陕西省西安市鄠邑区2022-2023学年高二下学期期末理科数学试题

试卷更新日期：2023-08-24 类型：期末考试

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一、单选题

1. 若 $a \in R ， z$ 满足 $z (1 + i) = a + 2 i$ ，且 $z$ 为纯虚数，则 $a =$ （）

A、1 B、 $- 1$ C、2 D、 $- 2$

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2. 下列导数运算正确的是（）

A、 ${(s i n \frac{π}{3})}^{^{'}} = c o s \frac{π}{3}$ B、 ${(l n (- x))}^{^{'}} = - \frac{1}{x}$ C、 ${[{(2 e)}^{x}]}^{^{'}} = {(2 e)}^{x}$ D、 ${(\sqrt{x})}^{^{'}} = \frac{1}{2 \sqrt{x}}$

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3. $\int_{0}^{1} \sqrt{1 - x^{2}} d x =$ （）

A、 $\frac{π}{4}$ B、 $\frac{π}{2}$ C、 $\frac{1}{2}$ D、 $\frac{1}{4}$

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4. 有一散点图如图所示，在5个数据 $(x ， y)$ 中去掉 $D (3 ， 10)$ 后，下列说法正确的是（）

A、相关系数r变小 B、残差平方和变小 C、变量x ， y负相关 D、解释变量x与预报变量y的相关性变弱

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5. $- \frac{1}{x^{2}} {(1 + a y)}^{6}$ 展开式中 $x^{- 2} y^{3}$ 项的系数为160，则 $a =$ （）

A、2 B、4 C、－2 D、 $- 2 \sqrt{2}$

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6. 用反证法证明命题“平面四边形四个内角中至少有一个不大于 $90^{°}$ 时”，应假设（）

A、四个内角都大于 $90^{°}$ B、四个内角都不大于 $90^{°}$ C、四个内角至多有一个大于 $90^{°}$ D、四个内角至多有两个大于 $90^{°}$

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7. 随机变量ζ的分布列如下图，若 $E (ξ) = 0 ，$ 则 $D (ξ) =$ （）

$ξ$

$- 3$

$0$

$3$

$P$

$\frac{1}{3}$

$a$

$b$

A、6 B、2 C、0 D、 $\sqrt{6}$

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8. 7支不同的笔全部放入两个相同的笔筒中，每个笔筒至少放2支，则不同的方法有（）种.

A、56种 B、84种 C、112种 D、28种

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9. 数轴上一个质点在随机外力的作用下，从原点O出发，每隔1秒向左或向右移动一个单位，已知向右移动的概率为 $\frac{2}{3}$ ，向左移动的概率为 $\frac{1}{3}$ ，共移动6次，则质点位于2的位置的概率是（）

A、 ${(\frac{2}{3})}^{4} {(\frac{1}{3})}^{2}$ B、 ${(\frac{2}{3})}^{2} {(\frac{1}{3})}^{4}$ C、 $C_{6}^{2} {(\frac{2}{3})}^{4} {(\frac{1}{3})}^{2}$ D、 $C_{6}^{4} {(\frac{2}{3})}^{2} {(\frac{1}{3})}^{4}$

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10. 如图是函数 $y = f (x)$ 的导函数 $y = f^{'} (x)$ 的图象，则下列命题错误的是（）

A、函数 $y = f (x)$ 在 $(1 ， + \infty)$ 上的图象越来越陡 B、1不是函数 $y = f (x)$ 的极值点 C、 $y = f (x)$ 在 $x = 0$ 处切线的斜率小于零 D、 $y = f (x)$ 在区间 $(- 2 ， 2)$ 上单调递增

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11. 某校从4名女生和2名男生中选3人参加学校的汇演活动，在女生甲被选中的情况下，男生乙也被选中的概率为（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{2}{5}$ C、 $\frac{1}{5}$ D、 $\frac{4}{5}$

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12. 若函数 $f (x) = \frac{a}{2} x^{2} - 2 x + \ln x$ 存在极值，则实数 $a$ 的取值范围是（）

A、 $(- \infty ， 1)$ B、 $(- \infty ， 1]$ C、 $(0 ， 1)$ D、 $(0 ， 1]$

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二、填空题

13. 用数学归纳法证明“ n³+5n 能被6整除”的过程中，当 n=k+1 时，式子(k+1)³+5(k+1) 应变形为．

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14. 已知随机变量 $ξ$ 服从正态分布 $N (1 ， σ^{2})$ ，若 $P (ξ > 4) = 0.1$ ，则 $P (ξ < - 2) =$ .

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15. 由下列事实：
$(a - b) (a + b) = a^{2} - b^{2}$ ，

$(a - b) (a^{2} + a b + b^{2}) = a^{3} - b^{3}$ ，

$(a - b) (a^{3} + a^{2} b + a b^{2} + b^{3}) = a^{4} - b^{4}$ ，

$(a - b) (a^{4} + a^{3} b + a^{2} b^{2} + a b^{3} + b^{4}) = a^{5} - b^{5}$ .

……

可得到第 $n$ 个等式合理的猜想是.

