云南省开远市重点中学2023-2024学年新高三上册数学8月月考试卷

试卷更新日期：2023-08-28 类型：月考试卷

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一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1. 复数 $\frac{3 + i}{i}$ 在复平面内对应的点位于（）

A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限

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2. 设 $x$ 为实数， $A = {1 ， 2 ， 3}$ ， $B = {1 ， x}$ ，若 $A \cup B = A$ ，则 $x$ 的值为（）

A、2或3 B、2 C、3 D、1或2或3

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3. 某学校共有980名学生，其中高一的学生有400名，高二的学生有300名，其余都是高三的学生，为了解该校学生的体育锻炼时间，按照高一､高二､高三三个级段进行分层抽样，如果样本容量为196，那么应在高三的学生中抽取（）

A、48名 B、52名 C、56名 D、60名

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4. 已知 $f (x) = \frac{x e^{x}}{e^{a x} - 1}$ 是偶函数，则 $a =$ （）

A、 $- 2$ B、2 C、 $- 1$ D、1

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5. 已知椭圆 $C ： \frac{x^{2}}{2} + y^{2} = 1$ 的左､右焦点分别是 $F_{1}$ ， $F_{2}$ ，过 $F_{1}$ 的直线 $l ： y = x + m$ 与椭圆C交于A，B两点，则 $△ A B F_{2}$ 的面积是（）

A、 $\frac{4}{3}$ B、 $\frac{8}{3}$ C、 $\frac{16}{9}$ D、 $\frac{32}{9}$

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6. 若函数 $f (x) = x^{2} + a l n x + \frac{2}{x}$ 在 $[1 ， + \infty)$ 上为单调递增函数，则 $a$ 的取值范围为（）

A、 $(- ∞ ， 0)$ B、 $(- ∞ ， 4]$ C、 $(- 4 ， + \infty)$ D、 $[0 ， + ∞)$

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7. 已知 $\frac{c o s 2 θ}{s i n (θ + \frac{π}{4})} = \frac{\sqrt{2}}{2}$ ，则 $s i n 2 θ =$ （）

A、 $\frac{3}{4}$ B、 $- \frac{3}{4}$ C、 $- \frac{1}{2}$ D、 $\frac{1}{2}$

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8. 已知正项等比数列 $a_{n}$ 的前n项和为 $S n$ ，且S₈-2S₄=5，则a₉+a₁₀+a₁₁+a₁₂的最小值为（）

A、10 B、15 C、20 D、25

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二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每个小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分。

9. 已知圆锥的底面半径为2，其侧面展开图为一个半圆，则下列说法正确的是（）

A、圆锥的母线长是4 B、圆锥的高是 $\sqrt{2}$ C、圆锥的表面积是 $16 π$ D、圆锥的体积是 $\frac{8 \sqrt{3}}{3} π$

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10. 若抛物线 $C$ ： $y^{2} = 4 x$ 的焦点为 $F$ ，准线为 $l$ ，点 $M$ 在抛物线 $C$ 上且在第一象限，直线 $M F$ 的斜率为 $\sqrt{3}$ ， $M$ 在直线 $l$ 上的射影为 $A$ ，则下列选项正确的是（）

A、 $F$ 到直线 $y = x + 1$ 的距离为 $\sqrt{3}$ B、 $△ M A F$ 的面积为 $4 \sqrt{3}$ C、 $A F$ 的垂直平分线过点 $M$ D、以 $M F$ 为直径的圆过点 $(0 ， 2)$

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11. 已知函数 $f (x) = \frac{1}{3} x^{3} + x^{2} - 2 a x + 1$ ，若函数 $f (x)$ 在 $(1 ， 2)$ 上有极值，则实数 $a$ 可以取（）

A、 $\frac{3}{2}$ B、2 C、 $\frac{5}{2}$ D、3

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12. 某市教育局组织各学校举行教师团体羽毛球比赛，赛制采取5局3胜制，每局都是单打模式，每队有5名队员，比赛中每个队员至多上场一次且上场顺序是随机的，每局比赛结果互不影响，经过小组赛后，最终甲乙两个学校的教师团队进入最后的决赛，根据前期比赛的数据统计，甲队明星队员M对乙队的每名队员的胜率均为 $\frac{3}{4}$ ，甲队其余4名队员对乙队每名队员的胜率均为 $\frac{1}{2}$ ，（注：比赛结果没有平局）．以下说法正确的是（）

A、甲队明星队员M在前四局比赛中不出场的前提下，甲乙两队比赛4局，甲队最终获胜的概率是 $\frac{1}{8}$ B、甲队明星队员M在前四局比赛中不出场的前提下，甲乙两队比赛4局，甲队最终获胜的概率是 $\frac{3}{16}$ C、甲乙两队比赛3局，甲队获得最终胜利的概率是 $\frac{13}{80}$ D、若已知甲乙两队比赛3局，甲队获得最终胜利，则甲队明星队员M上场的概率是 $\frac{8}{13}$

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三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．

13. 已知平面向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ ， $| \vec{a} | = 1$ ， $\vec{b} = (1 ， - 1)$ ， $\vec{a} ⊥ (\vec{a} - \vec{b})$ ，则 $| \vec{a} + 2 \vec{b} |$ 的值是.

