广东省深圳市重点中学2023-2024学年高三上册数学8月开学摸底试卷

试卷更新日期：2023-08-28 类型：月考试卷

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一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1. 已知 $U = R ， A = {x ∣ - 1 < x < 3} ， B = {x ∣ x \leq 2}$ ，则 $∁_{U} (A ∪ B) =$ （）

A、 $[3 ， + ∞)$ B、 $(- ∞ ， - 1] ∪ (2 ， + ∞)$ C、 $(3 ， + ∞)$ D、 $(- ∞ ， - 1) ∪ [2 ， + ∞)$

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2. 已知复数 $z$ 满足 $(z + 2 i) (2 - i) = 5$ ，则 $z$ 的共轭复数 $\bar{z} =$ （）

A、 $2 - i$ B、 $2 + i$ C、 $- 2 + i$ D、 $- 2 - i$

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3. 已知曲线 $y = a x e^{x} + l n x$ 在点 $(1 ， a e)$ 处的切线方程为 $y = 3 x + b$ ，则（）

A、 $a = e ， b = - 2$ B、 $a = e ， b = 2$ C、 $a = e^{- 1} ， b = - 2$ D、 $a = e^{- 1} ， b = 2$

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4. 函数 $y = (2^{x} - 2^{- x}) c o s x$ 在区间 $[- 2 ， 2]$ 上的图象大致为（）

A、 B、 C、 D、

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5. 为丰富同学们的暑假生活，暑假期间学校给同学们安排了6场线上讲座，其中讲座 $A$ 只能安排在第一或最后一场，讲座 $B$ 和 $C$ 必须相邻，问不同的安排方法共有（）

A、144种 B、96种 C、56种 D、34种

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6. 现随机安排甲､乙等4位同学参加校运会跳高､跳远､投铅球比赛，要求每位同学参加一项比赛，每项比赛至少一位同学参加，事件 $A =$ “甲参加跳高比赛”，事件 $B =$ “乙参加跳高比赛”，事件 $C =$ “乙参加跳远比赛”，则（）

A、事件 $A$ 与 $B$ 相互独立 B、事件 $A$ 与 $C$ 为互斥事件 C、 $P (B ∣ A) = \frac{1}{9}$ D、 $P (C ∣ A) = \frac{5}{12}$

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7. $F_{1} ， F_{2}$ 分别是双曲线 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ 的左､右焦点，直线 $l$ 为双曲线 $C$ 的一条渐近线， $F_{1}$ 关于直线 $l$ 的对称点为 $F_{1}^{'}$ ，且 $F_{1}^{'}$ 在以 $F_{2}$ 为圆心､ $b$ 为半径的圆上，则双曲线 $C$ 的离心率为（）

A、 $\sqrt{2}$ B、 $\sqrt{3}$ C、2 D、 $\sqrt{5}$

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8. 符号 $[x]$ 表示不超过实数 $x$ 的最大整数，如 $[2.3] = 2 ， [- 1.9] = - 2$ .已知数列 ${a_{n}}$ 满足 $a_{1} = 1 ， a_{2} = 5$ ， $a_{n + 2} + 4 a_{n} = 5 a_{n + 1}$ .若 $b_{n} = [l o g_{2} a_{n + 1}] ， S_{n}$ 为数列 ${\frac{8100}{b_{n} b_{n + 1}}}$ 的前 $n$ 项和，则 $[S_{2025}] =$ （）

A、2023 B、2024 C、2025 D、2026

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二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9. 已知 $θ \in (0 ， π) ， s i n θ - c o s θ = \frac{1}{5}$ ，则下列结论正确的是（）

A、 $θ \in (\frac{π}{4} ， \frac{π}{2})$ B、 $t a n θ = \frac{4}{3}$ C、 $s i n 2 θ = \frac{24}{25}$ D、 $c o s 2 θ = \frac{24}{25}$

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10. 若 $a ， b ， c \in R$ ，则下列命题正确的是（）

A、若 $a b \neq 0$ 且 $a < b$ ，则 $\frac{1}{a} > \frac{1}{b}$ B、若 $0 < a < 1$ ，则 $a^{2} < a$ C、若 $b > a > 0$ 且 $c > 0$ ，则 $\frac{b + c}{a + c} > \frac{b}{a}$ D、 $a^{2} + b^{2} + 1 \geq 2 (a - 2 b - 2)$

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11. 如图，在正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $E ， F ， G ， M$ 均是所在棱的中点，则下列说法正确的是（）

A、 $B_{1} G ∥ D M$ B、 $B_{1} G$ $∥$ 平面 $A_{1} E F$ C、平面 $B D M$ $∥$ 平面 $A_{1} E F$ D、 $B_{1} G ∥ A_{1} F$

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12. 已知函数 $f (x)$ 及其导函数 $f^{'} (x)$ 满足 $x f^{'} (x) - f (x) = x^{2} (l n x + 1)$ ，且 $f (1) = 0$ ，则（）

A、 $f (x)$ 在 $(1 ， + ∞)$ 上单调递增 B、 $f (x)$ 在 $(\frac{1}{2} ， 1)$ 上有极小值 C、 $\frac{f (x)}{x}$ 的最小值为 $- 1$ D、 $f (x)$ 的最小值为0

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三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卡相应横线上.

