上海市虹口区2022-2023学年高二下学期期末数学试题

试卷更新日期：2023-08-24 类型：期末考试

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一、填空题

1. 若直线 $l_{1}$ ： $a x + 2 y + 3 a = 0$ .与直线 $l_{2}$ ： $2 x + (a - 1) y + 4 = 0$ 互相垂直，则实数 $a$ 的值为.

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2. 现有4个医疗小组和4个需要援助的国家，若每个医疗小组只去一个国家，且4个医疗小组去的国家各不相同，则不同的分配方法共有种.

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3. 已知 $E$ 是正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 棱 $C C_{1}$ 的中点，则直线 $A_{1} E$ 与平面 $A B C D$ 所成的角的大小等于.

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4. 若函数 $f (x) = x l n x$ ，则 $f^{'} (1) =$ ．

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5. 若 $C_{n + 1}^{5} - C_{n}^{5} = C_{n}^{6}$ ，则正整数 $n$ 的值等于.

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6. 棱长都是3的三棱锥的高等于.

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7. 已知平面直角坐标系中的三点 $A (- 2 ， - 1)$ 、 $B (2 ， 2)$ 、 $C (0 ， 3)$ ，若直线 $l$ 过点 $C$ 且与直线 $A B$ 平行，则 $l$ 的方程为.

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8. 如图，在三棱锥 $P - A B C$ 中， $P A ⊥$ 平面 $A B C$ ， $A C ⊥ B C$ ，则以此三棱锥的棱为边所构成的三角形中，直角三角形的个数有个.

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9. 从四棱锥 $P - A B C D$ 的5个顶点中任选4个不同的点，则这四点能够构成不同三棱锥的个数是（结果用数字作答）

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10. 已知P为抛物线 $y^{2} = 12 x$ 上一个动点，Q为圆 $x^{2} + {(y - 4)}^{2} = 1$ 上一个动点，那么点P到点Q的距离与点P到直线 $x = - 3$ 的距离之和的最小值是.

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11. 已知 $△ A F_{1} F_{2}$ 是等边三角形， $M$ 、 $N$ 分别是边 $A F_{1}$ 和 $A F_{2}$ 的中点.若椭圆以 $F_{1}$ 、 $F_{2}$ 为焦点，且经过 $M$ 、 $N$ ，则椭圆的离心率等于.

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二、单选题

12. 双曲线 $x^{2} - \frac{y^{2}}{3} = 1$ 的两条渐近线的夹角等于（）

A、 $\frac{π}{6}$ B、 $\frac{π}{3}$ C、 $\frac{π}{2}$ D、 $\frac{2 π}{3}$

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13. “ $θ = 2 k π + \frac{π}{4}$ ， $k \in Z$ ”是“ $t a n θ = 1$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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14. 下列命题中正确的是（）

A、终边重合的两个角相等 B、锐角是第一象限的角 C、第二象限的角是钝角 D、小于90°的角都是锐角

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15. 下列说法正确的是（）

A、若 $| \vec{a} | = | \vec{b} |$ ，则 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的长度相等且方向相同或相反； B、若 $| \vec{a} | = | \vec{b} |$ ，且 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的方向相同，则 $\vec{a} = \vec{b}$ C、平面上所有单位向量，其终点在同一个圆上； D、若 $\vec{a} / / \vec{b}$ ，则 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 方向相同或相反

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16. 已知 $i$ 为虚数单位，下列说法中错误的是（）

A、复数 $z_{1}$ 对应的向量为 $\vec{O Z_{1}}$ ，复数 $z_{2}$ 对应的向量为 $\vec{O Z_{2}}$ ，若 $| z_{1} + z_{2} | = | z_{1} - z_{2} |$ ，则 $\vec{O Z_{1}} ⊥ \vec{O Z_{2}}$ B、互为共轭复数的两个复数的模相等，且 ${| \bar{z} |}^{2} = {| z |}^{2} = z \cdot \bar{z}$ C、复数的模实质上就是复平面内复数对应的点到原点的距离，也就是复数对应的向量的模 D、若复数 $z$ 满足 $| z - i | = \sqrt{5}$ ，则复数 $z$ 对应的点在以 $(1 ， 0)$ 为圆心， $\sqrt{5}$ 为半径的圆上

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三、解答题

17. 若： ${(2 x - 1)}^{5} = a_{0} + a_{1} x + a_{2} x^{2} + a_{3} x^{3} + a_{4} x^{4} + a_{5} x^{5}$

(1)、当 $x = 0$ 时，求 $a_{0}$ 的值；

(2)、求 $a_{1} + a_{2} + a_{3} + a_{4} + a_{5}$ 的值.

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18. 亭子是一种中国传统建筑，多建于园林，人们在欣赏美景的同时也能在亭子里休息、避雨、乘凉（如图1）.假设我们把亭子看成由一个圆锥 $P - O_{1}$ 与一个圆柱 $O O_{1}$ 构成的几何体 $Ω$ （如图2）.一般地，设圆锥 $P - O_{1}$ 中母线与底面所成角的大小为 $α$ ，当 $20 ° < α < 35 °$ 时，方能满足建筑要求.已知圆锥高为 $1.5$ 米，底面半径为 $2.5$ 米，圆柱高为3米，底面半径为2米.