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14. 中国某些地方举行婚礼时要在吉利方位放一张桌子，桌子上放一个装满粮食的升斗，斗面用红纸糊住，斗内再插一杆秤、一把尺子，寓意粮食满园、称心如意、十全十美，右图为一种婚庆升斗的规格，该升斗外形是一个正四棱台，上、下底边边长分别为 $20 c m$ ， $10 c m$ ，侧棱长为 $10 c m$ ，忽略其壁厚，则该升斗的容积为 $c m^{3}$ ．

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15. 已知点 $A (- 2 ， 0)$ ， $B (0 ， 2)$ ，动点M满足 $\vec{A M} \cdot \vec{M B} = 0$ ，则点M到直线 $y = x + 2$ 的距离可以是．（写出一个符合题意的整数值）

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16. 已知函数 $f (x) = A s i n (ω x + φ) (A > 0 ， ω > 0 ， | φ | < \frac{π}{2})$ 的部分图象如图所示，同时满足 $f (\frac{3 π}{4} - x) = f (x)$ ，若函数 $g (x) = f (x) - 1$ 在区间 $(0 ， λ)$ 上共有8个零点，则这8个零点之和为.

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四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．

17. 在 $Δ A B C$ 中， $B = \frac{π}{3}$ ，点D在边 $A B$ 上， $B D = 1$ ，且 $D A = D C$ .

(1)、若 $Δ B C D$ 的面积为 $\sqrt{3}$ ，求 $C D$ ；

(2)、设 $∠ D C A = θ$ ，若 $A C = \sqrt{3}$ ，求 $θ$ .

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18. 已知数列 ${a_{n}}$ 是等差数列， ${b_{n}}$ 是各项均为正数的等比数列，数列 ${b_{n}}$ 的前n项和为 $S_{n}$ ，且 $a_{1} = b_{1} = 1$ ， $a_{2} = b_{2} + 1$ ， $a_{4} = S_{3}$ ．

(1)、求数列 ${a_{n}}$ ， ${b_{n}}$ 的通项公式；

(2)、令 $c_{n} = {\begin{array}{l} a_{n} ， n = 2 k - 1 \\ b_{n} ， n = 2 k \end{array} (k \in N^{*})$ ，求数列 ${c_{n}}$ 的前12项和 $T_{12}$ ．

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19. 《中共中央国务院关于深入打好污染防治攻坚战的意见》提出“构建智慧高效的生态环境管理信息化体系”，下一步，需加快推进5G、物联网、大数据、云计算等新信息技术在生态环境保护领域的建设与应用，实现生态环境管理信息化、数字化、智能化．某科技公司开发出一款生态环保产品，已知该环保产品每售出1件预计利润为0.4万元，当月未售出的环保产品，每件亏损0.2万元．根据市场调研，该环保产品的市场月需求量在 $[155 ， 205]$ 内取值，将月需求量区间平均分成5组，画出频率分布直方图如下．

(1)、请根据频率分布直方图，估计该环保产品的市场月需求量的平均值 $\bar{x}$ 和方差 $s^{2}$ ．

(2)、若该环保产品的月产量为185件，x（单位：件， $155 ≤ x ≤ 205$ ， $x \in N^{*}$ ）表示该产品一个月内的市场需求量，y（单位：万元）表示该公司生产该环保产品的月利润．
①将y表示为x的函数；

②以频率估计概率，标准差s精确到1，根据频率分布直方图估计 $x \in [\bar{x} - s ， \bar{x} + s]$ 且y不少于68万元的概率．

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20. 如图，四边形 $A B C D$ 是正方形， $D G ⊥$ 平面 $A B C D$ ， $A E ∥ D G ∥ C F$ ， $A E = C F = \frac{1}{2} D G = 1$ .

(1)、证明： $B G ⊥ A C$ ；

(2)、若点 $D$ 到平面 $B E G F$ 的距离为 $\sqrt{2}$ ，求平面 $B E G F$ 与平面 $A D G E$ 所成角的大小.

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21. 设双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ ，其虚轴长为 $2 \sqrt{2}$ ，且离心率为 $\sqrt{5}$ ．

(1)、求双曲线 $C$ 的方程；

(2)、过点 $P (3 ， 1)$ 的动直线与双曲线的左右两支曲线分别交于点 $A$ 、 $B$ ，在线段 $A B$ 上取点 $M$ 使得 $\frac{| A M |}{| M B |} = \frac{| A P |}{| P B |}$ ，证明：点 $M$ 落在某一定直线上．

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22. 函数 $f (x) = (x - 2) e^{x} - a x^{2} + 2 a x$ ， $a \in R$ ．

(1)、当 $a = 0$ 时，证明： $f (x) + e \geq 0$ ；

(2)、若 $x = 1$ 是 $f (x)$ 的一个极大值点，求实数 $a$ 的取值范围．

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