江苏省淮安市2023-2024学年高二上学期期初调研测试数学试题

试卷更新日期：2023-08-24 类型：开学考试

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一、单选题

1. 过点 $(- 1 ， 2)$ 且与直线 $2 x - 3 y + 4 = 0$ 平行的直线方程为（）

A、 $3 x + 2 y + 7 = 0$ B、 $3 x + 2 y - 1 = 0$ C、 $2 x - 3 y + 5 = 0$ D、 $2 x - 3 y + 8 = 0$

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2. 设直线 $l_{1} ： x - 2 y - 2 = 0$ 与 $l_{2}$ 关于直线 $l ： 2 x - y - 4 = 0$ 对称，则直线 $l_{2}$ 的方程是（　　）

A、 $11 x + 2 y - 22 = 0$ B、 $11 x + y + 22 = 0$ C、 $5 x + y - 11 = 0$ D、 $10 x + y - 22 = 0$

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3. 点M、N在圆 $C ： x^{2} + y^{2} + 2 k x + 2 m y - 4 = 0$ 上，且M、N两点关于直线 $x - y + 1 = 0$ 对称，则圆C的半径（）

A、最大值为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ B、最小值为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ C、最小值为 $\frac{3 \sqrt{2}}{2}$ D、最大值为 $\frac{3 \sqrt{2}}{2}$

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4. 已知圆 $O ： x^{2} + y^{2} = 1$ ，直线 $3 x + 4 y - 10 = 0$ 上动点 $P$ ，过点 $P$ 作圆 $O$ 的一条切线，切点为 $A$ ，则 $| P A |$ 的最小值为（）

A、1 B、 $\sqrt{2}$ C、 $\sqrt{3}$ D、2

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5. 已知圆 $C_{1} ： x^{2} + y^{2} - 2 x + 2 y - 2 = 0$ 与圆 $C_{2} ： x^{2} + y^{2} - 2 m x = 0 (m > 0)$ 的公共弦长为2，则m的值为（）

A、 $\frac{\sqrt{6}}{2}$ B、 $\frac{3}{2}$ C、 $\sqrt{6}$ D、3

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6. 已知圆 $C ： x^{2} + y^{2} = 4$ ，从点 $E (- 4 ， 0)$ 出发的光线要想不被圆 $C$ 挡住直接到达点 $F (3 ， m)$ ，则实数 $m$ 的取值范围为（）

A、 $(- \frac{7 \sqrt{3}}{3} ， \frac{7 \sqrt{3}}{3})$ B、 $(- \infty ， - \frac{7 \sqrt{3}}{3}) ∪ (\frac{7 \sqrt{3}}{3} ， + \infty)$ C、 $(- \frac{\sqrt{3}}{3} ， \frac{\sqrt{3}}{3})$ D、 $(- ∞ ， - \frac{\sqrt{3}}{3}) ∪ (\frac{\sqrt{3}}{3} ， + ∞)$

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7. 在平面直角坐标系中，已知点P在直线 $l ： x + 3 y = 0$ 上，且点P在第四象限，点 $Q (0 ， - \sqrt{10})$ ．以PQ为直径的圆C与直线l的另外一个交点为T ，满足 $C T ⊥ P Q$ ，则圆C的直径为（）

A、 $\sqrt{3}$ B、 $2 \sqrt{2}$ C、 $2 \sqrt{3}$ D、 $3 \sqrt{2}$

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8. 圆 $O_{1} ： x^{2} + y^{2} = 4$ 和圆 $O_{2} ： x^{2} + y^{2} + 2 x - 4 y = 0$ 的交点为 $A ， B$ ，则有（）

A、公共弦 $A B$ 所在直线方程为 $x - 2 y + 1 = 0$ B、公共弦 $A B$ 的长为 $\frac{64}{5}$ C、线段 $A B$ 中垂线方程为 $2 x - y = 0$ D、 $∠ A O_{2} B > 9 0^{∘}$

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二、多选题

9. 下列说法中，正确的有（）

A、点斜式 $y - y_{1}$ = $k (x - y_{1})$ 可以表示任何直线 B、直线 $y = 4 x - 2$ 在 $y$ 轴上的截距为-2 C、直线 $2 x - y + 3 = 0$ 关于 $x - y = 0$ 对称的直线方程是 $x - 2 y + 3 = 0$ D、点 $P (2 ， 1)$ 到直线 $a x + (a - 1) y + a + 3 = 0$ 的最大距离为2 $\sqrt{10}$

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10. 已知点 $Q$ 在圆 $C ： x^{2} + y^{2} - 4 x + 3 = 0$ 上，动点 $P$ 的坐标为 $(a ， a) (a \in R)$ ，则（）

A、 $| P Q |$ 的最小值为 $\sqrt{2} - 1$ B、 $| P Q |$ 的最大值为 $\sqrt{2} + 1$ C、当直线 $P Q$ 的斜率不存在时， $| P Q |$ 的最大值为1 D、当直线 $P Q$ 的斜率不存在时， $| P Q |$ 的最大值为 $2 + \sqrt{2}$

