广东省阳江市2023-2024学年高三上册数学开学试卷

试卷更新日期：2023-08-28 类型：开学考试

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一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1. 已知集合 $U = {2 ， 3 ， 4 ， 5 ， 7}$ ， $A = {2 ， 3}$ ， $B = {3 ， 5 ， 7}$ ，则 $A ∩ (∁_{U} B) =$ （）

A、 ${2 ， 3 ， 5 ， 7}$ B、 ${2 ， 3 ， 4}$ C、 ${2}$ D、 ${2 ， 3 ， 4 ， 7}$

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2. 已知函数 $f (x)$ 是 $(0 ， + ∞)$ 上的单调函数，且 $f (f (x) - x - l o g_{2} x) = 5$ ，则 $f (x)$ 在 $[1 ， 8]$ 上的值域为（）

A、 $[2 ， 10]$ B、 $[3 ， 10]$ C、 $[2 ， 13]$ D、 $[3 ， 13]$

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3. 在三棱锥 $D - A B C$ 中， $A B = B C = 2$ ， $∠ A D C = 90 °$ ，二面角 $D - A C - B$ 的平面角为 $30 °$ ，则三棱锥 $D - A B C$ 外接球表面积的最小值为（）

A、 $16 (2 \sqrt{3} - 1) π$ B、 $16 (2 \sqrt{3} - 3) π$ C、 $16 (2 \sqrt{3} + 1) π$ D、 $16 (2 \sqrt{3} + 3) π$

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4. 如图，棱长为2的正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，点P在线段 $A D_{1}$ 上运动，以下四个命题：

①三棱锥 $D - B P C_{1}$ 的体积为定值；② $C_{1} P ⊥ C B_{1}$ ；③直线 $D C_{1}$ 与平面 $A B C_{1} D_{1}$ 所成角的正弦值为 $\frac{1}{2}$ ；④ $| C_{1} P | + | D P |$ 的最小值为 $\sqrt{10}$ ．其中真命题有（）

A、1个 B、2个 C、3个 D、4个

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5. 已知圆 $C_{1} ： {(x - \sqrt{3})}^{2} + y^{2} = r^{2} (0 < r < 4)$ 与圆 $C_{2} ： {(x + \sqrt{3})}^{2} + y^{2} = {(4 - r)}^{2}$ 交点的轨迹为 $M$ ，过平面内的点 $P$ 作轨迹 $M$ 的两条互相垂直的切线，则点 $P$ 的轨迹方程为（）

A、 $x^{2} + y^{2} = 5$ B、 $x^{2} + y^{2} = 4$ C、 $x^{2} + y^{2} = 3$ D、 $x^{2} + y^{2} = \frac{5}{2}$

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6. 已知椭圆 $C$ ： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左、右焦点分别为 $F_{1}$ 、 $F_{2}$ ，以 $F_{2}$ 为圆心的圆与 $x$ 轴交于 $F_{1}$ ， $B$ 两点，与 $y$ 轴正半轴交于点 $A$ ，线段 $A F_{1}$ 与 $C$ 交于点 $M$ .若 $| B M |$ 与 $C$ 的焦距的比值为 $\frac{\sqrt{31}}{3}$ ，则 $C$ 的离心率为（）

A、 $\frac{\sqrt{3} - 1}{2}$ B、 $\frac{1}{2}$ C、 $\frac{\sqrt{3} + 1}{4}$ D、 $\frac{\sqrt{7} - 1}{2}$

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7. 已知函数 $f (x) = e^{x} - l n x$ ， $g (x) = a x + b$ ， $x \in (0 ， + \infty)$ ， $f (x) \geq g (x)$ 恒成立，则 $(a + b)_{m a x}$ 为（）

A、 $e$ B、 $1$ C、 $- 1$ D、 $- e$

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8. 在锐角 $△ A B C$ 中，角A ， B ， C的对边分别为a ， b ， c ， $△ A B C$ 的面积为S ，若 $s i n (A + C) = \frac{2 S}{b^{2} - a^{2}}$ ，则 $t a n A + \frac{1}{3 t a n (B - A)}$ 的取值范围为（）

A、 $[\frac{2 \sqrt{3}}{3} ， + \infty)$ B、 $[\frac{2 \sqrt{3}}{3} ， \frac{4}{3}]$ C、 $(\frac{2 \sqrt{3}}{3} ， \frac{4}{3})$ D、 $[\frac{2 \sqrt{3}}{3} ， \frac{4}{3})$

