四川省资阳市2022-2023学年高一下学期期末数学试题

试卷更新日期：2023-08-24 类型：期末考试

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一、单选题

1. 复数 $6 (c o s \frac{4 π}{3} + i s i n \frac{4 π}{3}) =$ （）

A、 $- 3 - 3 \sqrt{3} i$ B、 $- 3 \sqrt{3} - 3 i$ C、 $- 3 + 3 \sqrt{3} i$ D、 $3 - 3 \sqrt{3} i$

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2. 数据1，2，3，4，5，6，7，8的 $60 %$ 分位数为（）

A、4.5 B、5 C、5.5 D、6

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3. 若角α是第二象限角，则 $\frac{α}{2}$ 是（）

A、第一象限角 B、第二象限角 C、第一或第三象限角 D、第二或第四象限角

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4. 能使平面 $α$ 与平面 $β$ 平行的一个条件是（）

A、 $α$ 与 $β$ 都平行于同一条直线 B、一条直线l分别与 $α$ 和 $β$ 所成的角相等 C、 $α$ 内有无数条直线都与 $β$ 平行 D、 $α$ 内的任何一条直线都与 $β$ 平行

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5. $s i n 105 ° s i n 15 ° - c o s 105 ° c o s 15 °$ 的值为（）

A、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ B、 $\frac{1}{2}$ C、0 D、 $- \frac{1}{2}$

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6. 在 $△ A B C$ 中，内角A ， B ， C的对边分别为a ， b ， c ，已知 $B = 30 °$ ， $b = \sqrt{2}$ ， $c = 2$ ，则（）

A、 $C = 45 °$ B、 $A = 15 °$ C、 $a = \sqrt{3} - 1$ D、 $△ A B C$ 为钝角三角形

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7. 三棱台 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中，两底面 $△ A B C$ 和 $△ A_{1} B_{1} C_{1}$ 分别是边长为2和1的等边三角形， $C C_{1} ⊥$ 平面ABC.若 $C C_{1} = 2$ ，则异面直线AC与 $B C_{1}$ 所成角的余弦值为（）

A、 $\frac{\sqrt{14}}{4}$ B、 $\frac{\sqrt{7}}{7}$ C、 $\frac{\sqrt{2}}{4}$ D、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$

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8. 折扇又名“纸扇”是一种用竹木或象牙做扇骨、韧纸或者绫绢做扇面的能折叠的扇子.某折扇如图1所示，其平面图为如图2所示的扇形AOB ，其半径为3， $∠ A O B = 150 °$ ，点E ， F分别在 $\overset{⌢}{A B}$ ， $\overset{⌢}{C D}$ 上，且 $\vec{F E} = 2 \vec{O F}$ ，则 $\vec{A F} \cdot \vec{O E}$ 的取值范围是（）

A、 $[- 6 ， \frac{15}{2}]$ B、 $[3 - \frac{9 \sqrt{3}}{2} ， 6]$ C、 $[- \frac{3}{2} ， 3 + \frac{9 \sqrt{3}}{2}]$ D、 $[- 6 ， 3 + \frac{9 \sqrt{3}}{2}]$

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二、多选题

9. 某运动员在一次射击训练中射靶10次，其命中环数依次为7，5，8，9，6，6，7，7，8，7，则该运动员射击成绩的（）

A、众数为7 B、中位数为8 C、平均数为7 D、方差为 $\frac{6}{5}$

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10. 已知单位向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 满足 $| 2 \vec{a} - \vec{b} | = \sqrt{3}$ ，则以下结论正确的有（）

A、 $\vec{a} \cdot \vec{b} = \frac{1}{2}$ B、 $\vec{a} ⊥ (\vec{a} - \vec{b})$ C、向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 的夹角为 $30 °$ D、 $\vec{b}$ 在 $\vec{a}$ 上的投影向量为 $\frac{1}{2} \vec{a}$

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11. 已知函数 $f (x) = A s i n (ω x + φ) (A > 0 ， ω > 0 ， | φ | < \frac{π}{2})$ 的部分图象如图所示，下列说法正确的是（）

A、 $A ω = 12 φ$ B、函数 $f (x)$ 的图象关于直线 $x = \frac{5}{6}$ 对称 C、函数 $f (x)$ 在 $[\frac{2}{3} ， 1]$ 上单调递增 D、将函数. $f (\frac{2 x}{ω})$ 的图象向左平移 $\frac{π}{12}$ 个单位后得到函数 $g (x)$ 的图象，则 $g (x)$ 为偶函数

