2023-2024学年北师大版八年级数学上册单元测试第二章实数（B卷）

试卷更新日期：2023-08-22 类型：单元试卷

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一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）

1. 下列计算正确的是（）

A、 $\sqrt{2} + \sqrt{3} = \sqrt{5}$ B、 $\sqrt{8} - \sqrt{2} = 2$ C、 $\sqrt{3} \times \sqrt{6} = 2 \sqrt{3}$ D、 $\sqrt{27} \div \sqrt{3} = 3$

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2. 已知 $a = \sqrt{26} - 1$ ， a介于两个连续自然数之间，则下列结论正确的是（）

A、 $4 < a < 5$ B、 $3 < a < 4$ C、 $2 < a < 3$ D、 $5 < a < 6$

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3. 下列运算中，正确的是（）

A、 $\sqrt[3]{- 27} = 3$ B、 $\sqrt{18} = 3 \sqrt{2}$ C、 $\sqrt{{(- 2)}^{2}} = - 2$ D、 $\sqrt{4} = \pm 2$

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4. 5的算术平方根是（）

A、±5 B、25 C、 $\pm \sqrt{5}$ D、 $\sqrt{5}$

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5. 如图，数轴上 $M$ ， $N$ ， $P$ ， $Q$ 四点中，与 $2 - \sqrt{5}$ 对应的点距离最近的是（）

A、点 $M$ B、点 $N$ C、点 $P$ D、点 $Q$

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6. 下列计算错误的是（）

A、 $\sqrt{3} + \sqrt{2} = \sqrt{5}$ B、 $\sqrt{{(- 3)}^{2}} = 3$ C、 $\sqrt{3} \times \sqrt{2} = \sqrt{6}$ D、 $\sqrt{6} \div \sqrt{3} = \sqrt{2}$

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7. 如图，数轴上点P表示的数可能是（）

A、 $\sqrt{2}$ B、 $\sqrt{3}$ C、 $\sqrt{5}$ D、 $\sqrt{10}$

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8. 下列各式运算正确的是（）

A、 $\sqrt{2} + \sqrt{3} = \sqrt{5}$ B、 $\sqrt{(- 4) \cdot (- 9)} = \sqrt{- 4} \cdot \sqrt{- 9} = (- 2) \cdot (- 3) = 6$ C、 $（ 2 \sqrt{10} - \sqrt{5} ） \div \sqrt{5} = 2 \sqrt{2} - 1$ D、 $\sqrt{5^{2} - 4^{2}} = \sqrt{5^{2}} - \sqrt{4^{2}} = 1$

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9. “分母有理化”是我们常用的一种化简的方法，如： $\frac{2 + \sqrt{3}}{2 - \sqrt{3}} = \frac{(2 + \sqrt{3}) (2 + \sqrt{3})}{(2 - \sqrt{3}) (2 + \sqrt{3})} = 7 + 4 \sqrt{3}$ ，除此之外，我们也可以用平方之后再开方的方式来化简一些有特点的无理数，如：对于 $\sqrt{3 + \sqrt{5}} - \sqrt{3 - \sqrt{5}}$ ，设x= $\sqrt{3 + \sqrt{5}} - \sqrt{3 - \sqrt{5}}$ ，易知 $\sqrt{3 + \sqrt{5}}$ > $\sqrt{3 - \sqrt{5}}$ ，故x>0，由x²= ${(\sqrt{3 + \sqrt{5}} - \sqrt{3 - \sqrt{5}})}^{2}$ = $3 + \sqrt{5} + 3 - \sqrt{5} - 2 \sqrt{(3 + \sqrt{5}) (3 - \sqrt{5})}$ =2，解得x= $\sqrt{2}$ ，即 $\sqrt{3 + \sqrt{5}} - \sqrt{3 - \sqrt{5}} = \sqrt{2}$ 。根据以上方法，化简 $\frac{\sqrt{3} - \sqrt{2}}{\sqrt{3} + \sqrt{2}} + \sqrt{6 - 3 \sqrt{3}} - \sqrt{6 + 3 \sqrt{3}}$ 后的结果为（）

A、5+3 $\sqrt{6}$ B、5+ $\sqrt{6}$ C、5- $\sqrt{6}$ D、5-3 $\sqrt{6}$

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10. 实数a ， b ， c ， d在数轴上的对应点的位置如图所示.若 $b + d = 0$ ，则下列结论中正确的是（）

A、 $b + c > 0$ B、 $\frac{c}{a} > 1$ C、 $a d > b c$ D、 $| a | > | d |$

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二、填空题（共5小题，每小题3分，共15分）

11. ${(\frac{1}{2})}^{- 2} + π^{0} - {(- 1)}^{2022} =$ ．

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12. 已知实数 $a$ 在数轴上的位置如图所示，则化简 $| a - 1 | + \sqrt{a^{2}}$ 的结果是．

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13. 已知 $R t △ A B C$ 的三边长为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，且 $b$ 的两个平方根分别为 $2 a - 4$ 和 $1 - a$ ，则 $c$ 的值为．

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14. 已知m为正整数，若 $\sqrt{189 m}$ 是整数，则根据 $\sqrt{189 m} = \sqrt{3 \times 3 \times 3 \times 7 m} = 3 \sqrt{3 \times 7 m}$ 可知m有最小值 $3 \times 7 = 21$ ．设n为正整数，若 $\sqrt{\frac{200}{n}}$ 是大于1的整数，则n的最小值为．

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15. 在进行二次根式化简时，我们可以将 $\frac{2}{\sqrt{3} + 1}$ 进一步化简，如：
$\frac{2}{\sqrt{3} + 1}$ = $\frac{2 \times (\sqrt{3} - 1)}{(\sqrt{3} + 1) (\sqrt{3} - 1)}$ = $\frac{2 (\sqrt{3} - 1)}{(\sqrt{3})^{2} - 1^{2}}$ = $\sqrt{3} - 1$
则 $\frac{2}{1 + \sqrt{5}} + \frac{2}{\sqrt{5} + \sqrt{9}} + \frac{2}{\sqrt{9} + \sqrt{13}} + . . . + \frac{2}{\sqrt{4 n - 1} + \sqrt{4 n + 3}} =$ .