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16. 一组成对数据 $(x_{1} ， y_{1})$ ， $(x_{2} ， y_{2})$ ， $(x_{3} ， y_{3})$ ， …， $(x_{n} ， y_{n})$ 的样本中心点为 $(\bar{x} ， \bar{y})$ （ $\bar{x} = \frac{1}{n} \sum_{i = 1}^{n} x_{i}$ ， $\bar{y} = \frac{1}{n} \sum_{i = 1}^{n} y_{i}$ ），由这组数据拟合的线性回归方程为 $\hat{y} = a + b x$ ，用最小二乘法求回归方程是为了使最小.①总偏差平方和 $\sum_{i = 1}^{n} {(y_{i} - \bar{y})}^{2}$ ；②残差平方和 $\sum_{i = 1}^{n} {(y_{i} - {\hat{y}}_{i})}^{2}$ ；③回归平方和 $\sum_{i = 1}^{n} {({\hat{y}}_{i} - \bar{y})}^{2}$ .

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三、解答题

17. 冰墩墩是2022年北京冬季奥运会的吉祥物，将熊猫形象与富有超能量的冰晶外壳相结合，头部外壳造型取自冰雪运动头盔，装饰彩色光环，整体形象酷似航天员，深受广大民众的喜爱，已成为最火爆的商品，出现了“一墩难求”的现象．某调查机构随机抽取100人，对是否有意向购买冰墩墩进行调查，结果如下表：

年龄/岁	[10，20）	[20，30）	[30，40）	[40，50）	[50，60）	[60，70）	[70，80]
抽取人数	10	20	25	15	18	7	5
有意向购买的人数	10	18	22	9	10	4	2

(1)、若从年龄在[70，80）的被调查人群中随机选出两人进行调查，求这两人中恰有一人打算购买冰墩墩的概率；

(2)、若以年龄40岁为分界线，由以上统计数据完成下面的2×2列联表（填写在答题卡上），并判断是否有99.9%的把握认为购买冰墩墩与人的年龄有关？

	年龄低于40岁的人数	年龄不低于40岁的人数	总计
有意向购买冰墩墩的人数
无意向购买冰墩墩的人数
总计

参考数据： $K^{2} = \frac{n {(a d - b c)}^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}$ ，其中n＝a＋b＋c＋d ．

P（ $K^{2} \geq k_{0}$ ）	0.15	0.10	0.05	0.025	0.010	0.005	0.001
$k_{0}$	2.072	2.706	3.841	5.024	6.635	7.879	10.828

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18. 已知函数 $f (x) = (x + 1) l n x - a x + a$ .

(1)、若函数 $y = f (x)$ 在点 $x = 1$ 处的切线倾斜角为 $\frac{π}{4}$ ，求a的值；

(2)、若 $f (x)$ 在 $(0 ， + ∞)$ 上单调递增，求a的最大值.

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19. 某医学院欲研究昼夜温差大小与患感冒人数多少之间的关系，该协会分别到气象局与某医院抄录了1到6月份每月10号的昼夜温差情况与因患感冒而就诊的人数，得到数据资料见下表：

月份	1	2	3	4	5	6
昼夜温差(C)	10	11	13	12	8	6
就诊人数(个)	22	25	29	26	16	12

该院确定的研究方案是：先从这六组数据中选取2组，用剩下的4组数据求线性回归方程，再用被选取的2组数据进行检验.

(参考公式和数据： ${\begin{array}{l} \hat{b} = \frac{\sum_{i = 1} (x_{i} - \bar{x}) (y_{i} - \bar{y})}{\sum_{i = 1} {(x_{i} - \bar{x})}^{2}} \\ \hat{a} = \bar{y} - \hat{b} \bar{x} \end{array} = \frac{\sum_{i = 1} x_{i} y_{i} - n \bar{x} \bar{y}}{\sum_{i = 1} x_{i}^{2} - n {\bar{x}}^{2}}$

$11 \times 25 + 13 \times 29 + 12 \times 26 + 8 \times 16 = 1092 ， 11^{2} + 13^{2} + 12^{2} + 8^{2} = 498$ )

(1)、求选取的2组数据恰好是不相邻的两个月的概率；

(2)、已知选取的是1月与6月的两组数据.

①请根据2到5月份的数据，求出就诊人数 $y$ 关于昼夜温差 $x$ 的线性回归方程；

②若由线性回归方程得到的估计数据与所选出的检验数据的误差均不超过2人，则认为得到的线性回归方程是理想的，试问该协会所得线性回归方程是否理想?

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20. 在下列两个条件中任选一个条件，补充在问题中的横线上，并解答.条件①：展开式中前三项的二项式系数之和为22；条件②：展开式中所有项的二项式系数之和减去所有项的系数之和等于64；问题：已知二项式 ${(\sqrt{x} - \frac{1}{x})}^{n}$ ，若____，求：

(1)、求n；

(2)、展开式中的常数项.

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21. 某运动员射击一次所得环数 $X$ 的分布列如下：

$X$

8

9

10

$P$

0.4

0.4

0.2

现进行两次射击，且两次射击互不影响，以该运动员两次射击中最高环数作为他的成绩，记为 $ξ$ ．

(1)、求该运动员两次命中的环数相同的概率；

(2)、求 $ξ$ 的分布列和数学期望 $E ξ$ ．

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22. 已知函数 $f (x) = x c o s x$ .

(1)、当 $x \in (0 ， π)$ 时，求证： $f (x) < s i n x$ ；

(2)、证明： $w (x) = f^{'} (x)$ 在 $(0 ， \frac{π}{2})$ 上单调递减；

(3)、求证：当 $x \in (0 ， \frac{π}{2})$ 时，方程 $f (x) - \frac{1}{2} = 0$ 有且仅有2个实数根.

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$ξ$	$- 3$	$0$	$3$
$P$	$\frac{1}{3}$	$a$	$b$

$X$	8	9	10
$P$	0.4	0.4	0.2