广东省潮州市潮安区2023-2024学年高三上学期数学统测（一）

试卷更新日期：2023-08-24 类型：月考试卷

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一、单选题

1. 下列不等式中，解集为 ${x | x < 1$ 或 $x > 3}$ 的不等式是（）

A、 $1 - | \frac{x}{2} - 1 | < \frac{1}{2}$ B、 $| 2 x - 4 | > 3$ C、 $\frac{x - 1}{x - 3} \geq 0$ D、 $x^{2} - 4 x + 3 \geq 0$

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2. 已知集合 $A = {y | y = x^{2} - 2}$ ，集合 $B = {x | y = x^{2} - 1}$ ，则有（）

A、 $A = B$ B、 $A ∩ B = \emptyset$ C、 $A ∪ B = A$ D、 $A ∩ B = A$

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3. “ $| x - 1 | < 2$ ”是“ $x < 3$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分又不必要条件

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4. 下列各命题的否定为真命题的是（）

A、 $\forall x \in R$ ， $x^{2} - x + \frac{1}{4} \geq 0$ B、 $\exists x \in R$ ， $2^{x} > x^{2}$ C、 $\exists x \in R$ ， ${(\frac{1}{3})}^{x} > l o g_{2} x$ D、 $\forall x \in [0 ， \frac{π}{2}]$ ， $s i n x < x$

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5. 已知 $f (x) = {\begin{array}{l} - l g x ， & x > 0 \\ a^{x} + b ， & x ⩽ 0 \end{array}$ 且 $f (0) = 3$ ， $f (- 1) = 4$ ，则 $f (f (- 3)) =$ （）

A、﹣1 B、 $- l g 3$ C、0 D、1

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6. 下列命题为真命题的是（）

A、“ $a^{2} > b^{2}$ ”是“ $a > b$ ”的必要不充分条件 B、“ $2^{2 x - 1} \leq 128$ ”是“ $3 < x < 4$ ”的充分不必要条件 C、 $\forall x \in [1 ， 2)$ ， $x^{2} - a \leq 0$ 成立的一个充分不必要条件是 $a > 4$ D、“ $\exists x > 1$ ， $e^{2 x} \geq x + 1$ ”的否定是“ $\forall x \leq 1$ ， $e^{2 x} < x + 1$ ”（e为自然对数的底数）

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7. 下列命题正确的是（）

A、“ $\exists x \in R ， l o g {}_{\frac{1}{2}}{(x + 1)} > 0$ ” 的否定为真命题 B、若 $a > 0 ， b > 0 ， a + b + a b = 3$ ，则 $a + b \geq 2$ C、若“ $\forall x \in R ， a x^{2} + 4 x + 1 > 0$ ”为真命题，则 $a \leq 4$ D、 $a + b = 0$ 的必要不充分条件是 $\frac{a}{b} = - 1$

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8. 已知正数 $x$ 、 $y$ 满足 $2 x y = x + 2 y$ ，则 $4^{\frac{1}{x}} + 2^{\frac{1}{y}}$ 的最小值为（）

A、 $2$ B、 $4$ C、 $2 \sqrt{2}$ D、 $4 \sqrt{2}$

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二、多选题

9. 下列各组函数是同一函数的是（）

A、 $f (x) = x^{2} - 2 x - 1$ 与 $g (s) = s^{2} - 2 s - 1$ B、 $f (x) = \sqrt{x}$ 与 $g (x) = x \sqrt{x}$ C、 $f (x) = x$ 与 $g (x) = x (x > 0)$ D、 $f (x) = {\begin{array}{l} x ， x \geq 0 \\ - x ， x < 0 \end{array}$ 与 $g (x) = \sqrt{x^{2}}$

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10. 下列关于充分条件和必要条件的判断，其中正确的是（）

A、“ $a$ ， $b$ 都是偶数”是“a+b是偶数”的充分不必要条件 B、“ $a^{2} < 1$ ”是“ $a < 1$ ”的必要不充分条件 C、设 $a$ ， $b$ ， $c \in R$ ，则“ $a^{2} + b^{2} + c^{2} = a b + b c + a c$ ”是“ $a = b = c$ ”的充要条件 D、设 $a$ ， $b \in R$ ，则“ $a \geq 2$ 且 $b \geq 2$ ”是“ $a^{2} + b^{2} \geq 4$ ”的必要不充分条件

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11. 已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} x ， x \leq 0 \\ | l n x | ， x > 0 \end{array}$ ，则下列结论中正确的是（）