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12. 如图，在正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，E是棱CD上的动点，则下列结论正确的是（）

A、 $A D_{1}$ 与 $B_{1} E$ 所在的直线异面 B、 $B_{1} E ⊥ A D_{1}$ C、三棱锥 $A_{1} - E B_{1} D_{1}$ 的体积为定值 D、直线 $A B_{1}$ 与平面 $A C D_{1}$ 所成角的正弦值为 $\frac{\sqrt{6}}{3}$

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三、填空题

13. 某学校高中一年级有男生500人，女生400人，按性别进行分层，用分层抽样的方法从该年级学生中随机抽取一个容量为45的样本，则所抽取的女生人数为.

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14. 已知平面向量 $\vec{a} = (3 ， 1)$ ， $\vec{b} = (- 1 ， 1)$ ， $\vec{c} = (x ， - 6)$ .若 $(\vec{a} + 2 \vec{b}) / / \vec{c}$ ，则x＝.

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15. 复平面内复数 $z_{1} = 8 + 5 i$ ， $z_{2} = 4 + 2 i$ 对应的两点之间的距离为.

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16. 如图，三棱锥 $A - B C D$ 中，平面 $A C D ⊥$ 平面BCD ， $△ A C D$ 是边长为2的等边三角形， $B D = C D$ ， $∠ B D C = 120 °$ .若A ， B ， C ， D四点在某个球面上，则该球体的表面积为.

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四、解答题

17. 已知复数 $z_{1} = m + i$ ， $z_{2} = 2 + m i$ ，其中i是虚数单位， $m \in R$ .

(1)、若 $z_{1} \cdot z_{2}$ 为纯虚数，求m的值；

(2)、若 $z_{1}^{2} - 2 z_{1} + 2 = 0$ ，求 $\frac{z_{2}}{z_{1}}$ 的虚部.

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18. 已知函数 $f (x) = \sqrt{3} s i n 2 x + 2 c o s^{2} x + m$ 在区间 $[0 ， \frac{π}{4}]$ 上的最大值为1.

(1)、求常数m的值；

(2)、当 $x \in R$ 时，求函数 $f (x)$ 的最小值，以及相应x的集合.

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19. 为了解某市家庭用电量的情况，统计部门随机调查了200户居民去年一年的月均用电量（单位： $k W \cdot h$ ），将全部数据按区间 $[0 ， 50)$ ， $[50 ， 100)$ ， …， $[350 ， 400]$ 分成8组，得到如下的频率分布直方图：

(1)、求图中a的值；并估计这200户居民月用电量的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）；

(2)、为了既满足居民的基本用电需求，又提高能源的利用效率，市政府计划采用阶梯电价，使75%的居民缴费在第一档，20%的居民缴费在第二档，其余5%的居民缴费在第三档，试基于统计数据确定各档月均用电量的范围（计算百分位数时，结果四舍五入取整数）.

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20. 在 $△ A B C$ 中，内角A ， B ， C所对的边分别为a ， b ， c ，已知 $a^{2} - c^{2} - \frac{1}{2} b c = a b c o s C$ .

(1)、求角A的大小；

(2)、若 $a = 2 \sqrt{3}$ ，求 $△ A B C$ 周长的取值范围.

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21. 在 $△ A B C$ 中，点P为 $△ A B C$ 所在平面内一点.

(1)、若点P在边BC上，且 $\vec{B P} = \frac{1}{3} \vec{P C}$ ，用 $\vec{A B}$ ， $\vec{A C}$ 表示 $\vec{A P}$ ；

(2)、若点P是 $△ A B C$ 的重心.
①求证： $\vec{P A} + \vec{P B} + \vec{P C} = \vec{0}$ ；

②若 $35 s i n A \cdot \vec{P A} + 21 s i n B \cdot \vec{P B} + 15 s i n C \cdot \vec{P C} = \vec{0}$ ，求 $c o s ∠ B A C$ .

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22. 已知四棱锥 $P - A B C D$ 的底面为直角梯形， $A B ∥ D C$ ， $∠ D A B = 90 °$ ， $P A ⊥$ 底面ABCD ，且 $P A = A D = D C = 1$ ， $A B = 2$ ， M是PB的中点.

(1)、证明： $B C ⊥$ 平面 $P A C$ ；

(2)、判断直线CM与平面 $P A D$ 的位置关系，并证明你的结论；

(3)、求二面角 $A - M C - B$ 的余弦值.

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