贵州省2024届高三上学期入学考试数学试题

试卷更新日期：2023-08-24 类型：开学考试

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一、单选题

1. 已知复数 $z = - 1 + 2 i$ （i为虚数单位），则 $z i =$ （）

A、 $- 1 - 2 i$ B、 $2 - i$ C、 $- 2 - i$ D、 $1 + 2 i$

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2. 若集合 $A = {1 ， 2 ， 3}$ ，集合 $B = {z | z = x - y ， x \in A ， y \in A}$ ，则集合 $A ∪ B =$ （）

A、 ${1 ， 2}$ B、 ${1 ， 2 ， 3}$ C、 ${- 2 ， - 1 ， 0 ， 1 ， 2}$ D、 ${- 2 ， - 1 ， 0 ， 1 ， 2 ， 3}$

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3. 已知函数 $f (x) = e^{x} + x^{3} f^{'} (1)$ ，则 $f (1) =$ （）

A、e B、 $- e$ C、 $\frac{e}{2}$ D、 $- \frac{e}{2}$

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4. “积跬步以至千里，积小流以成江海．”出自荀子《劝学篇》．原文为“故不积跬步，无以至千里；不积小流，无以成江海．”数学上这样的两个公式：① $1.0 1^{30} \approx 1.3$ ；② $1.0 1^{365} \approx 37.8$ ，也能说明这种积少成多，聚沙成塔的成功之道．它们所诠释的含义是“每天增加1%，就会在一个月、一年以后产生巨大的变化．虽然这是一种理想化的模型，但也能充分地说明“小小的改变和时间积累的力量”．假设某同学通过学习和思考所带来的知识积累的变化，以每天2.01%的速度“进步”，则30天以后他的知识积累约为原来的（）

A、1.69倍 B、1.96倍 C、1.78倍 D、2.8倍

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5. 已知函数 $f (x)$ 为奇函数， $g (x)$ 为偶函数，且 $f (x) = g (x) - e^{x}$ ，记 $h (x) = \frac{f (x)}{g (x)}$ ，则 $h (1) =$ （）

A、 $\frac{e^{2} + 1}{e^{2} - 1}$ B、 $\frac{e^{2} - 1}{e^{2} + 1}$ C、 $\frac{1 - e^{2}}{1 + e^{2}}$ D、 $\frac{1 + e^{2}}{1 - e^{2}}$

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6. 已知F为双曲线C： $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ （ $a > 0$ ， $b > 0$ ）的右焦点，过点F作x轴的垂线与双曲线及它的渐近线在第一象限内依次交于点A和点B ．若 $| A B | = | A F |$ ，则双曲线C的渐近线方程为（）

A、 $\sqrt{3} x \pm y = 0$ B、 $x \pm \sqrt{3} y = 0$ C、 $\sqrt{2} x \pm y = 0$ D、 $x \pm \sqrt{2} y = 0$

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7. 已知“水滴”的表面是一个由圆锥的侧面和部分球面（常称为“球冠”）所围成的几何体．如图所示，将“水滴”的轴截面看成由线段AB ， AC和优弧BC所围成的平面图形，其中点B ， C所在直线与水平面平行，AB和AC与圆弧相切．已知“水滴”的“竖直高度”与“水平宽度”（“水平宽度”指的是平行于水平面的直线截轴截面所得线段的长度的最大值）的比值为 $\frac{4}{3}$ ，则 $s i n ∠ B A C =$ （）

A、 $\frac{3}{25}$ B、 $\frac{9}{25}$ C、 $\frac{16}{25}$ D、 $\frac{24}{25}$

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8. 中位数为1010的一组数构成等差数列 ${a_{n}}$ ，其末项为2024，则数列 ${a_{n}}$ 的首项 $a_{1}$ 为（）

A、 $- 3$ B、 $- 4$ C、 $- 3$ 或 $- 4$ D、3或 $- 3$

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二、多选题

9. 如图，在空间四边形ABCD中， $A B = B C = C D = D A$ ， $∠ B A D = 60 °$ ，将△ABD以BD为旋转轴转动，则下列结论正确的是（）

A、连接AC ， BD ，则 $B D ⊥ A C$ B、存在一个位置，使△ACD为等边三角形 C、AD与BC不可能垂直 D、直线AD与平面BCD所成角的最大值为60°

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10. 过抛物线C： $y^{2} = 4 x$ 的焦点F作两条互相垂直的直线 $l_{1}$ 和 $l_{2}$ ，设直线 $l_{1}$ 交抛物线C于A ， B两点，直线 $l_{2}$ 交抛物线C于D ， E两点，则 $| A B | + | D E |$ 可能的取值为（）

A、18 B、16 C、14 D、12

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11. 某学校高三年级于2023年5月初进行了一次高三数学备考前测考试．按照分数大于或等于120的同学评价为“优秀生”，其它分数的同学评价为“潜力生”进行整体水平评价，得到下面表（1）所示的列联表．已知在这105人中随机抽取1人，成绩优秀的概率为 $\frac{2}{7}$ ，根据表（2）的数据可断定下列说法正确的是（）
班级
战绩
合计
优秀生
潜力生
甲班
10
b

乙班
c
30

合计

105
表（1）
$α$
0.05
0.01
0.001
$x_{α}$
3.841
6.635
10.828
表（2）

A、列联表中c的值为30，b的值为35 B、列联表中c的值为20，b的值为45 C、根据列联表中的数据，有95%的把握认为成绩与班级有关 D、根据列联表中的数据，没有95%的把握认为成绩与班级有关

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12. 已知函数 $f (x) = x + \frac{4}{x}$ ， $g (x) = x^{2} - a x + 1$ ，若对任意 $x_{1} \in [1 ， 3]$ ．及对任意 $x_{2} \in [1 ， 3]$ ，都有 $f (x_{1}) \geq g (x_{2})$ ，则实数a的值可以是（）