13. ${(3 x - \frac{1}{\sqrt[3]{x^{2}}})}^{8}$ 的展开式中， $x^{- 2}$ 项的系数为.

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14. 如果平面向量 $\vec{a} = (1 ， - 2) ， \vec{b} = (- 6 ， 3)$ ，那么向量 $\vec{a} + \vec{b}$ 在 $\vec{a}$ 上的投影向量为.

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15. 已知正数 $a ， b$ 满足 $a = b^{2} ， l o g_{b} a = \frac{a}{b}$ ，则函数 $f (x) = \sqrt{\frac{1}{b} - l o g_{a} x}$ 的定义域为.

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16. 如图，直三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $A C ⊥ B C ， A C = \sqrt{7}$ ， $B C = 3$ ，点 $P$ 在棱 $B B_{1}$ 上，且 $P A ⊥ P C_{1}$ ，当 $△ A P C_{1}$ 的面积取最小值时，三棱锥 $P - A B C$ 的外接球的表面积为.

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四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明､证明过程或演算步骤.

17. 在 $△ A B C$ 中，内角 $A ， B ， C$ 所对的边分别为 $a ， b ， c$ ，已知 $t a n B = \sqrt{3} ， c o s C = \frac{1}{3}$ ，且 $b = 3 \sqrt{6}$ .

(1)、求 $c o s A$ 的值；

(2)、求 $△ A B C$ 的面积；

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18. 已知数列 ${a_{n}}$ 各项都不为0，前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，且 $3 a_{n} - 2 = S_{n}$ ，数列 ${b_{n}}$ 满足 $b_{1} = - 1 ， b_{n + 1} = b_{n} + n$ .

(1)、求数列 ${a_{n}}$ 和 ${b_{n}}$ 的通项公式；

(2)、令 $c_{n} = \frac{2 a_{n} b_{n}}{n + 1}$ ，求数列 ${c_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $T_{n}$ .

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19. 某研究机构为了解某地年轻人的阅读情况，通过随机抽样调查了100位年轻人，对这些人每天的阅读时间（单位：分钟）进行统计，得到样本的频率分布直方图，如图所示.

(1)、根据频率分布直方图，估计这100位年轻人每天阅读时间的平均数 $\bar{x}$ （单位：分钟）；（同一组数据用该组数据区间的中点值表示）

(2)、若年轻人每天阅读时间 $X$ 近似地服从正态分布 $N (μ ， 100)$ ，其中 $μ$ 近似为样本平均数 $\bar{x}$ ，求 $P (64 < X \leq 94)$ ；

(3)、为了进一步了解年轻人的阅读方式，研究机构采用分层抽样的方法从每天阅读时间位于分组 $[50 ， 60) ， [60 ， 70) ， [80 ， 90)$ 的年轻人中抽取10人，再从中任选3人进行调查，求抽到每天阅读时间位于 $[80 ， 90)$ 的人数 $ξ$ 的分布列和数学期望.
参考数据：若 $X \sim N (μ ， σ^{2})$ ，则① $P (μ - δ < X \leq μ + δ) = 0.6827$ ；② $P (μ - 2 δ < X \leq μ + 2 δ) = 0.9545$ ；③ $P (μ - 3 δ < X \leq μ + 3 δ) = 0.9973$ .

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20. 如图所示，在三棱锥 $P - A B C$ 中，已知 $P A ⊥$ 平面 $A B C$ ，平面 $P A B ⊥$ 平面 $P B C$ ．

(1)、证明： $B C ⊥$ 平面 $P A B$ ；

(2)、若 $P A = A B = 6$ ， $B C = 3$ ，在线段 $P C$ 上（不含端点），是否存在点 $D$ ，使得二面角 $B - A D - C$ 的余弦值为 $\frac{\sqrt{10}}{5}$ ，若存在，确定点 $D$ 的位置；若不存在，说明理由．

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21. 已知函数 $f (x) = e^{x} - 2 a x$ ，实数 $a$ 为常数.

(1)、讨论 $f (x)$ 的单调性；

(2)、当 $a = 1$ 时，求函数 $g (x) = f (x) - c o s x$ 在 $(- \frac{π}{2} ， + ∞)$ 上的零点个数.

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22. 已知椭圆 $C_{1} ： \frac{x^{2}}{4} + \frac{y^{2}}{3} = 1$ ，抛物线 $C_{2} ： (y - m)^{2} = 2 p x (p > 0)$ ，且 $C_{1} ， C_{2}$ 的公共弦 $A B$ 过椭圆 $C_{1}$ 的右焦点.

(1)、当 $A B ⊥ x$ 轴时，求 $m ， p$ 的值，并判断抛物线 $C_{2}$ 的焦点是否在直线 $A B$ 上；

(2)、求 $m ， p$ 的值，使得抛物线 $C_{2}$ 的焦点在直线 $A B$ 上.

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