广东省揭阳市普宁国贤学校2023-2024学年高三上学期开学考试数学试题

试卷更新日期：2023-08-24 类型：开学考试

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一、单选题

1. 已知集合 $M = {x | x^{2} - 2 x - 3 < 0}$ ， $N = {x | l g (x - 2) < 1}$ ，则 $M ∪ N =$ （）

A、 ${x | 2 < x < 12}$ B、 ${x | - 1 < x < 12}$ C、 ${x | - 12 < x < 1}$ D、 $\emptyset$

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2. 已知复数 $z = \frac{1 + i}{3 i - 1}$ ，则复数 $z$ 的共轭复数 $\bar{z} =$ （）

A、 $- \frac{1}{5} - \frac{2}{5} i$ B、 $- \frac{1}{5} + \frac{2}{5} i$ C、 $\frac{1}{5} - \frac{2}{5} i$ D、 $\frac{1}{5} + \frac{2}{5} i$

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3. 已知 $c o s A ＋ s i n A ＝－ \frac{7}{13}$ ， A为第四象限角，则 $t a n A$ 等于（）

A、 $\frac{12}{5}$ B、 $\frac{5}{12}$ C、 $- \frac{12}{5}$ D、 $- \frac{5}{12}$

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4. 草莓中有多种氨基酸、微量元素、维生素，能够调节免疫功能，增强机体免疫力．草莓味甘、性凉，有润肺生津，健脾养胃等功效，受到众人的喜爱．根据草莓单果的重量，可将其从小到大依次分为4个等级，其等级x $(x = 1 ， 2 ， 3 ， 4)$ 与其对应等级的市场销售单价y（单位：元/千克）近似满足函数关系式 $y = e^{a x + b}$ ，若花同样的钱买到的1级草莓比4级草莓多1倍，且1级草莓的市场销售单价为20元/千克，则3级草莓的市场销售单价最接近（参考数据： $\sqrt[3]{2} \approx 1.26$ ， $\sqrt[3]{4} \approx 1.59$ ）（）

A、30.24元/千克 B、31.75元/千克 C、38.16元/千克 D、42.64元/千克

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5. 平面向量 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角为60°， $\vec{a} = (2 ， 0) ， |\vec{b}| = 1$ ，则 $|\vec{a} + 2 \vec{b}|$ 等于 ( )

A、 $\sqrt{3}$ B、 $2 \sqrt{3}$ C、4 D、12

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6. 已知 $(a x - 2) (x + 1)^{4}$ 的展开式中 $x^{3}$ 的系数为 $- 2$ ，则实数 $a =$ （）

A、2 B、 $- 1$ C、1 D、 $- 2$

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7. 已知 $a = e^{l n \frac{1}{4}} ， b = \frac{1}{2} l n \sqrt{2.8} ， c = s i n \frac{1}{4}$ ，则 $a ， b ， c$ 的大小关系是（）

A、 $b > a > c$ B、 $a > b > c$ C、 $c > b > a$ D、 $b > c > a$

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8. 已知双曲线 $C ： \frac{y^{2}}{a^{2}} - \frac{x^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0) ， O$ 为坐标原点， $F_{1} ， F_{2}$ 为双曲线 $C$ 的两个焦点，点 $P$ 为双曲线上一点，若 $| P F_{1} | = 3 | P F_{2} | ， | O P | = b$ ，则双曲线 $C$ 的方程可以为（）

A、 $\frac{y^{2}}{4} - x^{2} = 1$ B、 $\frac{y^{2}}{2} - \frac{x^{2}}{4} = 1$ C、 $\frac{y^{2}}{3} - \frac{x^{2}}{4} = 1$ D、 $\frac{y^{2}}{16} - \frac{x^{2}}{4} = 1$

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二、多选题

9. 下列说法中，正确的命题有（）

A、已知随机变量 $ξ$ 服从正态分布N（2， $δ^{2}$ ）， $P (ξ < 4) = 0.84$ ，则 $P (2 < ξ < 4) = 0.34$ B、以模型 $y = c e^{k x}$ 去拟合一组数据时，为了求出回归方程，设 $z = l n y$ ，求得线性回归方程为 $\hat{z} = 0.3 x + 4$ ，则 $c ， k$ 的值分别是 $e^{4}$ 和 $0.3$ C、若事件A与事件B互斥，则事件A与事件B独立 D、若样本数据 $x_{1} ， x_{2} ， ⋯ ， x_{10}$ 的方差为2，则数据 $2 x_{1} - 1 ， 2 x_{2} - 1 ， ⋯ ， 2 x_{10} - 1$ 的方差为16

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10. 已知数列 ${a_{n}}$ 的首项为4，且满足 $2 (n + 1) a_{n} = n a_{n + 1} (n \in N^{*})$ ，则（）

A、 ${\frac{a_{n}}{n}}$ 为等差数列 B、 ${a_{n}}$ 为递增数列 C、 ${a_{n}}$ 的前n项和 $S_{n} = (n - 1) 2^{n + 2} + 4$ D、 ${\frac{a_{n}}{2^{n + 1}}}$ 的前n项和 $T_{n} = \frac{n^{2} + n}{2}$

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11. 已知函数 $f (x) = | s i n x | + | c o s x | - s i n 2 x - 1$ ，则下列说法正确的是（）

A、 $f (x)$ 是以 $π$ 为周期的函数 B、直线 $x = \frac{π}{2}$ 是曲线 $y = f (x)$ 的对称轴 C、函数 $f (x)$ 的最大值为 $\sqrt{2}$ ，最小值为 $\sqrt{2} - 2$ D、若函数 $f (x)$ 在区间 $(0 ， M π)$ 上恰有2023个零点，则 $\frac{2023}{2} < M \leq 1012$

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12. 如图，在棱长为2的正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，点 $M$ ， $N$ 分别在线段 $A D_{1}$ 和 $B_{1} C_{1}$ 上．给出下列四个结论：其中所有正确结论的序号是（）

A、 $M N$ 的最小值为2 B、四面体 $N M B C$ 的体积为 $\frac{4}{3}$ C、有且仅有一条直线 $M N$ 与 $A D_{1}$ 垂直 D、存在点 $M ， N$ ，使 $△ M B N$ 为等边三角形

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三、填空题

13. 函数 $f (x) = {\begin{array}{l} x^{2} ， x \leq 0 \\ l o g_{2} x ， x > 0 \end{array}$ ，则 $f (f (- 2)) =$ .

