云南省昆明市2022-2023学年高二下学期期末质量检测数学试题

试卷更新日期：2023-08-24 类型：期末考试

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一、单选题

1. 复平面内，复数 $z$ 所对应的点为 $(2 ， 1)$ ，则 $z i =$ （）

A、 $2 + i$ B、 $2 + 2 i$ C、 $- 1 + 2 i$ D、 $- 1 - 2 i$

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2. 已知集合 $A = {1 ， 2 ， 4}$ ，集合 $B = {a ， a + 2}$ ，若 $A ∩ B = B$ ，则 $a =$ （）

A、0 B、 $\frac{1}{2}$ C、1 D、2

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3. 某校为调查学生跑步锻炼的情况，从该校3000名学生中随机抽取300名学生，并统计这300名学生平均每周的跑步量（简称“周跑量”，单位： $k m /$ 周），得到如图所示的频率分布直方图.称周跑量不少于 $35 k m /$ 周的学生为“跑步达人”，用频率分布直方图估计这3000名学生中“跑步达人”的人数为（）

A、66 B、132 C、660 D、720

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4. 大西洋鲑鱼每年都要逆流而上，洄游到产卵地产卵.科学家发现鲑鱼的游速 $v$ （单位： $m / s$ ）与鲑鱼的耗氧量的单位数 $P$ 的关系为 $v = \frac{1}{2} l o g_{3} \frac{P}{100}$ ，则鲑鱼静止时耗氧量的单位数为（）

A、1 B、100 C、200 D、300

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5. 如图，圆锥 $S O_{2}$ 被平行于底面的一个平面所截，截去一个上、下底面半径分别为 $3$ 和 $5$ ，高为 $4$ 的圆台 $O_{1} O_{2}$ ，则所得圆锥 $S O_{1}$ 的体积为（）

A、 $16 π$ B、 $18 π$ C、 $20 π$ D、 $24 π$

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6. 已知椭圆 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0) ， F_{1} ， F_{2}$ 分别是 $C$ 的左，右焦点， $P$ 为 $C$ 上一点，若线段 $P F_{1}$ 的中点在 $y$ 轴上， $∠ P F_{1} F_{2} = \frac{π}{6}$ ，则 $C$ 的离心率为（）

A、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ B、 $\frac{2}{3}$ C、 $\frac{\sqrt{6}}{3}$ D、 $2 - \sqrt{3}$

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7. 已知 $s i n (\frac{π}{6} - x) = \frac{1}{4}$ ，则 $s i n (2 x + \frac{π}{6}) =$ （）

A、 $- \frac{7}{8}$ B、 $- \frac{1}{8}$ C、 $\frac{1}{8}$ D、 $\frac{7}{8}$

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8. 已知关于 $x$ 的不等式 $(a + 1) x \geq l n x + b$ 恒成立，则 $a e^{b - 1}$ 的最小值为（）

A、 $- 1$ B、 $- \frac{1}{2}$ C、 $- \frac{1}{4}$ D、 $- \frac{1}{8}$

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二、多选题

9. 已知抛物线 $E ： y^{2} = 4 x$ 的焦点为 $F ， A$ 为 $E$ 上一点，则下列命题或结论正确的是（）

A、若 $A F$ 与 $x$ 轴垂直，则 $| A F | = 2$ B、若点 $A$ 的横坐标为2，则 $| A F | = 3$ C、以 $| A F |$ 为直径的圆与 $y$ 轴相切 D、 $| A F |$ 的最小值为2

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10. 已知直三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 的所有顶点都在球 $O$ 的球面上， $∠ B A C = \frac{π}{3} ， B C = 3$ ， $A A_{1} = 2$ ，则下列结论正确的是（）

A、球 $O$ 的表面积为 $16 π$ B、 $O$ 到直线 $A A_{1}$ 的距离为 $\sqrt{3}$ C、 $O$ 到平面 $B C C_{1} B_{1}$ 的距离为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ D、 $O$ 到平面 $A B B_{1} A_{1}$ 的距离为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$

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11. 已知甲口袋中装有3个红球，1个白球，乙口袋中装有2个红球，1个白球，这些球只有颜色不同.先从甲口袋中随机取出1个球放入乙口袋，再从乙口袋中随机取出1个球.从甲口袋中取出的球是红球､白球分别为事件 $A_{1} ， A_{2}$ ，从乙口袋中取出的球是红球为事件 $B$ ，则下列结论正确的是（）

A、 $P (A_{1}) = \frac{3}{4}$ B、 $P (B ∣ A_{2}) = \frac{1}{4}$ C、 $P (A_{1} B) = \frac{3}{4}$ D、 $P (B) = \frac{11}{16}$

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12. 设函数 $f (x)$ 的定义域为 $R ， f (3 x + 1)$ 为奇函数， $f (x + 2)$ 为偶函数，当 $x \in [1 ， 2]$ 时， $f (x) = a + l o g_{2} x$ .则下列结论正确的是（）

A、 $f (1) = 1$ B、 $f (7) = 0$ C、 $\sum_{k = 1}^{2023} f (k) = 1$ D、 $\sum_{k = 1}^{100} k f (k) = - 100$

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三、填空题

13. 若向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 满足： $| \vec{a} | = 2$ ， $| \vec{a} + \vec{b} | = 3$ ， $| \vec{a} - \vec{b} | = 3$ ，则 $| \vec{b} | =$ .

