四川省成都市2024届新高三上学期6月零诊模拟考试数学（文）试题

试卷更新日期：2023-08-24 类型：高考模拟

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一、单选题：共12道小题，每题5分，共60分．

1. 直线 $l_{1}$ ： $x + 2 y - 1 = 0$ 与直线 $l_{2}$ ： $a x + y + 2 = 0$ 平行，则 $a =$ （）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $- \frac{1}{2}$ C、2 D、 $- 2$

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2. 设 $z = \frac{1 - i}{1 + i} + 2 i$ ，则 $z$ 的虚部为（）

A、 $i$ B、 $3 i$ C、1 D、3

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3. 一组数据包括47、48、51、54、55，则这组数据的标准差为（）

A、 $\sqrt{10}$ B、 $5 \sqrt{2}$ C、10 D、50

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4. 已知函数 $f (x)$ 在其定义域 $R$ 上的导函数为 $f^{'} (x)$ ，当 $x \in R$ 时，“ $f^{'} (x) > 0$ ”是“ $f (x)$ 单调递增”的（）

A、充要条件 B、既不充分也不必要条件 C、必要不充分条件 D、充分不必要条件

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5. 圆 $C$ ： $(x - 1)^{2} + (y - 1)^{2} = 1$ 与直线 $l$ ： $\frac{x}{4} + \frac{y}{3} = 1$ 的位置关系为（）

A、相切 B、相交 C、相离 D、无法确定

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6. 如图所示的算法框图思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减相术”，执行该算法框图，若输入的 $a$ 、 $b$ 分别为36、96，则输出的 $a =$ （）

A、0 B、8 C、12 D、24

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7. 直线 $x = 2$ 与抛物线 $C$ ： $y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 交于 $D$ 、 $E$ 两点，若 $\vec{O D} \cdot \vec{O E} = 0$ ，其中 $O$ 为坐标原点，则 $C$ 的准线方程为（）

A、 $x = - \frac{1}{4}$ B、 $x = - \frac{1}{2}$ C、 $x = - 1$ D、 $x = - 2$

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8. 函数 $y = l g x$ 的图象经过变换 $φ$ ： ${\begin{array}{l} x^{'} = 10 x ， \\ y^{'} = y + 2 \end{array}$ 后得到函数 $y^{'} = f (x^{'})$ 的图象，则 $f (x) =$ （）

A、 $- 1 + l g x$ B、 $1 + l g x$ C、 $- 3 + l g x$ D、 $3 + l g x$

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9. 有甲、乙、丙、丁四名学生参加歌唱比赛，其中只有一位获奖，有人走访了四人，甲说：“是乙或丙获奖．”乙说：“甲、丙都未获奖．”丙说：“我获奖了．”丁说：“是乙获奖．”四位歌手的话只有两句是对的，则获奖的歌手是（）

A、甲 B、乙 C、丙 D、丁

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10. 点 $A$ 、 $B$ 在以 $P C$ 为直径的球 $O$ 的表面上，且 $A B ⊥ B C$ ， $A B = B C = 2$ ，已知球 $O$ 的表面积是 $12 π$ ，下列说法中正确的个数是（）
① $B C ⊥$ 平面 $P A B$ ；②平面 $P A C ⊥$ 平面 $A B C$ ；③ $P B ⊥ A C$ ．

A、0 B、1 C、2 D、3

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11. 关于圆周率 $π$ ，数学史上出现过很多有创意的求法，如著名的浦丰实验和查理斯实验．受其启发，可通过设计如下实验来估计 $π$ 值：先请100名同学每人随机写下一组正实数对 $(x ， y)$ ，且要求 $x$ ， $y$ 均小于1；再统计 $x$ 、 $y$ 和1作为三边长能形成钝角三角形的数对 $(x ， y)$ 的个数 $m$ ；最后利用统计结果估计 $π$ 值．假如某次实验结果得到 $m = 28$ ，那么本次实验可以将 $π$ 值估计为（）

A、 $\frac{22}{7}$ B、 $\frac{47}{15}$ C、 $\frac{78}{25}$ D、 $\frac{53}{17}$

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12. 函数 $f (x) = l o g_{\frac{2}{5 π}} x - s i n x$ 零点个数为（）

A、4 B、3 C、2 D、1

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二、填空题：共4道小题，每题5分，共20分．

13. 命题“ $\forall x > 0$ ， $t a n x > x$ ”的否定为．

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14. 函数 $f (x) = \frac{x}{c o s x}$ 的图象在 $x = π$ 处的切线方程为．

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15. 某区为了解全区12000名高二学生的体能素质情况，在全区高二学生中随机抽取了1000名学生进行体能测试，并将这1000名的体能测试成绩整理成如下频率分布直方图．根据此频率分布直方图，这1000名学生平均成绩的估计值为．

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16. 双曲线 $H$ ： $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a ， b > 0)$ 其左、右焦点分别为 $F_{1}$ 、 $F_{2}$ ，倾斜角为 $\frac{π}{3}$ 的直线 $P F_{2}$ 与双曲线 $H$ 在第一象限交于点 $P$ ，设双曲线 $H$ 右顶点为 $A$ ，若 $| P F_{2} | \geq 6 | A F_{2} |$ ，则双曲线 $H$ 的离心率的取值范围为．

