2023-2024学年北师大版八年级数学上册单元测试第二章实数（A卷）

试卷更新日期：2023-08-22 类型：单元试卷

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一、选择题（共10小题，每小题3跟，共30分）

1. 下列计算正确的是（）

A、 $\sqrt[3]{- 8} = 2$ B、 $\sqrt{{(- 3)}^{2}} = - 3$ C、 $\sqrt{4} = 2$ D、 $\pm \sqrt{9} = 3$

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2. 实数9的平方根是（）

A、3 B、±3 C、 $\pm \sqrt{3}$ D、81

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3. 下列命题是真命题的是（　　）

A、 $\sqrt{16}$ 的值是 $\pm 4$ B、 $- 64$ 没有立方根 C、 $\frac{22}{7}$ 是有理数 D、实数分为正实数、负实数

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4. 下列各数中，是无理数的为（）

A、 $π + 1$ B、 $\frac{22}{7}$ C、 $0.323$ D、 $\sqrt{4}$

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5. 下列式子中，属于最简二次根式的是（）

A、 $\sqrt{4}$ B、 $\sqrt{5}$ C、 $\sqrt{0.2}$ D、 $\sqrt{\frac{1}{3}}$

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6. 在如图所示的数轴上， $A 、 B$ 两点对应的实数分别是 $\sqrt{3}$ 和 $- 1$ ，点C到点A的距离与点B到点A的距离相等，则点C所对应的实数是（）

A、 $1 + \sqrt{3}$ B、 $2 + \sqrt{3}$ C、 $2 \sqrt{3} - 1$ D、 $2 \sqrt{3} + 1$

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7. 在 $\frac{22}{7}$ ， $\sqrt{4}$ ， 3.14， $- π$ ， 0， $\sqrt{5}$ ，这六个数中，无理数一共有（）.

A、2个 B、3个 C、4个 D、5个

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8. 下列命题中，真命题的是（）
①若 $\sqrt{{(x - 2)}^{2}} = 2 - x$ ，则 $x < 2$ ②两直线平行，同旁内角相等③若一组数据 $2 ， 4 ， x ， - 1$ 极差为 7 ，则 $x$ 的值是 6 或 $- 3$ .④已知点 $P (m ， n)$ 在一次函数 $y = - 2 x + 3$ 的图象上，则 $2 m + n - 1 = 2$

A、①③ B、②④ C、①② D、③④

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9. 下列式子正确的是（）

A、 $\sqrt{49} = \pm 7$ B、 ${(- \sqrt{3})}^{2} = - 3$ C、 $2 \sqrt{3} - \sqrt{3} = 2$ D、 $\sqrt{3} \times \sqrt{2} = \sqrt{6}$

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10. 下列运算正确的是（）

A、 $\sqrt{{(- 2)}^{2}} = \pm 2$ B、 $\sqrt{4 \frac{1}{9}} = 2 \frac{1}{3}$ C、 $3 \sqrt{2} \times 2 \sqrt{3} = 6 \sqrt{5}$ D、 $4 \sqrt{3} \div \sqrt{12} = 2$

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二、填空题（共5小题，每小题3分，共15分）

11. 若二次根式 $\sqrt{1 - x}$ 在实数范围有意义，则 $x$ 的取值范围是.

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12. 使二次根式 $\frac{\sqrt{x + 3}}{3}$ 有意义的x的取值范围是.

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13. 正方体的体积为 $27 c m^{3}$ ，则它的棱长为 $c m$ .

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14. 求值： $\sqrt{{(- \frac{1}{3})}^{2}} =$ ．

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15. 计算 $\sqrt[3]{- \frac{8}{27}}$ 的结果等于.

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三、解答题（第16题10分，第17-18题每题7分，第19-21每题9分，第22-23每题12分，满分75分）

16. 已知 $a$ ， $b$ 两数在数轴上的表示如图所示，化简： $\sqrt{{(a + 2)}^{2}} - \sqrt{{(b - 2)}^{2}} + \sqrt{{(a + b)}^{2}}$ .

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17. 已知2a﹣1的平方根是±3，3a+b﹣1的算术平方根是4，求a+2b的值．

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18. 已知实数 $a + 9$ 的一个平方根是-5， $2 b - a$ 的立方根是-2，求 $2 a + b$ 的算术平方根.