(1)、求几何体 $Ω$ 的体积；

(2)、如图2，设 $E$ 为圆柱底面半圆弧 $C D$ 的三等分点，求圆柱母线 $E F$ 和圆锥母线 $P B$ 所在异面直线所成角的大小，并判断该亭子是否满足建筑要求.

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19. 已知椭圆 $Γ$ ： $\frac{x^{2}}{4} + \frac{y^{2}}{3} = 1$ 的左、右焦点为 $F_{1}$ ， $F_{2}$ ，点 $A$ 是椭圆 $Γ$ 的上顶点，经过 $P (0 ， 3)$ 的直线 $l$ 交椭圆 $Γ$ 于 $C (x_{1} ， y_{1})$ ， $D (x_{2} ， y_{2})$ 两个不同的点.

(1)、求点 $F_{2}$ 到直线 $F_{1} A$ 的距离；

(2)、若直线 $l$ 的斜率为 $k$ ，且 $F_{1} C ⊥ F_{1} D$ ，求实数 $k$ 的值.

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20. 如图所示的几何体中，四边形 $A B C D$ 为正方形， $A P ∥ D E$ .

(1)、求证： $A B$ ∥平面 $C D E$ ；

(2)、若 $A P = B P = A B = 2$ ， $D E = 1$ ，平面 $P A B ⊥$ 平面 $A B C D$ .求平面 $P C E$ 与平面 $A B C D$ 所成锐二面角的大小.

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21. 如图所示的几何体中，四边形 $A B C D$ 为正方形， $A P ∥ D E$ .

(1)、求证： $A B$ $∥$ 平面 $C D E$ ；

(2)、若 $A P = B P = A B$ ，平面 $P A B ⊥$ 平面 $A B C D$ .若 $F$ 为 $P B$ 中点，求证： $A F ⊥ P C$ .

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22. 如图，已知等腰直角三角形 $A B C$ 的两直角边 $A C$ ， $B C$ 的边长为4，过 $A C$ 边的 $n$ 等分点 $A_{i}$ 作 $A C$ 边的垂线 $d_{i}$ ，过 $C B$ 边的 $n$ 等分点 $B_{i}$ 和顶点 $A$ 作直线 $l_{i}$ ，记 $d_{i}$ 与 $l_{i}$ 的交点为 $P_{i} (i = 1 ， 2 ， ⋯ ， n - 1)$ .若以点 $A$ 为坐标原点， $A C$ 所在的直线为 $x$ 轴（点 $C$ 在 $x$ 轴的正半轴上），建立平面直角坐标系.

(1)、证明：对任意的正整数 $n (n \geq 2)$ ，点 $P_{i} (i = 1 ， 2 ， ⋯ ， n - 1)$ 都在抛物线 $Γ$ ： $x^{2} = 4 y$ 上；

(2)、已知 $M (x_{0} ， y_{0})$ 是抛物线 $Γ$ ： $x^{2} = 4 y$ 在第一象限的点，过点 $M$ 与抛物线 $Γ$ 相切的直线 $l$ 与 $y$ 轴的交点为 $R$ .过点 $M$ 的直线 $l^{'}$ 与直线 $l$ 垂直，且与抛物线 $Γ$ 交于另一点 $Q$ .记 $△ R M Q$ 的面积为 $S$ ，试用解析法将 $S$ 表示为 $y_{0}$ 的函数，并求 $S$ 的最小值.

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23. 如图，已知等腰直角三角形 $A B C$ 的两直角边 $A C$ ， $B C$ 的边长为4，过 $A C$ 边的 $n$ 等分点 $A_{i}$ 作 $A C$ 边的垂线 $d_{i}$ ，过 $C B$ 边的 $n$ 等分点 $B_{i}$ 和顶点 $A$ 作直线 $l_{i}$ ，记 $d_{i}$ 与 $l_{i}$ 的交点为 $P_{i} (i = 1 ， 2 ， ⋯ ， n - 1)$ .若以点 $A$ 为坐标原点， $A C$ 所在的直线为 $x$ 轴（点 $C$ 在 $x$ 轴的正半轴上），建立平面直角坐标系.

(1)、当 $n = 4$ 时，求点 $P_{2}$ 的坐标；

(2)、已知 $M (x_{0} ， y_{0})$ 是抛物线 $Γ$ ： $x^{2} = 4 y$ 在第一象限的点，过点 $M$ 与抛物线 $Γ$ 相切的直线 $l$ 与 $y$ 轴的交点为 $R$ .过点 $M$ 的直线 $l^{'}$ 与直线 $l$ 垂直，与抛物线 $Γ$ 交于另一点 $Q$ ，且与 $y$ 轴交于点 $N$ .若 $△ R M N$ 为等腰直角三角形，求 $△ R M Q$ 的面积 $S$ .

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