$ B、 $(- 4 ， 4]$ C、 $[- 4 ， 4]$ D、 $(- 4 ， + \infty)$

查看试题解析

二、多选题（共4个小题，每题不只有一个选项，每题5分，满分20分）

9. 已知x>0，y>0，且2x+y=2，则下列说法中正确的是（）

A、xy的最大值为 $\frac{1}{2}$ B、4x²+y²的最大值为2 C、4^x+2^y的最小值为4 D、 $\frac{2}{x} = \frac{x}{y}$ 的最小值为4

查看试题解析
10. 已知函数f(x)= $\{\begin{cases} \ln x + 2^{x} ， x > 0 \\ \frac{2}{1 - x} ， x \leq 0 \end{cases}$ 则下列结论正确的是（）

A、f(x)在R上为增函数 B、f(e)>f(2) C、若f(x)在(a ， a+1)上单调递增，则a≤-1或a≥0 D、当x∈[-1，1]时，f(x)的值域为[1，2]

查看试题解析
11. 函数 $f (x) = 2^{2 x} - 2^{x + 1} + 2$ 的定义域为 $M$ ，值域为 $[1 ， 2]$ ，下列结论中一定成立的结论是（）

A、 $M \subseteq (- \infty ， 1]$ B、 $M \supseteq [- 2 ， 1]$ C、 $1 \in M$ D、 $0 \in M$

查看试题解析
12. 已知 $f (x)$ 是定义在 $R$ 上的奇函数，且函数 $f (x + 1)$ 为偶函数，则下列结论正确的是（）

A、函数 $f (x)$ 的图象关于直线 $x = 1$ 对称 B、当 $x \in [- 7 ， 7]$ 时， $f (x)$ 的零点有6个 C、 $f (x + 4) = f (x)$ D、若 $f (1) = 1$ ，则 $\sum_{i = 1}^{2022} f (i) = - 1$

查看试题解析

三、填空题（共4个小题，，每题5分，满分20分）

13. 已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} l o g_{\frac{1}{5}} (x + 1) ， x \geq 0 \\ {(\frac{1}{2})}^{x^{2} - 3} ， x < 0 \end{array}$ ，则 $f (f (- 1)) =$ ．

查看试题解析
14. 若偶函数 $f (x)$ 在 $[0 ， + ∞)$ 上单调递减，且 $f (1) = 0$ ，则不等式 $f (x^{2} - 3 x + 3) \geq 0$ 的解集是。

查看试题解析
15. 已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} | l n x | ， x > 0 \\ e^{x} + 1 ， x \leq 0 \end{array}$ ，且函数 $g (x) = f (x) - a$ 恰有三个不同的零点，则实数 $a$ 的取值范围是．

查看试题解析
16. 函数f(x)= $\frac{1}{|x - 1|}$ -2cos(πx)在[-3，5]上的所有零点之和为。

查看试题解析

四、解答题（共6题，第17题10分，第18至第22题每题12分，共70分）

17. 盒中有4个球，分别标有数字1、1、2、3，从中随机取2个球．

(1)、求取到2个标有数字1的球的概率；

(2)、设X为取出的2个球上的数字之和，求随机变量X的分布列及数学期望．

查看试题解析
18. 在△ABC中，角A、B、C所对应的边分别为a、b、c，其中b=2．

(1)、若A+C=120°，a=2c，求边长c；

(2)、若A-C=15°，a= $\sqrt{2}$ csinA，求△ABC的面积．

查看试题解析
19. 已知等比数列 $\{a_{n}\}$ 的各项均为正值，a₃是4a₁、2a₂的等差中项，a₅=32，记 $b_{n} = \log_{2} a_{2 n - 1}$ ．

(1)、求数列 $\{a_{n}\}$ 和 $\{b_{n}\}$ 的通项公式；

(2)、设数列 $\{\frac{1}{b_{n} b_{n + 1}}\}$ 的前n项和为T_n ，证明： $T_{n} = \frac{1}{2}$ ．

查看试题解析
20. 已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} m (x + \frac{1}{x}) - 2 ， x > 0 \\ 2 (x + \frac{1}{x}) + n ， x < 0 \end{array}$ 是奇函数.

(1)、求实数 $m$ ， $n$ 的值；

(2)、若对任意实数 $x$ ，都有 $f (e^{2 x}) + λ f (e^{x}) \geq 0$ 成立.求实数 $λ$ 的取值范围.

查看试题解析
21. 如图，椭圆 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ （ $a > b > 0$ ）的离心率为 $\frac{1}{2}$ ，过椭圆右焦点 $F$ 作两条互相垂直的弦 $A B$ 与 $C D$ ．当直线 $A B$ 的斜率为0时， $| A B | = 4$ ．

(1)、求椭圆的方程；

(2)、求使 $| A B | + | C D |$ 取最小值时直线 $A B$ 的方程．

查看试题解析
22. 已知函数 $f (x) = x^{2} + a x + b l n x (a ， b \in R)$ ，曲线 $y = f (x)$ 在点(1， $f (1)$ )处的切线方程为 $2 x - y - 2 = 0$ ．

(1)、求a、b的值；

(2)、求证：当m≥，x＞1时，不等式m(e^x-e)>ef(x)恒成立．

查看试题解析