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二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）

9. 下列关于排列组合数的等式或说法正确的有（）

A、 $C_{3}^{3} + C_{4}^{3} + C_{5}^{3} + ⋯ + C_{10}^{3} = 330$ B、设 $x = A_{90}^{90} \times (\frac{2}{A_{3}^{3}} + \frac{3}{A_{4}^{4}} + \frac{4}{A_{5}^{5}} ⋯ + \frac{89}{A_{90}^{90}})$ ，则 $x$ 的个位数字是 $6$ C、已知 $n > m$ ，则等式 $\frac{C_{n}^{m}}{m + 1} = \frac{C_{n + 1}^{m + 1}}{n + 1}$ 对任意正整数 $n$ ， $m$ 都成立 D、等式 $(C_{n}^{0})^{2} + (C_{n}^{1})^{2} + (C_{n}^{2})^{2} + ⋯ + (C_{n}^{n})^{2} = C_{2 n}^{n}$ 对任意正整数 $n$ 都成立

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10. 已知正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的棱长为 $2 ， M$ 为空间中任一点，则下列结论中正确的是（）

A、若 $M$ 为线段 $A C$ 上任一点，则 $D_{1} M$ 与 $B_{1} C_{1}$ 所成角的范围为 $[\frac{π}{4} ， \frac{π}{2}]$ B、若 $M$ 为正方形 $A D D_{1} A_{1}$ 的中心，则三棱锥 $M - A B D$ 外接球的体积为 $8 π$ C、若 $M$ 在正方形 $D C C_{1} D_{1}$ 内部，且 $| M B | = \sqrt{6}$ ，则点 $M$ 轨迹的长度为 $\frac{\sqrt{2}}{2} π$ D、若三棱锥 $M - B D C_{1}$ 的体积为 $\frac{4}{3} ， ∠ M D_{1} C = \frac{π}{6}$ 恒成立，点 $M$ 轨迹的为椭圆的一部分

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11. 已知椭圆 $\frac{x^{2}}{4} + \frac{y^{2}}{3} = 1$ ，其右焦点为 $F$ ，以 $F$ 为端点作 $n$ 条射线交椭圆于 $A_{1}$ ， $A_{2}$ ， $\dots$ ， $A_{n}$ ，且每两条相邻射线的夹角相等，则（）

A、当 $n = 3$ 时， $\frac{1}{| A_{1} F |} + \frac{1}{| A_{2} F |} + \frac{1}{| A_{3} F |} = 2$ B、当 $n = 3$ 时， $△ A_{1} A_{2} A_{3}$ 的面积的最小值为 $2 \sqrt{3}$ C、当 $n = 4$ 时， $| A_{1} F | + | A_{2} F | + | A_{3} F | + | A_{4} F | = 8$ D、当 $n = 4$ 时，过 $A_{1}$ 、 $A_{2}$ 、 $A_{3}$ 、 $A_{4}$ 作椭圆的切线 $l_{1}$ 、 $l_{2}$ 、 $l_{3}$ 、 $l_{4}$ ，且 $l_{1}$ 、 $l_{3}$ 交于点 $P$ ， $l_{2}$ 、 $l_{4}$ 交于点 $Q$ ，则 $P F$ 、 $Q F$ 的斜率乘积为定值 $- 1$

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12. 已知函数 $f (x)$ 的定义域为 $(0 ， + \infty)$ ，其导函数为 $f' (x)$ ，且 $f (x) + f' (x) = x l n x$ ， $f (\frac{1}{e}) = - \frac{1}{e}$ ，则（）

A、 $f (\frac{1}{e}) \cdot e^{\frac{1}{e} - 1} > f (1)$ B、 $f (e) \cdot e^{e - 1} > f (1)$ C、 $f (x)$ 在 $(0 ， + \infty)$ 上是增函数 D、 $f (x)$ 存在最小值

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三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）

13. 在边长为2的菱形 $A B C D$ 中， $∠ A B C = \frac{π}{3}$ ，将菱形 $A B C D$ 沿对角线 $A C$ 翻折，取 $A C$ 的中点 $N$ ，连接 $B N ， D N$ ，若 $c o s ∠ B N D = \frac{1}{2}$ ，则三棱锥 $A - B C D$ 的外接球的半径为.