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19. 先化简： $\frac{a \sqrt{b} + b \sqrt{a}}{\sqrt{a} + \sqrt{b}} \cdot \sqrt{a b}$ ，再求当 $a = \frac{1}{\sqrt{2} + 1}$ ， $b = \frac{1}{\sqrt{2} - 1}$ 时的值．

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20. 已知： $3 a + 1$ 的立方根是 $- 2 ， 3 \cdot 3^{b} \cdot 3^{2 b} = 81$ ， c是 $\sqrt{23}$ 的整数部分.

(1)、求a，b，c的值；

(2)、求 $2 a - b + 2 c$ 的平方根.

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21. 观察下列一组等式，解答问题：
$(\sqrt{2} + 1) (\sqrt{2} - 1) = 1$ ，
$(\sqrt{3} + \sqrt{2}) (\sqrt{3} - \sqrt{2}) = 1$ ，
$(\sqrt{4} + \sqrt{3}) (\sqrt{4} - \sqrt{3}) = 1$ ，
$(\sqrt{5} + \sqrt{4}) (\sqrt{5} - \sqrt{4}) = 1$ ，
…

(1)、第5个式子是，第n个式子是；

(2)、根据上面的规律，计算下列式子的值．
$(\frac{1}{\sqrt{2} + 1} + \frac{1}{\sqrt{3} + \sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{4} + \sqrt{3}} + ⋯ + \frac{1}{\sqrt{2022} + \sqrt{2021}}) (\sqrt{2022} + 1)$

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22. 小明在解决问题：已知 $a = \frac{1}{2 + \sqrt{3}}$ ，求 $2 a^{2} - 8 a + 1$ 的值，他是这样分析与解答的：
$∵ a = \frac{1}{2 + \sqrt{3}} = \frac{2 - \sqrt{3}}{(2 + \sqrt{3}) (2 - \sqrt{3})} = 2 - \sqrt{3}$ ，
$∴ a = 2 - \sqrt{3}$ ，
$∴ a - 2 = - \sqrt{3}$ ，
$∴ (a - 2)^{2} = 3$ ，
$∴ a^{2} - 4 a + 4 = 3$ ， $∴ a^{2} - 4 a = - 1$ ，
$∴ 2 a^{2} - 8 a + 1 = 2 (a^{2} - 4 a) + 1 = 2 \times (- 1) + 1 = - 1$ ．
请你认真审视小明的解答过程，根据他的做法解决下列问题：

(1)、计算 $\frac{1}{\sqrt{n + 1} + \sqrt{n}} =$ ；

(2)、计算 $\frac{1}{\sqrt{2} + 1} + \frac{1}{\sqrt{3} + \sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{4} + \sqrt{3}} + \dots + \frac{1}{\sqrt{2020} + \sqrt{2019}}$ （写出计算过程）；

(3)、如果 $a = \frac{1}{\sqrt{5} - 2}$ ，求 $2 a^{2} - 8 a + 1$ 的值．

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23. 阅读下列材料：
因为 $\sqrt{1} < \sqrt{3} < \sqrt{4}$ ，即 $1 < \sqrt{3} < 2$ ，
所以 $\sqrt{3}$ 的整数部分为1，小数部分为 $\sqrt{3} - 1$ ．
请根据材料提示，进行解答：

(1)、 $\sqrt{14}$ 的整数部分是，小数部分是；

(2)、如果 $\sqrt{6}$ 的小数部分为m， $\sqrt{21}$ 的整数部分为n，求 $2 m + n - 2 \sqrt{6}$ 的值；

(3)、已知 $10 - \sqrt{32} = a + b$ ，其中a是整数，且 $0 < b < 1$ ，请直接写出a，b的值．

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2023-2024学年北师大版八年级数学上册单元测试 第二章 实数（A卷）

一、选择题（共10小题，每小题3跟，共30分）

二、填空题（共5小题，每小题3分，共15分）

三、解答题（第16题10分，第17-18题每题7分，第19-21每题9分，第22-23每题12分，满分75分）

2023-2024学年北师大版八年级数学上册单元测试第二章实数（A卷）