四川省成都市名校2023-2024学年高一上册数学新生入学试卷

试卷更新日期：2023-08-28 类型：开学考试

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一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的.

1. 下列各组对象不能构成集合的是（）

A、上课迟到的学生 B、2023年高考数学难题 C、所有有理数 D、小于π的正整数

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2. 已知集合 $A = {x | x^{2} - x - 6 \leq 0} ， B = {x | x - 1 < 0} .$ 则 $A \cup B =$ （）

A、 $(- \infty ， 3]$ B、 $(- \infty ， 2]$ C、 $(- \infty ， 1)$ D、 $[- 2 ， 1)$

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3. “ $x \leq 3$ ”是“ $x^{2} - 7 x + 12 \geq 0$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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4. “不等式 $x^{2} - x + m > 0$ 在 $R$ 上恒成立”的充要条件是（）

A、 $m > \frac{1}{4}$ B、 $m < \frac{1}{4}$ C、 $m < 1$ D、 $m > 1$

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5. 已知命题 $p ： \forall x \in R ， x^{2} - x + 1 \geq 0$ ，则 $\neg p$ 下列形式正确的是（）

A、 $\neg p ： \exists x_{0} \in R ， x_{0}^{2} - x_{0} + 1 \geq 0$ B、 $\neg p ： \forall x \in R ， x^{2} - x + 1 < 0$ C、 $\neg p ： \exists x_{0} \in R ， x_{0}^{2} - x_{0} + 1 < 0$ D、 $\neg p ： \forall x \in R ， x^{2} - x + 1 \leq 0$

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6. 已知 $x^{2} + 4 y^{2} = 4$ ，则 $\frac{1}{x^{2}} + \frac{1}{y^{2}}$ 的最小值为（）

A、9 B、 $\frac{5}{2}$ C、 $\frac{9}{4}$ D、1

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7. 若关于 $x$ 的一元二次不等式 $a x^{2} + 2 x + 1 > 0$ 的解集为 $R$ ，则实数 $a$ 的取值范围是（）

A、 $(1 ， + \infty)$ B、 $(0 ， 1)$ C、 $(- \infty ， 1)$ D、 $(- \infty ， 0) \cup (0 ， 1)$

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8. 二次函数 $y = x^{2} + (a - 1)) x + 1 (a > 0)$ 只有一个零点，则不等式 $a x^{2} - 8 x - a \geq 0$ 的解集为（）

A、 ${x | - \frac{1}{3} < x < 3}$ B、 ${x | - \frac{1}{3} \leq x \leq 3}$ C、 ${x | x < - \frac{1}{3}$ 或 $x > 3}$ D、 ${x | x \leq - \frac{1}{3}$ 或 $x \geq 3}$

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二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9. 若 $x > y > 0$ ，则下列不等式成立的是（）

A、 $x^{2} > y^{2}$ B、 $- x > - y$ C、 $\frac{1}{x} < \frac{1}{y}$ D、 $\frac{x}{y} < \frac{x + 1}{y + 1}$

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10. 下列命题中，是全称量词命题的有（）

A、至少有一个 $x$ 使 $x^{2} + 2 x + 1 = 0$ 成立 B、对任意的 $x$ 都有 $x^{2} + 2 x + 1 = 0$ 成立 C、对任意的 $x$ 都有 $x^{2} + 2 x + 1 = 0$ 不成立 D、矩形的对角线垂直平分

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11. 如图，正方形 $A B C D$ 的边长为4， $P$ 为正方形边上一动点，运动路线 $A \to D \to C \to B \to A$ ，设点 $P$ 经过的路程为 $x$ ，以点 $A$ 、 $P$ 、 $D$ 为顶点的三角形的面积是 $y$ .则下列图象不能大致反映 $y$ 与 $x$ 的函数关系的是（）

A、 B、 C、 D、

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12. 已知关于 $x$ 的不等式 $a \leq \frac{3}{4} x^{2} - 3 x + 4 \leq b$ ，下列结论正确的是（）

A、当 $a < b < 1$ 时，不等式 $a \leq \frac{3}{4} x^{2} - 3 x + 4 \leq b$ 的解集为 $ϕ$ B、当 $a = 1 ， b = 4$ 时，不等式 $a \leq \frac{3}{4} x^{2} - 3 x + 4 \leq b$ 的解集为 ${x | 0 \leq x \leq 4}$ C、不等式 $a \leq \frac{3}{4} x^{2} - 3 x + 4 \leq b$ 的解集恰好为 ${x | a \leq x \leq b}$ ，那么 $b = \frac{4}{3}$ D、不等式 $a \leq \frac{3}{4} x^{2} - 3 x + 4 \leq b$ 的解集恰好为 ${x | a \leq x \leq b}$ ，那么 $b - a = 4$

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三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡上.

13. 已知集合 $A = {m + 1 ， (m - 1)^{2}}$ ，若 $1 \in A$ ，则集合 $A$ 的子集有个.