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14. 已知 $7 \sqrt{3} s i n θ = 1 + 7 c o s θ$ .则 $s i n (2 θ + \frac{π}{6}) =$ .

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15. 已知函数 $f (x) = e^{x} - x - m$ ， $g (x) = x - l n x - m$ ，若函数 $g (x)$ 存在零点2023，则函数 $f (x)$ 一定存在零点 $x_{0}$ ，且 $x_{0} =$ ．（只写一个即可）

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16. 一个球被平面截下的部分叫做球缺，截面叫做球缺的底面，球缺的曲面部分叫做球冠，垂直于截面的直径被截后的线段叫做球缺的高.球缺的体积公式为 $V = \frac{1}{3} π (3 R - H) H^{2}$ ，其中 $R$ 为球的半径， $H$ 为球缺的高.2022北京冬奥会的吉祥物“冰墩墩”（如图1）深受广大市民的喜爱，它寓意着创造非凡、探索未来，体现了追求卓越、引领时代，以及面向未来的无限可能 $.$ 它的外形可近似抽象成一个球缺与一个圆台构成的组合体（如图2），已知该圆台的底面半径分别 $4$ 和 $2$ ，高为 $6$ ，球缺所在球的半径为 $5$ ，则该组合体的体积为．

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四、解答题

17. 已知等差数列 ${a_{n}}$ 是递增数列，记 $S_{n}$ 为数列 ${a_{n}}$ 的前n项和， $a_{1} = 1$ ，且 $a_{2}$ ， $S_{3}$ ， $a_{14}$ 成等比数列.

(1)、求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、若 $b_{n} = \frac{1}{a_{n} a_{n + 1}}$ ，数列 ${b_{n}}$ 的前n项和为 $T_{n}$ ，求证 $T_{n} < \frac{1}{2}$ .

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18. 已知锐角 $△ A B C$ 的内角A ， B ， C的对边分别为a ， b ， c ， $\vec{m} = (2 c ， a c o s B + b s i n A)$ ， $\vec{n} = (\sqrt{3} ， s i n A)$ ，且 $\vec{m} ∥ \vec{n}$ ，且满足 $a = \sqrt{3}$ ．

(1)、求角A的大小；

(2)、求 $△ A B C$ 周长的取值范围．

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19. 如图所示，在三棱锥 $P - A B C$ 中，已知 $P A ⊥$ 平面 $A B C$ ，平面 $P A B ⊥$ 平面 $P B C$ ．

(1)、证明： $B C ⊥$ 平面 $P A B$ ；

(2)、若 $P A = A B = 6$ ， $B C = 3$ ，在线段 $P C$ 上（不含端点），是否存在点 $D$ ，使得二面角 $B - A D - C$ 的余弦值为 $\frac{\sqrt{10}}{5}$ ，若存在，确定点 $D$ 的位置；若不存在，说明理由．

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20. 某校为了丰富学生课余生活，组建了足球社团．为了解学生喜欢足球是否与性别有关，随机抽取了男、女同学各100名进行调查，部分数据如表所示：

喜欢足球
不喜欢足球
合计
男生
40
女生
30
合计
附： $χ^{2} = \frac{n {(a d - b c)}^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}$
$α$
0.1
0.05
0.01
0.005
0.001
$x_{α}$
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828

(1)、根据所给数据完成上表，依据 $α = 0.001$ 的独立性检验，能否认为该校学生喜欢足球与性别有关？

(2)、社团指导老师从喜欢足球的学生中抽取了2名男生和1名女生示范点球射门．已知这两名男生进球的概率均为 $\frac{2}{3}$ ，这名女生进球的概率为 $\frac{1}{2}$ ，每人射门一次，假设各人射门相互独立，求3人进球总次数 $X$ 的分布列和数学期望．

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21. 已知椭圆 $C ： \frac{y^{2}}{a^{2}} + \frac{x^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的离心率为 $\frac{\sqrt{6}}{3}$ ，点 $(\frac{2 \sqrt{2}}{3} ， \frac{\sqrt{3}}{3})$ 在椭圆 $C$ 上.

(1)、求椭圆 $C$ 的标准方程；

(2)、过点 $N (2 ， 0)$ 的直线与椭圆 $C$ 交于 $A ， B$ 两点，求 $S_{△ A O B}$ 的最大值.

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22. 已知函数 $f (x) = 2 l n x - \frac{1}{2} m x^{2} + 1 (m \in R)$ .

(1)、当 $m = 1$ 时，证明： $f (x) < 1$ ；

(2)、若关于 $x$ 的不等式 $f (x) < (m - 2) x$ 恒成立，求整数 $m$ 的最小值.

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	喜欢足球	不喜欢足球	合计
男生		40
女生	30
合计

$α$	0.1	0.05	0.01	0.005	0.001
$x_{α}$	2.706	3.841	6.635	7.879	10.828