广东省广州市华附2023-2024学年高三上学期开学测试数学试题

试卷更新日期：2023-08-24 类型：开学考试

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一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合要求的。

1. 复数 $z = \frac{4 i}{1 + i}$ ，则 $\bar{z}$ 的辐角主值为（）

A、 $\frac{π}{4}$ B、 $\frac{7 π}{4}$ C、 $\frac{3 π}{4}$ D、 $- \frac{π}{4}$

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2. 设集合 $M = {x | x^{2} + 2 x - 3 < 0 ， x \in Z}$ ，则 $M$ 的子集数量是（）

A、 $8$ B、 $7$ C、 $32$ D、 $31$

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3. 椭圆 $E ： \frac{x^{2}}{4} + \frac{y^{2}}{3} = 1 (a > b > 0)$ 的两焦点分别为 $F_{1} ， F_{2}$ ， $A$ 是椭圆 $E$ 上一点，当 $△ F_{1} A F_{2}$ 的面积取得最大值时， $∠ F_{1} A F_{2} =$ （）.

A、 $\frac{π}{6}$ B、 $\frac{π}{2}$ C、 $\frac{π}{3}$ D、 $\frac{2 π}{3}$

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4. ${(x + 7)}^{5}$ 展开式中 $x^{3}$ 项的系数是（）

A、 $245$ B、 $10$ C、 $49$ D、 $490$

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5. 以下什么物体能被放进底面半径为 $\frac{1}{2} m$ ，高为 $\sqrt{3} m$ 的圆柱中（）

A、底面半径为 $\frac{3}{4} m$ ，母线长为 $\frac{\sqrt{10}}{4} m$ 的圆锥 B、底面半径为 $0.01 m$ ，高为 $1.9 m$ 的圆柱 C、边长为 $1 m$ 的立方体 D、底面积为 $\frac{3}{2} m^{2}$ ，高为 $1.5 m$ 的直三棱柱

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6. 有下列一组数据：442498053，则这组数据的第 $80$ 百分位数是（）

A、 $5.6$ B、 $5$ C、 $8$ D、 $6.2$

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7. 设数列 ${a_{n}}$ 的通项公式为 $a_{n} = 1 + 2 C_{n}^{1} + 2^{2} C_{n}^{2} + 2^{3} C_{n}^{3} + \dots + 2^{n} C_{n}^{n} (n \in N^{*})$ ，其前n项和为 $S_{n}$ ，则使 $S_{n} > 2023$ 的最小n是（）

A、 $5$ B、 $6$ C、 $7$ D、 $8$

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8. $a = \frac{1}{10} + l n 10 ， b = 6 l n 11 - 5 l n 9 - 1 ， c = \frac{10}{99} + \frac{l n 99}{2}$ ，则 $a ， b ， c$ 的大小关系是（）

A、 $a > c > b$ B、 $a > b > c$ C、 $b > a > c$ D、 $c > b > a$

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二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对得5分，漏选得2分，有选错或未选的得0分。

9. 下列式子中最小值是 $3$ 的是（）

A、 $x l n x + \frac{9}{x l n x}$ B、 $x + \frac{9}{x}$ C、 $x e^{x} + \frac{3 e + 1}{e}$ D、 $2 x^{2} + 4 x + 5$

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10. $f (x) = a c o s ω x (ω > 0)$ ，若将 $f (x)$ 图象向左平移 $\frac{π}{6 ω}$ 个单位长度后在 $[0 ， \frac{7 π}{12}]$ 上有且只有两个零点，则 $ω$ 的取值可以是（）

A、 $\frac{16}{7}$ B、 $2$ C、 $3$ D、 $4$

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11. 已知正方形 $A B C D$ 中， $A B = 2$ ， $P$ 是平面 $A B C D$ 外一点.设直线 $P B$ 与平面 $A B C D$ 所成角为 $α$ ，设三棱锥 $P - A B C$ 的体积为 $V$ ，则下列命题正确的是（）

A、若 $P A + P C = 2 \sqrt{3}$ ，则 $α$ 的最大值是 $\frac{π}{4}$ B、若 $P A + P C = 2 \sqrt{3}$ ，则 $V$ 的最大值是 $\frac{1}{3}$ C、若 $P A^{2} + P C^{2} = 4$ ，则 $V$ 的最大值是 $\frac{2}{3}$ D、若 $P A^{2} + P C^{2} = 4$ ，则 $α$ 的最大值是 $\frac{π}{4}$

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12. 在本场考试中，多选题可能有 $2$ 个或 $3$ 个正确的选项，全部选对得 $5$ 分，漏选得 $2$ 分，有选错或未选的得 $0$ 分。如果你因完全不会做某道题目而必须随机选择 $1 ~ 3$ 项选项，设该题恰有两个正确选项的概率为 $p_{0}$ ，你的得分为随机变量 $X$ ，则下列说法正确的是（）