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三、解答题：共5道大题，共70分．

17. 设函数 $f (x) = \frac{1}{3} x^{3} - \frac{f^{'} (- 1)}{4} x^{2} + 2 x - f (1)$ ，

(1)、求 $f^{'} (- 1)$ 、 $f (1)$ 的值；

(2)、求 $f (x)$ 在 $[0 ， 2]$ 上的最值．

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18. 如图1， $E$ 、 $F$ 、 $G$ 分别是边长为4的正方形的三边 $A B$ 、 $C D$ 、 $A D$ 的中点，先沿着虚线段 $F G$ 将等腰直角三角形 $F D G$ 裁掉，再将剩下的五边形 $A B C F G$ 沿着线段 $E F$ 折起，连接 $A B$ 、 $C G$ 就得到了一个空间五面体，如图2．

(1)、若 $O$ 是四边形 $E B C F$ 对角线的交点，求证： $A O ∥$ 平面 $G C F$ ；

(2)、若 $∠ A E B = \frac{2 π}{3}$ ，求三棱锥 $A - B E F$ 的体积．

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19. 信创产业即信息技术应用创新产业，是一条规模庞大、体系完整的产业链，是数字经济的重要抓手之一．在政府、企业等多方面的共同努力下，中国信创产业市场规模不断扩大，市场释放出前所未有的活力．下表为2018-2022年中国信创产业规模（单位：千亿元），其中2018-2022年对应的代码依次为1~5．

年份代码 $x$	1	2	3	4	5
中国信创产业规模 $y$ /千亿元	8.1	9.6	11.5	13.8	16.7

(1)、从2018-2022年中国信创产业规模中任取2个数据，求这2个数据都大于10的概率．

(2)、由上表数据可知，可用指数型函数模型

y = a \cdot b^{x}

拟合

y

与

x

的关系，请建立

y

关于

x

的回归方程（

a

，

b

的值精确到0.01），并预测2023年中国信创产业规模能否超过20千亿元．

参考数据：

$\bar{v}$	$\sum_{i = 1}^{5} x_{i} v_{i}$	$e^{1.919}$	$e^{0.177}$	$1.1 9^{6}$
2.45	38.52	6.81	1.19	2.84

其中 $v_{i} = l n y_{i}$ ， $\bar{v} = \frac{1}{5} \sum_{i = 1}^{5} v_{i}$ ．

参考公式：对于一组数据 $(u_{1} ， w_{1})$ ， $(u_{2} ， w_{2})$ ， $⋯$ ， $(u_{n} ， w_{n})$ ，其回归直线 $\hat{w} = \hat{α} + \hat{β} u$ 的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为 $\hat{β} = \frac{\sum_{i = 1}^{n} u_{i} w_{i} - n \bar{u} \bar{w}}{\sum_{i = 1}^{n} u_{i}^{2} - n {\bar{u}}^{2}}$ ， $\hat{α} = \bar{w} - \hat{β} \bar{u}$ ．

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20. 椭圆 $C$ ： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 上顶点为 $B$ ，左焦点为 $F$ ，中心为 $O$ ．已知 $T$ 为 $x$ 轴上动点，直线 $B T$ 与椭圆 $C$ 交于另一点 $D$ ；而 $P$ 为定点，坐标为 $(- 2 ， \sqrt{3})$ ，直线 $P T$ 与 $y$ 轴交于点 $Q$ ．当 $T$ 与 $F$ 重合时，有 $| \vec{P B} | = | \vec{P T} |$ ，且 $2 \vec{B T} = \vec{B P} + \vec{B Q}$ ．

(1)、求椭圆 $C$ 的标准方程；

(2)、设 $T$ 的横坐标为 $t$ ，且 $t \in (0 ， 1)$ ，当 $△ D T Q$ 面积等于 $\frac{\sqrt{3}}{5}$ 时，求 $t$ 的取值．

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21. 设函数 $f (x) = e^{x} - a x$ ，其中 $a \in R$ ．

(1)、讨论函数 $f (x)$ 在 $[1 ， + \infty)$ 上的极值；

(2)、若 $a = 1$ ，设 $f^{'} (x)$ 为 $f (x)$ 的导函数，当 $t > 1$ 时，有 $\frac{1}{f^{'} (l n t)} > \frac{λ}{f^{'} (- l n t)} + \frac{λ + 1}{l n t}$ ，求正实数 $λ$ 的取值范围．

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22. 在平面直角坐标系 $x O y$ 中，以 $O$ 为极点， $x$ 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线 $C$ 和直线 $l$ 的极坐标方程分别为 $ρ = 2 s i n θ + 2 a c o s θ$ 和： $ρ s i n (x - \frac{π}{4}) = \sqrt{2}$ ．且二者交于 $M$ ， $N$ 两个不同点．

(1)、写出曲线 $C$ 和直线 $l$ 的直角坐标方程；

(2)、若点 $P$ 的极坐标为 $(2 ， π)$ ， $| P M | + | P N | = 5 \sqrt{2}$ ，求 $a$ 的值．

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