云南省楚雄州2022-2023学年高一下学期期末考试数学试题

试卷更新日期：2023-08-24 类型：期末考试

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一、单选题

1. 已知集合 $A = {x ∣ 1 - x > 0} ， B = {x ∣ x^{2} < 9}$ ，则 $A ∪ B =$ （）

A、 $(- 3 ， 1)$ B、 $(- \infty ， 1)$ C、 $(1 ， 3)$ D、 $(- \infty ， 3)$

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2. 复数 $z = \frac{5}{2 + i} + 4 i$ 的虚部为（）

A、5 B、3 C、 $5 i$ D、 $3 i$

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3. 已知单位向量 $\vec{a} ， \vec{b}$ 的夹角为 $θ$ ，且 $c o s θ = - \frac{1}{4}$ ，则 $| \vec{a} - 2 \vec{b} | =$ （）

A、 $\sqrt{6}$ B、6 C、2 D、4

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4. 已知样本数据 $2 x_{1} + 3 ， 2 x_{2} + 3 ， 2 x_{3} + 3 ， 2 x_{4} + 3 ， 2 x_{5} + 3 ， 2 x_{6} + 3$ 的平均数为9，则另一组数据 $x_{1} ， x_{2} ， x_{3} ， x_{4} ， x_{5} ， x_{6} ， 2 ， 4$ 的平均数为（）

A、 $\frac{24}{7}$ B、 $\frac{9}{8}$ C、4 D、3

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5. 若 $x_{0}$ 是方程 $2^{x} = 12 - 3 x$ 的解，则 $x_{0} \in$ （）

A、 $(0 ， 1)$ B、 $(1 ， 2)$ C、 $(2 ， 3)$ D、 $(3 ， 4)$

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6. 如图，在正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $P ， Q ， M$ 分别是 $D D_{1} ， A B ， B B_{1}$ 的中点，则异面直线 $A_{1} M$ 与 $P Q$ 所成角的余弦值为（）

A、 $\frac{\sqrt{15}}{5}$ B、 $\frac{\sqrt{30}}{10}$ C、 $\frac{\sqrt{5}}{6}$ D、 $\frac{2 \sqrt{5}}{3}$

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7. “ $2 a^{2} - 3 a < 0$ ”是“对任意 $x \in (- 1 ， \frac{1}{2}) ， x^{2} + a x - 1 < 0$ 恒成立”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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8. “近水亭台草木欣，朱楼百尺回波濆”，位于济南大明湖畔的超然楼始建于元代，历代因战火及灾涝等原因，屡毁屡建.今天我们所看到的超然楼是2008年重建而成的，共有七层，站在楼上观光，可俯视整个大明湖的风景.如图，为测量超然楼的高度，选择C和一个楼房DE的楼顶 $E$ 为观测点，已知 $A ， C ， D$ 在水平地面上，超然楼 $A B$ 和楼房 $D E$ 都垂直于地面.已知 $D E = 14 m ， ∠ A C D = 4 5^{∘} ， ∠ A D C = 6 0^{∘}$ ，在 $C$ 点处测得 $E$ 点的仰角为 $1 5^{∘}$ ，在 $E$ 点处测得 $B$ 点的仰角为 $4 5^{∘}$ ，则超然楼的高度 $A B =$ （）

A、 $(12 + 28 \sqrt{3}) m$ B、 $(32 + 14 \sqrt{3}) m$ C、 $(14 + 28 \sqrt{3}) m$ D、 $(28 + 14 \sqrt{3}) m$

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二、多选题

9. 已知复数 $z$ 满足 $2 (z + \bar{z}) + 3 (z - \bar{z}) = 4 - 6 i$ ，则（）

A、 $z = 1 + i$ B、 $z^{2}$ 是纯虚数 C、 $| z | = 2$ D、复数 $z$ 在复平面内对应的点在第四象限

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10. 某饮料厂商开发了一种新的饮料，为了促销，每箱装的6瓶饮料中有2瓶瓶盖上分别印有“一等奖”，“二等奖”，其余4瓶印有“谢谢惠顾”．甲从新开的一箱中任选2瓶购买，设事件A表示“甲没有中奖”，事件B表示“甲获得一等奖”，事件C表示“甲中奖”，则（）

A、事件A和事件B是对立事件 B、事件A和事件C是对立事件 C、 $P (B + C) = P (C)$ D、 $P (B C) = P (C)$

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11. 下列式子计算正确的是（）

A、 $c o s (- \frac{π}{2} + 2) = - s i n 2$ B、 $s i n 2 = \frac{2 t a n 1}{1 + t a n^{2} 1}$ C、 $c o s 70 ° + c o s 50 ° = c o s 10 °$ D、 $t a n 110 ° + t a n 10 ° + \sqrt{3} = \sqrt{3} t a n 110 ° t a n 10 °$