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三、解答题（第16题10分，第17-18题每题7分，第19-21每题9分，第22-23每题12分，满分75分）

16. 求下列各式中x的值．

(1)、 $x^{2} = \frac{9}{64}$ ；

(2)、 $2 {(x + 4)}^{3} + 128 = 0$ ；

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17. 已知实数 $a + 9$ 的一个平方根是 $- 5$ ， $2 b - a$ 的立方根是 $- 2$ ，求 $2 a + b$ 的算术平方根.

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18. 已知 $x = \frac{2}{\sqrt{3} + 1}$ ， $y = \frac{2}{\sqrt{3} - 1}$ ．

(1)、对x，y进行化简；

(2)、求 $x^{2} + x y + y^{2}$ 的值．

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19. 计算：

(1)、 $\sqrt{8} + | 1 - \sqrt{2} | - \sqrt[3]{- 8}$ .

(2)、已知A是 $\sqrt{10}$ 的整数部分，B是它的小数部分，求 ${(- A)}^{3} + B^{2}$ 的值.

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20. 从理论上讲，人眼能看清楚无限远处的物体，但受光线等外在条件和人的眼球本身的健康程度等影响，实际上无法做到．天气晴朗时，一个人能看到大海的最远距离s可用经验公式 $s^{2} = 17 h$ 来估计，其中h是眼睛离海平面的高度（公式中s的单位是千米，h的单位是米）．某游客站在海边一处观景台上，眼睛距离海平面的高度约为34米，他能看到大海的最远距离约是多少千米？（结果保留整数， $\sqrt{2} \approx 1.4$ ）

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21.

(1)、填空： $\sqrt{0.0001}$ ＝0.01， $\sqrt{0.01}$ ＝， $\sqrt{1}$ ＝1， $\sqrt{100}$ ＝10， $\sqrt{10000}$ ＝， …

(2)、观察上述求算术平方根的规律，并利用这个规律解决下列问题：
①已知 $\sqrt{10}$ ≈3.16，则 $\sqrt{1000}$ ≈；
②已知 $\sqrt{3.68}$ ≈1.918， $\sqrt{a}$ ≈191.8，则a＝．

(3)、根据上述探究过程类比一个数的立方根：已知 $\sqrt[3]{2}$ ≈1.26， $\sqrt[3]{m}$ ≈12.6，则m＝．

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22. 阅读下面的材料，解答后面所给出的问题：两个含二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，我们就说这两个代数式互为有理化因式．例如： $\sqrt{a}$ 与 $\sqrt{a}$ ， $\sqrt{2} + 1$ 与 $\sqrt{2} - 1$ ．

(1)、请你写出两个二次根式，使它们互为有理化因式：，这样化简一个分母含有二次根式的式子时，采用分母、分子同乘分母的有理化因式的方法就可以了．例如： $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3} - \sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2} (\sqrt{3} + \sqrt{2})}{(\sqrt{3} - \sqrt{2}) (\sqrt{3} + \sqrt{2})} = \frac{\sqrt{6} + 2}{3 - 2} = \sqrt{6} + 2$ ．

(2)、请仿照上述方法化简： $\frac{3}{\sqrt{5} - \sqrt{2}}$ ；

(3)、比较 $\frac{1}{\sqrt{3} - 1}$ 与 $\frac{1}{\sqrt{5} - \sqrt{3}}$ 的大小．

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23. 我们之前学习有理数时，知道两个数的乘积为1则这两个数互为倒数.在学习二次根式的过程中，小明研究发现有一些特殊的无理数之间具有互为倒数的关系.例如：由 $(\sqrt{2} + 1) (\sqrt{2} - 1) = 1$ ，可得 $\sqrt{2} + 1$ 与 $\sqrt{2} - 1$ 互为倒数，即 $\frac{1}{\sqrt{2} + 1} = \sqrt{2} - 1$ 或 $\frac{1}{\sqrt{2} - 1} = \sqrt{2} + 1$ ，类似地， $(\sqrt{3} + \sqrt{2}) (\sqrt{3} - \sqrt{2}) = 1$ ，可得 $\frac{1}{\sqrt{3} + \sqrt{2}} = \sqrt{3} - \sqrt{2}$ 或 $\frac{1}{\sqrt{3} - \sqrt{2}} = \sqrt{3} + \sqrt{2}$
根据小明发现的规律，解决下列问题：

(1)、 $\frac{1}{\sqrt{7} + \sqrt{6}} =$ ， $\frac{1}{\sqrt{n + 1} + \sqrt{n}} =$ $(n$ 为正整数）

(2)、若 $\frac{1}{2 \sqrt{3} + a} = 2 \sqrt{3} - a$ ，则 $a =$

(3)、求 $\frac{1}{\sqrt{2} + 1} + \frac{1}{\sqrt{3} + \sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{4} + \sqrt{3}} + ⋯ + \frac{1}{\sqrt{100} + \sqrt{99}}$ 的值.

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2023-2024学年北师大版八年级数学上册单元测试 第二章 实数（B卷）

一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）

二、填空题（共5小题，每小题3分，共15分）

三、解答题（第16题10分，第17-18题每题7分，第19-21每题9分，第22-23每题12分，满分75分）

2023-2024学年北师大版八年级数学上册单元测试第二章实数（B卷）