A、 $- 2$ B、 $- 3$ C、2 D、3

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三、填空题

13. 设 $O$ 为 $△ A B C$ 的外心， $A B = 6$ ， $A C = 8$ ，则 $\vec{O A} \cdot \vec{B C} =$ ．

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14. 数学上将形如 $2^{p} - 1$ （p为素数）的素数称为“梅森素数”．显然，即使p是一个“不太大”的素数，“梅森素数” $2^{p} - 1$ 也可能是一个“很大”的数．利用 $l g (2^{p} - 1) \approx l g 2^{p}$ 和 $l g 2 \approx 0.301$ ，可估计得出“梅森素数” $2^{67} - 1$ 的位数为．

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15. 如图，三棱锥 $V - A B C$ 的三条侧棱 $V A ， V B ， V C$ 两两垂直，且 $V A = V B = V C = 1$ ．点 $P$ 是侧面 $V A C$ 内一点，过点 $P$ 作一个既平行于侧棱 $V B$ ，又平行于底边 $A C$ 的三棱锥的截面，则该截面面积的最大值为．

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16. 如图，设 $M (x_{1} ， y_{1})$ ， $P (x_{2} ， y_{2})$ 是圆O： $x^{2} + y^{2} = 4$ 上的两个动点，点M关于原点的对称点为 $M_{1}$ ，点M关于x轴的对称点为 $M_{2}$ ，若直线 $P M_{1}$ ， $P M_{2}$ 与y轴分别相交于 $(0 ， m)$ 和 $(0 ， n)$ ，则 $m \cdot n =$ ．

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四、解答题

17. 如图，已知平面四边形 $A B C D$ 存在外接圆，且 $A B = 5$ ， $B C = 2$ ， $c o s ∠ A D C = \frac{4}{5}$ ．

(1)、求 $△ A B C$ 的面积；

(2)、求 $△ A D C$ 的周长的最大值．

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18. 已知 $S_{n}$ 为数列 ${a_{n}}$ 的前n项和，且满足 $a_{1} = - 2$ ， $S_{n} - a_{n} = n^{2} - 5 n + 4$ ．

(1)、求 $a_{9}$ 的值；

(2)、若 $b_{n} = \frac{1}{(n + 1) (a_{n} + 4)}$ ，记数列 ${b_{n}}$ 的前n项和为 $T_{n}$ ，证明： $\frac{1}{4} \leq T_{n} < \frac{1}{2}$ ．

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19. 甲、乙分别拥有3张写有数字的卡片，甲的3张卡片上的数字分别为X ， Y ， Z ，乙的3张卡片上的数字分别为x ， y ， z ，已知 $X > x > Y > y > Z > z$ ．他们按如下规则做一个“出示卡片，比数字大小”的游戏：甲、乙各出示1张卡片，比较卡片上的数字的大小，然后丢弃已使用过的卡片．他们共进行了三次，直至各自用完3张卡片，且在出示卡片时双方都不知道对方所出示的卡片上的数字．三次“出示卡片，比数字大小”之后，认定至少有两次数字较大的一方获得胜利．

(1)、若第一次甲出示的卡片上写有数字X ，乙出示的卡片上写有数字z ，求乙最终获得胜利的概率；

(2)、记事件 $A =$ “第一次乙出示的卡片上的数字大”，事件 $B =$ “乙获得胜利”，试比较A和B哪个概率大，并说明理由．

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20. 如图，直四棱柱 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的底面 $A B C D$ 为菱形，且 $∠ A B C = 60 °$ ， $A A_{1} = A B = 2$ ， E ， F分别为BC ， $A_{1} D_{1}$ 的中点．

(1)、证明：平面 $E F C_{1} ⊥$ 平面 $A_{1} A D$ ．

(2)、求平面 $E F C_{1}$ 和平面 $A_{1} B_{1} C D$ 的夹角的余弦值．

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21. 定义：若椭圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 上的两个点 $A (x_{1} ， y_{1})$ ， $B (x_{2} ， y_{2})$ 满足 $\frac{x_{1} x_{2}}{a^{2}} + \frac{y_{1} y_{2}}{b^{2}} = 0$ ，则称A ， B为该椭圆的一个“共轭点对”，记作 $[A ， B]$ ．已知椭圆C： $\frac{x^{2}}{12} + \frac{y^{2}}{4} = 1$ 上一点 $A (3 ， 1)$ ．

(1)、求“共轭点对” $[A ， B]$ 中点B所在直线l的方程．

(2)、设O为坐标原点，点P ， Q在椭圆C上，且 $P Q / / O A$ ，（1）中的直线l与椭圆C交于两点 $B_{1} ， B_{2}$ ．
①求点 $B_{1}$ ， $B_{2}$ 的坐标；
②设四点 $B_{1}$ ， P ， $B_{2}$ ， Q在椭圆C上逆时针排列，证明：四边形 $B_{1} P B_{2} Q$ 的面积小于 $8 \sqrt{3}$ ．

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22. 定义函数 $f (x) = (x - a) s i n x$ ，其中 $x \in R$ ．

(1)、当 $a = \frac{π}{6}$ 时，求曲线 $y = f (x)$ 在点 $(\frac{π}{6} ， 0)$ 处的切线方程；

(2)、证明：在区间 $(- \frac{π}{2} ， \frac{3 π}{2})$ 上， $f (x)$ 有且只有两个不同的极值点．

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班级	战绩		合计
班级	优秀生	潜力生	合计
甲班	10	b
乙班	c	30
合计			105

$α$	0.05	0.01	0.001
$x_{α}$	3.841	6.635	10.828