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12. 在正三棱锥 $P - A B C$ 中， $P A$ 与底面 $A B C$ 所成角的余弦值为 $\frac{2 \sqrt{7}}{7} ， A B = 2 \sqrt{3}$ ，则（）

A、 $P C ⊥ A B$ B、三棱锥 $P - A B C$ 的体积为 $3 \sqrt{3}$ C、二面角 $P - A B - C$ 的大小为 $\frac{π}{3}$ D、三棱锥 $P - A B C$ 的外接球的表面积为 $\frac{49 π}{3}$

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三、填空题

13. 某游客计划从海口市､三亚市､普洱市､昆明市､丽江市这5个地区中随机选择2个地区去旅行，其中海口市､三亚市属于海南省，普洱市､昆明市､丽江市属于云南省，则这2个地区在同一省的概率为.

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14. 若一个样本 $1 ， 3 ， 5 ， 7 ， m$ 的中位数是4，则这个样本的方差为，这个样本的 $60 %$ 分位数为.

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15. 已知函数 $y = c o s^{2} ω x (ω > 0)$ 在 $[- \frac{π}{4} ， \frac{π}{6}]$ 上的最小值为 $\frac{1}{4}$ ，则 $ω$ 的值为．

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16. 已知 $△ A B C$ 外接圆的圆心为 $O ， P$ 是 $△ A B C$ 边上一动点，若 $C A = 2 ， C B = \sqrt{7} ， A = \frac{π}{3}$ ，则 $\vec{A B} \cdot \vec{O P}$ 的最大值为.

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四、解答题

17. 为了解学生对党的“二十大”精神的学习情况，学校开展了“二十大”相关知识的竞赛活动，全校共有1000名学生参加，其中男生550名，采用分层抽样的方法抽取100人，将他们的比赛成绩（成绩都在 $[50 ， 100]$ 内）分为 $[50 ， 60) ， [60 ， 70) ， [70 ， 80) ， [80 ， 90) ， [90 ， 100] 5$ 组，得到如图所示的频率分布直方图.

(1)、求 $a$ 的值以及女生被抽取的人数；

(2)、估计这100人比赛成绩的 $85 %$ 分位数（小数点后保留2位）.

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18. 已知函数 $f (x) = l o g_{a} x (a > 0$ 且 $a \neq 1)$ 在区间 $[\frac{1}{4} ， 16]$ 上的最大值是2.

(1)、求 $a$ 的值；

(2)、若函数 $g (x) = l o g_{2} (x^{2} - a x + \frac{1}{4})$ 的定义域为 $R$ ，求不等式 $a^{1 - 3 m} > 4$ 中 $m$ 的取值范围.

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19. 已知向量 $\vec{a} = (\sqrt{3} s i n x ， c o s x) ， \vec{b} = (c o s x ， c o s x)$ ，设函数 $f (x) = \vec{a} \cdot \vec{b}$ .

(1)、求 $f (x)$ 在 $[0 ， \frac{π}{2}]$ 上的单调增区间；

(2)、若对任意 $x \in [0 ， \frac{π}{2}] ， | f (x) - 1 | \leq m$ 恒成立，求 $m$ 的取值范围.

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20. 袋中装有大小完全相同的6个红球，3个蓝球，其中有2个红球和1个蓝球上面标记了数字1，其他球标记了数字2.

(1)、每次有放回地任取1个小球，连续取两次，求取出的2个球恰有1个红球且两球的数字和为3的概率；

(2)、从袋中不放回地依次取2个小球，每次取1个，记事件 $A = {$ 第一次取到的是红球 $}$ ，事件 $B = {$ 第二次取到了标记数字1的球 $}$ ，求 $P (A) ， P (B)$ ，并判断事件 $A$ 与事件 $B$ 是否相互独立.

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21. 如图，在三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中，侧面 $A A_{1} C_{1} C ⊥$ 底面 $A B C ， △ A B C$ 为等边三角形，且 $A_{1} C_{1} ⊥ B_{1} C$ .

(1)、证明： $A A_{1} = A_{1} C$ .

(2)、若 $A C = A A_{1} = 2$ ，求点 $C$ 到平面 $A_{1} A B B_{1}$ 的距离.

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22. 在 $△ A B C$ 中，角 $A ， B ， C$ 所对的边分别为 $a ， b ， c ， a s i n B + b = \sqrt{3} b c o s A$ .

(1)、求 $A$ ；

(2)、若 $∠ A B C > \frac{π}{2}$ ，过 $B$ 作 $B D$ 垂直于 $A B$ 交 $A C$ 于点 $D ， E$ 为 $B C$ 上一点，且 $B E = \sqrt{3} ， D E = 1$ ，求 $A E$ 的最大值.

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