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14. 已知圆 $O ： x^{2} + y^{2} = 4$ ，过点 $(1 ， 1)$ 的直线 $l$ 与圆 $O$ 交于 $A ， B$ 两点，则 $\vec{O A} \cdot \vec{O B}$ 的一个可能的值为.

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15. 《周髀算经》是中国十部古算经之一，其中记载有：阴阳之数，日月之法，十九岁为一章，四章为一蔀，二十蔀为一遂……若32个人的年龄（都为整数）依次成等差数列，他们的年龄之和恰好为“一遂”，其中年龄最小者不超过30岁，则年龄最大者为岁.

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16. 已知函数 $f (x) = s i n (ω x + \frac{π}{4}) (ω > 0) ， x = \frac{π}{4}$ 是 $f (x)$ 图象的一条对称轴， $f (x)$ 在区间 $(0 ， \frac{π}{4})$ 上单调，若 $f (x)$ 在区间 $(- m ， m)$ 上有且仅有2个极值点，则 $m$ 的取值范围为.

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四、解答题

17. 已知数列 ${a_{n}}$ 的首项为1，记其前 $n$ 项和为 $S_{n} ， S_{n} = \frac{a_{n} (n + 1)}{2}$ .

(1)、求 $a_{n}$ ；

(2)、设 $b_{n} = 2^{a_{n}}$ ，求 $b_{1} + b_{2} + b_{3} + ⋯ + b_{n}$ .

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18. $△ A B C$ 的内角 $A ， B ， C$ 所对的边长分别为 $a ， b ， c ， s i n^{2} B - s i n^{2} C = s i n A (s i n A - s i n C)$ .

(1)、求 $B$ ；

(2)、设 $B D$ 是 $A C$ 边上的高，且 $B D = 2$ ，求 $△ A B C$ 面积的最小值.

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19. 如图，三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $M$ 是 $A C$ 的中点， $A B ⊥$ 平面 $B C C_{1} B_{1} ， A C ⊥ B C_{1}$ .

(1)、求证： $B C_{1} ⊥ B C$ ；

(2)、若 $A B = B C_{1} = \frac{1}{2} B C$ ，求平面 $M B C_{1}$ 与平面 $A C C_{1} A_{1}$ 夹角的余弦值.

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20. 已知函数 $f (x) = a x^{3} + b x^{2} + 1 (a ， b \in R)$ 在 $x = 1$ 处取得极值0.

(1)、求 $a ， b$ ；

(2)、若过点 $(1 ， m)$ 存在三条直线与曲线 $y = f (x)$ 相切，求买数 $m$ 的取值范围.

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21. 已知双曲线 $M$ ： $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ 过点 $(\sqrt{5} ， \frac{1}{2})$ ，一条渐近线方程为 $x - 2 y = 0$ .

(1)、求 $M$ 的方程；

(2)、过 $M$ 的右焦点的直线 $l$ 与 $M$ 的右支交于 $P ， Q$ 两点， $T (- 3 ， 0)$ ，若 $△ T P Q$ 的外接圆圆心 $E$ 在 $y$ 轴上，求直线 $l$ 的方程.

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22. 某研究所研究某一型号疫苗的有效性，研究人员随机选取50只小白鼠注射疫苗，并将白鼠分成5组，每组10只，观察每组被感染的白鼠数.现用随机变量 $X_{i} (i = 1 ， 2 ， ⋯ ， 5)$ 表示第 $i$ 组被感染的白鼠数，并将随机变量 $X_{i}$ 的观测值 $x_{i} (i = 1 ， 2 ， ⋯ ， 5)$ 绘制成如图所示的频数分布条形图.若接种疫苗后每只白鼠被感染的概率为 $p (p \in (0 ， 1))$ ，假设每只白鼠是否被感染是相互独立的.记 $A_{i}$ 为事件“ $X_{i} = x_{i} (i = 1 ， 2 ， ⋯ ， 5)$ ”.

(1)、写出 $P (A_{1})$ （用 $p$ 表示，组合数不必计算）；

(2)、研究团队发现概率 $p$ 与参数 $θ (0 < θ < 1)$ 之间的关系为 $p = \frac{1}{2} θ^{2} - \frac{5}{6} θ + \frac{19}{45}$ .在统计学中，若参数 $θ = θ_{0}$ 时的 $p$ 值使得概率 $P (A_{1} A_{2} A_{3} A_{4} A_{5})$ 最大，称 $θ_{0}$ 是 $θ$ 的最大似然估计，求 $θ_{0}$ .

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