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11. 经过点 $A (2 ， 0)$ ， $B (4 ， 0)$ 和直线 $y = x$ 上一动点 $C$ 作圆 $M$ ，则有（）

A、圆 $M$ 面积的最小值是 $2 π$ B、 $∠ A C B$ 最大值是 $\frac{π}{4}$ C、圆 $M$ 与 $y = x$ 相切且以点 $C$ 为切点的圆有且仅有一个 D、圆心 $M$ 的轨迹是一段圆弧

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12. 关于圆C： $x^{2} + y^{2} - k x + 2 y + \frac{1}{4} k^{2} - k + 1 = 0$ ，下列说法正确的是（）

A、k的取值范围是 $k > 0$ B、若 $k = 4$ ，过 $M (3 ， 4)$ 的直线与圆C相交所得弦长为 $2 \sqrt{3}$ ，其方程为 $12 x - 5 y - 16 = 0$ C、若 $k = 4$ ，圆C圆 $x^{2} + y^{2} = 1$ 相交 D、若 $k = 4$ ， $m > 0 ， n > 0$ ，直线 $m x - n y - 1 = 0$ 恒过圆C的圆心，则 $\frac{1}{m} + \frac{2}{n} ≥ 9$ 恒成立

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三、填空题

13. 圆 $x^{2} + y^{2} + 2 x - 2 y = 0$ 的半径为.

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14. 已知两定点 $A (- 4 ， 0) ， B (2 ， 0)$ ，如果动点 $M$ 满足 $| M A | = 2 | M B |$ ，点 $N$ 是圆 $x^{2} + (y - 3)^{2} = 9$ 上的动点，则 $| M N |$ 的最大值为.

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15. 已知直线 $l ： x - y + 8 = 0$ 和两点 $A (2 ，， 0) ， B (- 2 ，， - 4)$ ，在直线 $l$ 上求一点 $P$ ，使 $| P A | + | P B |$ 最小，则 $P$ 点坐标是

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16. 在平面直角坐标系中，过点 $(2 ， 0)$ 的直线与圆 $C ： x^{2} + y^{2} - 10 x + 9 = 0$ 交于 $A ， B$ 两点，则四边形 $O A C B$ 面积最大值为.

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四、解答题

17. 在 $△ A B C$ 中， $B C$ 边上的高所在直线的方程为 $x - 2 y + 1 = 0$ ， $∠ A$ 的平分线所在直线方程为 $y = 0$ ，若点 $B$ 的坐标为 $(1 ， 2)$ .

(1)、求点 $A$ 和点 $C$ 的坐标；

(2)、求 $A C$ 边上的高所在的直线 $l$ 的斜截式方程.

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18. 已知圆 $M ： x^{2} + （ y - 2 ）^{2} = 1$ ，直线 $l ： x - 2 y = 0$ ，点 $P$ 在直线 $l$ 上，过 $P$ 点作圆 $M$ 的切线 $P A$ ， $P B$ ，切点为 $A ， B$ .

(1)、若 $∠ A P B = 60 °$ ，试求点 $P$ 的坐标；

(2)、求证：经过 $A$ ， $P$ ， $M$ 三点的圆必过定点，并求出所有定点的坐标.

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19. 已知圆 $C$ 经过 $A (2 ， 0)$ 、 $B (0 ， 4)$ 两点，且圆心在直线 $x + 2 y - 9 = 0$ 上．

(1)、求圆 $C$ 的标准方程；

(2)、过点 $P (- 2 ， 8)$ 的直线 $l$ 与圆 $C$ 相切，求直线 $l$ 的方程．

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20. 已知圆 $C$ 过两点 $A (- 1 ， 1) ， B (3 ， 5)$ ，且圆心 $C$ 在直线 $2 x - y - 5 = 0$ 上.

(1)、求圆 $C$ 的方程；

(2)、过点 $P (1 ， 5)$ 的直线 $l$ 交圆 $C$ 于 $M ， N$ 两点，且 $| M N | = 4 \sqrt{3}$ ，求直线 $l$ 的方程.

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21. 已知圆M与直线x=2相切，圆心M在直线x+y=0上，且直线 $x - y - 2 = 0$ 被圆M截得的弦长为2 $\sqrt{2}$ .

(1)、求圆M的方程，并判断圆M与圆N： $x^{2} + y^{2} - 6 x + 8 y + 15 = 0$ 的位置关系；

(2)、若在x轴上的截距为 $- 1$ 且不与坐标轴垂直的直线l与圆M交于A ， B两点，在x轴上是否存在定点Q ，使得 $k_{A Q} + k_{B Q} = 0$ ?若存在，求出Q点坐标；若不存在，说明理由.

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22. 已知圆 $C ： x^{2} + y^{2} - 8 x - 4 y + 11 = 0$ .

(1)、若圆 $C$ 上恰有三个点到直线 $l$ (斜率存在)的距离为1，且 $l$ 在两坐标轴上的截距相等，求 $l$ 的方程.

(2)、点 $P$ 为圆 $C$ 上任意一点，过点 $P$ 引单位圆的切线，切点 $Q .$ 试探究：平面内是否存在一点 $R$ 和固定常数 $λ$ ，使得 $| P R | = λ | P Q |$ ？

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