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14. 已知函数 $f (x) = \frac{3}{4} x - s i n x$ 在 $(0 ， \frac{7}{11})$ 上为减函数，命题 $p ： s i n \frac{π}{11} + s i n \frac{2 π}{11} < \frac{k π}{11} (k \in Z)$ 为假命题，则 $k$ 的最大值为．

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15. 已知奇函数 $f (x) = e^{a x} - e^{x} + 2 t x (t > 0)$ ，有三个零点，则t的取值范围为.

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16. 斜率为 $\frac{1}{3}$ 的直线l与椭圆C： $\frac{x^{2}}{36} + \frac{y^{2}}{4} = 1$ 交于A ， B两点，且 $P (3 \sqrt{2} ， \sqrt{2})$ 在直线l的左上方.若 $∠ A P B = 60 °$ ，则 $△ P A B$ 的周长是.

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四、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17. 在 $△ A B C$ 中， $A D$ 为 $△ A B C$ 的角平分线，且 $A D = 2$ .

(1)、若 $∠ B A C = \frac{2 π}{3}$ ， $A B = 3$ ，求 $△ A B C$ 的面积；

(2)、若 $B D = 3$ ，求边 $A C$ 的取值范围.

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18. 已知数列 ${a_{n}}$ 中， $S_{n}$ 是其前 $n$ 项的和， $5 S_{2} = 11 S_{1}$ ， $\frac{a_{n + 1}}{a_{n}} = 2 - a_{n + 1}$ .

(1)、求 $a_{1}$ ， $a_{2}$ 的值，并证明 ${\frac{1}{a_{n}} - 1}$ 是等比数列；

(2)、证明： $n - 1 + \frac{1}{2^{n}} < S_{n} < n - \frac{1}{2} + \frac{1}{2^{n + 1}}$ .

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19. 在正三棱台 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $A B = 6$ ， $A_{1} B_{1} = A A_{1} = 3$ ， $D$ 为 $A_{1} C_{1}$ 中点， $E$ 在 $B B_{1}$ 上， $\vec{E B} = 2 \vec{B_{1} E}$ .

(1)、请作出 $A_{1} B_{1}$ 与平面 $C D E$ 的交点 $M$ ，并写出 $A_{1} M$ 与 $M B_{1}$ 的比值（在图中保留作图痕迹，不必写出画法和理由）；

(2)、求直线 $B M$ 与平面 $A B C$ 所成角的正弦值.

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20. 已知 $A (2 ， 0)$ ， $B (- 2 ， 0)$ 分别是椭圆 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 长轴的两个端点，C的焦距为2． $M (3 ， 0)$ ， $N (\frac{4}{3} ， 0)$ ， P是椭圆C上异于A ， B的动点，直线PM与C的另一交点为D ，直线PN与C的另一交点为E ．

(1)、求椭圆C的方程；

(2)、证明：直线DE的倾斜角为定值．

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21. 某科研单位研制出某型号科考飞艇，一艘该型号飞艇最多只能执行 $n$ 次 $(n \in N^{*} ， n \geq 2)$ 科考任务，一艘该型号飞艇第 $1$ 次执行科考任务，能成功返航的概率为 $p (0 < p < 1)$ ，若第 $k$ 次 $(k = 1 ， 2 ， \dots ， n - 1)$ 执行科考任务能成功返航，则执行第 $k + 1$ 次科考任务且能成功返航的概率也为 $p$ ，否则此飞艇结束科考任务 $.$ 一艘该型号飞艇每次执行科考任务，若能成功返航，则可获得价值为 $X$ 万元的科考数据，且“ $X = 0$ ”的概率为 $0.8$ ， “ $X = 200$ ”的概率为 $0.2$ ；若不能成功返航，则此次科考任务不能获得任何科考数据 $.$ 记一艘该型号飞艇共可获得的科考数据的总价值为 $Y$ 万元．

(1)、若 $p = 0.5$ ， $n = 2$ ，求 $Y$ 的分布列；

(2)、求 $E (Y) ($ 用 $n$ 和 $p$ 表示 $)$ ．

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22. 已知函数 $f (x) = x l n x$ .

(1)、求 $f (x)$ 的单调区间；

(2)、若 $x_{1} < x_{2}$ ，且 $f (x_{1}) = f (x_{2}) = a$ ，证明： $a e + 1 < x_{2} - x_{1} < a + 1$ .

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