2023-2024学年初中数学七年级上册 2.2 列代数式同步分层训练培优卷(湘教版)

试卷更新日期：2023-08-25 类型：同步测试

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一、选择题

1. 观察下面两行数： $1 ， 5 ， 11 ， 19 ， 29 ， \dots$ $1 ， 3 ， 6 ， 10 ， 15 ， \dots$ 取每行数的第7个数，计算这两个数的和是（）

A、92 B、87 C、83 D、78

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2. 我国南宋时期数学家杨辉于 $1261$ 年写下的 $《$ 详解九章算法 $》$ ，书中记载的图表给出了 $(a + b)^{n}$ 展开式的系数规律．

当代数式 $x^{4} - 12 x^{3} + 54 x^{2} - 108 x + 81$ 的值为 $1$ 时，则 $x$ 的值为（）

A、 $2$ B、 $- 4$ C、 $2$ 或 $4$ D、 $2$ 或 $- 4$

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3. 如图是一个按某种规律排列的数阵：

根据数阵排列的规律，第 $n (n$ 是整数，且 $n \geq 4)$ 行从左向右数第 $(n - 3)$ 个数是 $($ 用含 $n$ 的代数式表示 $)$ （）

A、 $\sqrt{n^{2} - 1}$ B、 $\sqrt{n^{2} - 2}$ C、 $\sqrt{n^{2} - 3}$ D、 $\sqrt{n^{2} - 4}$

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4. 阅读以下材料：式子“ $1 + 2 + 3 + 4 + ⋯ + 100$ ”表示从1开始的100个连续自然数的和，由于式子比较长，书写不方便，为了简便起见，我们将其表示为 $\sum_{n - 1}^{100} n$ ，这里“ $\sum_{}^{}$ ”是求和符号.通过对以上材料的阅读，请你计算 $\sum_{n - 1}^{2023} \frac{1}{n (n + 1)}$ 的值为（）

A、 $\frac{2024}{2023}$ B、 $\frac{2022}{2023}$ C、 $\frac{2023}{2022}$ D、 $\frac{2023}{2024}$

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5. 观察如图所示的一系列图形，它们是按一定规律排列的，依照此规律，第九个图中“○”的个数为（）

A、26 B、28 C、30 D、32

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6. 已知一列均不为1的数 $a_{1} ， a_{2} ， a_{3} ， ⋯ ， a_{n}$ 满足如下关系： $a_{2} = \frac{1 + a_{1}}{1 - a_{1}} ， a_{3} = \frac{1 + a_{2}}{1 - a_{2}}$ ， $a_{4} = \frac{1 + a_{3}}{1 - a_{3}} ， ⋯ ， a_{n + 1} = \frac{1 + a_{n}}{1 - a_{n}}$ ，若 $a_{1} = 2$ ，则 $a_{2023}$ 的值是（）

A、 $- \frac{1}{2}$ B、 $\frac{1}{3}$ C、 $- 3$ D、2

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7. 计算： $2^{1} - 1 = 1 ， 2^{2} - 1 = 3 ， 2^{3} - 1 = 7 ， 2^{4} - 1 = 15$ ， …归纳各计算结果中的个位数字规律，猜测 $2^{2023} - 1$ 的个位数字是（）

A、1 B、3 C、7 D、5

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8. 数学家高斯推动了数学科学的发展，被数学界誉为“数学王子”，据传，他在计算 $1 + 2 + 3 + 4 + ⋯ + 100$ 时，用到了一种方法，将首尾两个数相加，进而得到 $1 + 2 + 3 + 4 + ⋯ + 100 = \frac{100 \times (1 + 100)}{2}$ ．人们借助于这样的方法，得到 $1 + 2 + 3 + 4 + ⋯ + n = \frac{n (1 + n)}{2}$ （n是正整数）．有下列问题，如图，在平面直角坐标系中的一系列格点 $A_{i} (x_{i} ， y_{i})$ ，其中 $i = 1 ， 2 ， 3 ， ⋯ ， n ， ⋯$ ，且 $x_{i} ， y_{i}$ 是整数．记 $a_{n} = x_{n} + y_{n}$ ，如 $A_{1} (0 ， 0)$ ，即 $a_{1} = 0 ， A_{2} (1 ， 0)$ ，即 $a_{2} = 1 ， A_{3} (1 ， - 1)$ ，即 $a_{3} = 0 ， ⋯$ ，以此类推．则下列结论正确的是（）

A、 $a_{2023} = 40$ B、 $a_{2024} = 43$ C、 $a_{(2 n - 1)^{2}} = 2 n - 6$ D、 $a_{(2 n - 1)^{2}} = 2 n - 4$

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二、填空题

9. 如图所示，将形状大小完全相同的“”按照一定规律摆成下列图形，第1幅图中“”的个数为 $a_{1}$ ，第2幅图中“”的个数为 $a_{2}$ ，第3幅图中“”的个数为 $a_{3}$ ， $⋅ ⋅ ⋅$ ．则 $\frac{2}{a_{1}} + \frac{2}{a_{2}} + \frac{2}{a_{3}}$ 的值为， $\frac{2}{a_{1}} + \frac{2}{a_{2}} + \cdot \cdot \cdot + \frac{2}{a_{2022}} = \frac{n}{2023}$ ． $n$ 为正整数，则 $n$ 的值为．