A、若随机选择两项，则存在 $p_{0}$ 使 $E (X) > 1$ B、无论 $p_{0}$ 为多少，随机选择一项总能使 $E (X)$ 最大 C、若 $p_{0} > \frac{3}{13}$ 则随机选择两项比随机选择三项更优 D、若随机选择三项，则存在 $p_{0}$ 使 $E (X) > 1$

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三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13. 设随机变量 $X ~ N (5 ， 2^{2})$ ，则 $P (X > 5) =$

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14. 直线 $l$ 与圆 $G ： {(x - 4)}^{2} + {(y + 1)}^{2} = 4$ 和椭圆 $E ： \frac{x^{2}}{4} + y^{2} = 1$ 同时相切，请写出一条符合条件的 $l$ 的方程.

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15. 底面是面积为 $\sqrt{3}$ 的等边三角形 $A B C$ 的三棱锥 $P - A B C$ 的表面积是 $6 + \sqrt{3}$ ，则其体积的最大值是

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16. 有8个不同的小球从左到右排成一排，从中拿出至少一个球且不能同时拿出相邻的两个球的方案数量是

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四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

17. 向量 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 能作为平面向量的一组基底.

(1)、若 $\vec{A B} = \vec{a} + 7 \vec{b}$ ， $\vec{B C} = \vec{3 a} + 4 \vec{b}$ ， $\vec{D C} = \vec{a} - 10 \vec{b}$ ，证明 $A ， B ， D$ 三点共线

(2)、若 $\vec{a} + k \vec{b}$ 与 $(k + 1) \vec{a} + \vec{b}$ 共线，求 $k$ 的值

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18. 如图，在三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中，四边形 $A A_{1} C_{1} C$ 是边长为 $4$ 的正方形，平面 $A B C ⊥$ 平面 $A A_{1} C_{1} C$ ， $A B = 3$ ， $B C = 5$

(1)、求证： $A A_{1} ⊥$ 平面 $A B C$

(2)、求平面 $A_{1} C_{1} B$ 与平面 $B_{1} C_{1} B$ 的夹角的余弦值

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19. 在 $△ A B C$ 中， $a ， b ， c$ 分别为 $A ， B ， C$ 的对边， $c o s C = \frac{s i n^{2} C}{s i n A s i n B}$

(1)、证明 $a^{2} + b^{2} = 3 c^{2}$

(2)、求 $c o s C$ 的取值范围

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20. 已知函数 $f (x) = e^{x} - a s i n x + b x (a > 0) .$

(1)、当 $b = 0$ 时，函数 $f (x)$ 在 $(0 ， \frac{π}{2})$ 上有极小值，求实数 $a$ 的取值范围

(2)、若 $b < 0$ ， $g (x) = f (x) + a s i n x$ ，证明 $g (x) > b l n (- \frac{b}{2})$

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21. 已知椭圆 $E ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的两焦点分别为 $F_{1} (- \sqrt{3} ， 0) ， F_{2} (\sqrt{3} ， 0)$ ， $A$ 是椭圆 $E$ 上
一点，当 $∠ F_{1} A F_{2} = \frac{π}{3}$ 时， $△ F_{1} A F_{2}$ 的面积为 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ .

(1)、求椭圆 $E$ 的方程

(2)、直线 $l_{1} ： k_{1} x - y + 2 k_{1} = 0 (k_{1} > 0)$ 与椭圆 $E$ 交于 $M ， N$ 两点，线段 $M N$ 的中点为 $P$ ，过 $P$ 作垂直 $x$ 轴的直线在第二象限交椭圆 $E$ 于点 $S$ ，过 $S$ 作椭圆 $E$ 的切线 $l_{2}$ ， $l_{2}$ 的斜率为 $k_{2}$ ，求 $k_{1} - k_{2}$ 的取值范围

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22. 记数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，且满足 $a_{1} = 1 ， 2 S_{n} - a_{n} = n^{2} .$

(1)、求数列 $a_{n}$ 的通项公式

(2)、数列 ${b_{n}}$ 满足 $b_{n} = \frac{1}{a_{n}}$ ，证明对任意 $n \in N^{*}$ ， $l n (n + 1) + \frac{n}{2 (n + 1)} < b_{1} + b_{2} + b_{3} + \dots + b_{n} \leq l n (n) + 1$

(3)、某铁道线上共有 $84$ 列列车运行，且每次乘坐到任意一列列车的概率相等，设随机变量 $X$ 为恰好乘坐一次全部列车所乘坐的次数，试估算 $\frac{E (X)}{84}$ 的值（结果保留整数）
参考数据： $l n 2 \approx 0.6931$ ， $l n 3 \approx 1.0986$ ， $l n 7 \approx 1.9459$

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