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14. 设全集 $U = R$ ，集合 $A = {x | y = \sqrt{9 - x^{2}}}$ ，集合 $B = {y | y = \sqrt{9 - x^{2}}}$ ，则 $(C_{U} A) \cap B =$ .

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15. 记函数 $y$ 在 $x$ 处的值为 $f (x)$ （如函数 $y = x^{2}$ 也可记为 $f (x) = x^{2}$ ，当 $x = 1$ 时的函数值可记为 $f (1) = 1)$ .已知 $f (x) = \frac{x}{| x |}$ ，若 $a > b > c$ 且 $a + b + c = 0$ ， $b \neq 0$ ，则 $f (a) + f (b) + f (c)$ 的所有可能值为.

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16. 如图是一个数表，第1行依次写着从小到大的正整数，然后把每行相邻的两个数的和写在这两数正中间的下方，得到下一行，数表从上到下与从左到右均为无限项，则这个数表中的第11行第7个数为.（用具体数字作答）

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四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17. 已知集合A={x|x²-3x-18≤0}，B={x|2m-3≤x≤m+2}．

(1)、当m=0时，求A∩（C_RB）；

(2)、若B∩（C_RA）= $\emptyset$ ，求实数m的取值范围．

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18. 已知集合 $A = {x | a - 2 < x < 2 a + 1}$ ， $B = {x | \frac{x - 7}{x} < 0}$ .

(1)、若 $a = 1 ，$ 求 $A \cup B$ .

(2)、若 $x ∈ A$ 是 $x ∈ B$ 的充分条件，求实数 $a$ 的取值范围.

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19. 如图，抛物线 $y = - \frac{5}{4} x^{2} + \frac{17}{4} x + 1$ 与 $y$ 轴交于点 $A$ ，过点 $A$ 的直线与抛物线交于另一点 $B$ ，过点 $B$ 作 $B C ⊥ x$ 轴，垂足为点 $C (3 ， 0)$ .

(1)、求直线 $A B$ 的函数关系式；

(2)、动点 $P$ 在线段 $O C$ 上从原点出发以每秒一个单位的速度向 $C$ 移动，过点 $P$ 作 $P N ⊥ x 轴$ ，交直线 $A B$ 于点 $M$ ，交抛物线于点 $N$ .设点 $P$ 移动的时间为 $t$ 秒， $M N$ 的长度为 $s$ 个单位，求 $s$ 与 $t$ 的函数关系式，并写出 $t$ 的取值范围.

(3)、设在（2）的条件下（不考虑点 $P$ 与 $O$ ，点 $C$ 重合的情况），连接 $C M$ ， $B N$ ，当 $t$ 为何值时，四边形 $B C M N$ 为平行四边形？问对于所求的 $t$ 值，平行四边形 $B C M N$ 能否为菱形？请说明理由.

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20. 已知某工厂生产机器设备的年固定成本为200万元，每生产1台还需另投入20万元，设该公司一年内生产该机器设备 $x$ 台并完全销售完，每台机器设备销售的收入为 $R (x)$ 万元，且 $R (x) = {\begin{cases} 40 + \frac{800}{x} ， 0 < x \leq 30 ， \\ \frac{280 \sqrt{x} + 1000}{x} ， x > 30 . \end{cases}$ .

(1)、求年利润 $y$ （万元）关于年产量 $x$ （台）的函数解析式；

(2)、当年产量为多少台时，该工厂生产所获得的年利润最大？并求出最大年利润.

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21. 当 $t \leq x \leq t + 1$ 时，设函数 $f (x) = \frac{1}{2} x^{2} - x - \frac{5}{2}$ 的最小值为 $g (t)$ ，试求 $g (t)$ 关于 $t$ 的表达式.

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22. 已知函数 $f (x) = 2 x + \frac{1}{2 x} (x > 0)$ ，

(1)、列表、描点、连线，画出该函数的简图；

(2)、在函数图象上取一个定点 $A (\frac{1}{2} ， f (\frac{1}{2}))$ ，一个动点 $B (\frac{1}{2} + t ， f (\frac{1}{2} + t))$ ，记直线 $A B$ 的坡度为 $g (t)$ ， $g (t) = \frac{f (\frac{1}{2} + t) - f (\frac{1}{2})}{(\frac{1}{2} + t) - \frac{1}{2}}$ .试将 $g (t)$ 化简为 $a + \frac{b}{c x + d} (a ， b ， c ， d 均为常数)$ 的形式；

(3)、当 $t$ 趋近于0时， $g (t)$ 是否趋近于某常数 $k$ ？若是， $k$ 为多少？试说明理由；

(4)、在函数图象上取一个定点 $A (a ， f (a))$ ， $a$ 为正的常数，一个动点 $B (a + t ， f (a + t))$ ，设直线 $A B$ 的坡度为 $g (t)$ ，请直接指出，当 $t$ 趋近于0时， $g (t)$ 是否趋近于某常数.
坡度定义：若 $A (x_{1} ， y_{1})$ ， $B (x_{2} ， y_{2})$ ，则直线 $A B$ 的坡度为 $\frac{y_{1} - y_{2}}{x_{1} - x_{2}}$ .

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