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10. 观察下列各式：
      $\sqrt{1 + \frac{1}{1^{2}} + \frac{1}{2^{2}}} = 1 + \frac{1}{1} - \frac{1}{2} = 1 \frac{1}{2}$ ；
      $\sqrt{1 + \frac{1}{2^{2}} + \frac{1}{3^{2}}} = 1 + \frac{1}{2} - \frac{1}{3} = 1 \frac{1}{6}$ ；
      $\sqrt{1 + \frac{1}{3^{2}} + \frac{1}{4^{2}}} = 1 + \frac{1}{3} - \frac{1}{4} = 1 \frac{1}{12}$ ．

(1)、请你根据上面三个等式提供的信息，可以猜想： $\sqrt{1 + \frac{1}{4^{2}} + \frac{1}{5^{2}}}$ ＝；

(2)、利用上述规律计算： $\sqrt{\frac{65}{64} + \frac{1}{81}}$ ＝．（直接写出答案）

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11. 将从1开始的自然数按以下规律排列，例如位于第3行、第4列的数是12，则位于第6行、第5列的数是.

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12. 探索题：
      $(x - 1) (x + 1) = x^{2} - 1$ ；

      $(x - 1) (x^{2} + x + 1) = x^{3} - 1$ ；

      $(x - 1) (x^{3} + x^{2} + x + 1) = x^{4} - 1$ ；

      $(x - 1) (x^{4} + x^{3} + x^{2} + x + 1) = x^{5} - 1$ ；

      $\dots \dots$

根据前面的规律，回答问题：

当 $x = 3$ 时， $(3^{2023} + 3^{2022} + 3^{2021} + \dots + 3^{3} + 3^{2} + 3 + 1) =$ ．

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13. 材料一：对于一个三位正整数，若百位数字与个位数字之和减去十位数字的差为3，则称这个三位数为“尚美数”，例如：234，因为 $2 + 4 - 3 = 3$ ，所以234是“尚美数”；
材料二：若 $t = \bar{a b c}$ （ $1 \leq a \leq 9 ， 0 \leq b \leq 9 ， 0 \leq c \leq 9 ，$ 且a，b，c均为整数），记 $F (t) = 2 a - c$ ，若 $m = 400 + 10 a + 1 (0 \leq a \leq 9)$ 是“尚美数”，则m的值为，

已知 $t_{1} = \bar{2 y z}$ ， $t_{2} = \bar{m y n}$ 是两个不同的“尚美数”（ $1 \leq y \leq 8 ， 1 \leq z \leq 9 ， 1 \leq m < n \leq 9$ 且y，z，m，n均为整数），且 $F (t_{1}) + 2 F (t_{2}) + 4 n$ 能被13整除，则 $t_{1}$ 的值为．

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三、解答题

14. 观察下列等式：
① $\sqrt{2 \times 4 + 1} = 3$ ；② $\sqrt{3 \times 5 + 1} =$ ▲ ；③ $\sqrt{4 \times 6 + 1} =$ ▲ ；…
写出第n个等式，并证明．

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15. 如图，自左向右，水平摆放一组小球，按照以下规律排列，如：红球，黄球，绿球，
红球，黄球，绿球，…，嘉琪依次在小球上标上数字1，2，3，4，5，6，…
尝试：左数第三个黄球上标的数字是 ▲ ；
应用：若某个小球上标的数字是101，则这个小球的颜色是什么？它左边共有多少个与它颜色相同的小球？
发现：试用含n的代数式表示左边第n个黄球所标的数字．

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四、综合题

16. 观察下列各式：
第1个等式： $\frac{1}{3} \times (1 - \frac{1}{4}) = \frac{1}{1 \times 4}$
第2个等式： $\frac{1}{3} \times (\frac{1}{2} - \frac{1}{5}) = \frac{1}{2 \times 5}$
第3个等式： $\frac{1}{3} \times (\frac{1}{3} - \frac{1}{6}) = \frac{1}{3 \times 6}$
．．．．．．

(1)、按照上述规律，写出第4个等式：；

(2)、请你猜想写出第n个等式：，并说明等式为什么成立．

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17. 著名数学教育家G•波利亚，有句名言：“发现问题比解决问题更重要”．这句话启发我们：要想学会数学，就需要观察，发现问题，探索问题的规律性东西，要有一双敏锐的眼睛．请先观察下列等式找出规律，并解答问题．
① $1^{3} = 1^{2}$ ；

② $1^{3} + 2^{3} = 3^{2}$ ；

③ $1^{3} + 2^{3} + 3^{3} = 6^{2}$ ；

④ $1^{3} + 2^{3} + 3^{3} + 4^{3} = 1 0^{2}$ ；

⑤ $1^{3} + 2^{3} + 3^{3} + 4^{3} + 5^{3} = 1 5^{2}$

……………

(1)、等式⑥是．

(2)、 $1^{3} + 2^{3} + 3^{3} + … + n^{3} =$ （n为正整数）．

(3)、求 $1 1^{3} + 1 2^{3} + 1 3^{3} + 1 4^{3} + 1 5^{3}$ 的值．

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2023-2024学年初中数学七年级上册 2.2 列代数式 同步分层训练培优卷(湘教版)

一、选择题

二、填空题

三、解答题

四、综合题

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