A、函数 $f (x)$ 有且仅有一个零点0 B、 $f (e) = 1$ C、 $f (x)$ 在 $(- ∞ ， 0)$ 上单调递增 D、 $f (x)$ 在 $(0 ， + ∞)$ 上单调递减

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12. 设正实数 $x$ ， $y$ 满足 $x + 2 y = 3$ ，则下列说法正确的是（）

A、 $\frac{y}{x} + \frac{3}{y}$ 的最小值为4 B、 $x y$ 的最大值为 $\frac{9}{8}$ C、 $\sqrt{x} + \sqrt{2 y}$ 的最小值为2 D、 $x^{2} + 4 y^{2}$ 的最小值为 $\frac{9}{2}$

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三、填空题

13. 函数 $f (x) = \sqrt{x + 3} + l o g_{2} (x + 1)$ ，则 $f (x)$ 定义域是．

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14. 已知二次函数 $f (x)$ 满足 $f (0) = 0$ ， $f (x - 1) = f (x) + 3 x - 5$ ，则不等式 $f (x) > 0$ 的解集为．

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15. 已知不等式 $x^{2} - a x - b < 0$ 的解集为 ${x | - 1 < x < 3}$ ，若函数 $f (x) = l o g_{a} (3 x - 4) + b$ （ $a > 0$ 且 $a \neq 1$ ），则 $f (4) =$ ．

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16. 正实数 $x ， y$ 满足 $\frac{1}{x} + \frac{4}{y} = 2$ ，且不等式 $x + \frac{y}{4} \geq m^{2} - m$ 恒成立，则实数 $m$ 的取值范围为.

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四、解答题

17. 已知数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和 $S_{n}$ ，且 $S_{n} = n^{2} + n$ ；

(1)、求它的通项 $a_{n}$

(2)、若 $b_{n} = 2^{n - 1}$ ，求数 ${a_{n} + b_{n}}$ 的前 $n$ 项和 $T_{n}$ .

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18. 在 $△ A B C$ 中，角A ， B ， C所对的边分别为a ， b ， c ，且 $b c o s C + \sqrt{3} b s i n C = a + c$ ．

(1)、求角B；

(2)、若 $b = 2$ ， $△ A B C$ 的面积为 $\sqrt{3}$ ，求c的值．

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19. 为进一步增强疫情防控期间群众的防控意识，使广大群众充分了解新冠肺炎疫情防护知识，提高预防能力做到科学防护，科学预防. 某组织通过网络进行新冠肺炎疫情防控科普知识问答，共有100 人参加了这次问答，将他们的成绩（满分100 分）分成 $[40 ， 50)$ ， $[50 ， 60)$ ， $[60 ， 70)$ ， $[70 ， 80)$ ， $[80 ， 90)$ ， $[90 ， 100]$ 这六组，制成如图所示的频率分布直方图.

(1)、求图中 $a$ 的值，并估计这100 人问答成绩的平均数(同一组数据用该组数据的中点值代替）；

(2)、用分层抽样的方法从问答成绩在 $[60 ， 80)$ 内的人中抽取一个容量为5的样本，再从样本中任意抽取2人，求这2人的问答成绩均在 $[70 ， 80)$ 内的概率.

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20. 已知函数 $f (x) = x^{3} - 3 x + a (a \in R)$ ．

(1)、求函数 $f (x)$ 的单调递减区间；

(2)、若函数 $f (x)$ 有三个零点，求 $a$ 的取值范围．

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21. 如图，四棱锥 $P - A B C D$ 中，底面ABCD为矩形， $P A ⊥$ 平面ABCD ， E为PD的中点．

(1)、证明： $P B$ //平面AEC；

(2)、设三棱锥 $E - A C D$ 的体积是 $\frac{\sqrt{3}}{8}$ ， $A P = 1 ， A D = \sqrt{3}$ ，求平面DAE与AEC的夹角．

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22. 已知椭圆 $E ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的右焦点为 $F$ ，上顶点为 $B$ ， $| B F | = 2$ ，离心率为 $\frac{1}{2}$ ．

(1)、求椭圆 $E$ 的标准方程；

(2)、若直线 $l ： y = x - 2 m (m \neq 0)$ 与椭圆 $E$ 相交于 $A ， C$ 两点，且点 $N (0 ， m)$ ，当 $△ A C N$ 的面积最大时，求直线 $l$ 的方程．

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