2023-2024学年北师大版八年级数学上册单元测试第一章勾股定理（B卷）

试卷更新日期：2023-08-22 类型：单元试卷

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一、选择题（共10小题，每小题3跟，共30分）

1. 将直角三角形的三条边长做如下变化，得到的新三角形仍是直角三角形的是（）

A、同加一个相同的数 B、同减一个相同的数 C、同乘以一个相同的正整数 D、同时平方

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2. 如图是高空秋千的示意图，小明从起始位置点A处绕着点O经过最低点B，最终荡到最高点C处，若 $∠ A O C = 90 °$ ，点A与点B的高度差AD＝1米，水平距离BD＝4米，则点C与点B的高度差CE为（）

A、4米 B、4.5米 C、5米 D、5.5米

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3. 在 $△ A B C$ 中， $∠ A ， ∠ B ， ∠ C$ 的对边分别为 $a 、 b 、 c$ ，下列所给数据中，能判断 $△ A B C$ 是直角三角形的是（）

A、 $a = 3^{2} ， b = 4^{2} ， c = 5^{2}$ B、 $a^{2} - b^{2} = c^{2}$ C、 $∠ A = 2 ∠ B = 3 ∠ C$ D、 $∠ A ∶ ∠ B ∶ ∠ C = 2 ∶ 5 ∶ 2$

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4. △ABC的三条边分别为a，b，c，下列条件不能判断△ABC是直角三角形的是（）

A、a²＋b²＝c² B、∠A＝∠B＋∠C C、∠A∶∠B∶∠C＝3∶4∶5 D、a＝5，b＝12，c＝13

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5. 如图，长方形纸片ABCD中，AD＝4，AB＝10，按如图的方式折叠，使点B与点D重合，折痕为EF，则DE长为（）

A、4.8 B、5 C、5.8 D、6

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6. 在等腰 $△ A B C$ 中， $A B = A C = 5$ ， $B C = 2 \sqrt{13}$ ，则底边上的高为（）

A、12 B、 $2 \sqrt{3}$ C、 $3 \sqrt{2}$ D、18

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7. 如图所示，已知 $△ ABC$ 中， $AB = 6$ ， $AC = 9$ ， $AD ⊥ BC$ 于 $D$ ， $M$ 为 $AD$ 上任一点，则 ${MC}^{2} - {MB}^{2}$ 等于（）

A、9 B、35 C、45 D、无法计算

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8. 《九章算术》中记录了这样一则“折竹抵地”问题：今有竹高一丈，末折抵地，去本四尺，问折者高几何？意思是：一根竹子，原高一丈，一阵风将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离竹子底部4尺远（如图），则折断后的竹子高度为多少尺？（1丈=10尺）如果我们假设折断后的竹子高度为 $x$ 尺，根据题意，可列方程为（　　）

A、 $x^{2} + 4^{2} = 1 0^{2}$ B、 ${(10 - x)}^{2} + 4^{2} = 1 0^{2}$ C、 ${(10 - x)}^{2} + 4^{2} = x^{2}$ D、 $x^{2} + 4^{2} = {(10 - x)}^{2}$

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9. 如图，在 $△ A B C$ 中， $∠ A B C = 90 °$ ， $B D ⊥ A C$ 于点D，E是 $A C$ 上一点，且 $D E = D A$ ，若 $A B = 15$ ， $B C = 20$ ，则 $E C$ 的长为（）

A、 $6$ B、 $7$ C、 $8$ D、 $9$

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10. 勾股定理是人类早期发现并证明的重要数学定理之一，是用代数思想解决几何问题的最重要的工具之一，也是数形结合的纽带之一．它不但因证明方法层出不穷吸引着人们，更因为应用广泛而使人入迷．如图，秋千静止时，踏板离地的垂直高度 $B E = 1 m$ ，将它往前推 $6 m$ 至 $C$ 处时（即水平距离 $C D = 6 m$ ），踏板离地的垂直高度 $C F = 4 m$ ，它的绳索始终拉直，则绳索 $A C$ 的长是（） $m$

A、 $\frac{21}{2}$ B、 $\frac{15}{2}$ C、6 D、 $\frac{9}{2}$

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二、填空题（共5小题，每小题3分，共15分）

11. 如图，在Rt△ABC中，AC＝4，AB＝5，∠C＝90°，BD平分∠ABC交AC于点D，则BD的长是.

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12. 如图，在长方形纸片 $A B C D$ 中， $A D = 8$ ， $A B = 10$ ，点M为 $B C$ 上一点，将 $△ C D M$ 沿 $D M$ 翻至 $△ E D M$ ， $E M$ 交 $A B$ 于点G， $E D$ 交 $A B$ 于点F，且 $B G = E G$ ，则 $C M$ 的长度是.

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13. 如图，有一张直角三角形的纸片， $∠ A C B = 90 ° ， A B = 5 ， A C = 3$ .现将三角形折叠，使得边 $A C$ 与 $A B$ 重合，折痕为 $A E$ .则 $C E$ 长为.

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14. 如图，一架梯子AB长5米，底端离墙的距离BC为3米，当梯子下滑到DE时， $A D = 1$ 米，则BE＝米.

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15. 如图，在离水面高度为8米的岸上，有人用绳子拉船靠岸，开始时绳子BC的长为17米，几分钟后船到达点D的位置，此时绳子CD的长为10米，问船向岸边移动了米.

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三、解答题（第16题10分，第17-18题每题7分，第19-21每题9分，第22-23每题12分，满分75分）

16. 在5×5的正方形网格中，点A，点B均在格点上，连结AB，请根据要求完成下列作图：

(1)、在图1中找一个格点C，使得△ABC是直角三角形．

(2)、在图2中找一个格点D，使得△ABD是三个内角都是锐角的等腰三角形．

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17. 如图，笔直的公路上A、B两点相距25km，C、D为两村庄，DA⊥AB于点A，CB⊥AB于点B，已知DA＝15km，CB＝10km，现在要在公路的AB段上建一个土特产品收购站E，使得C、D两村到收购站E的距离相等，则收购站E应建在离A点多远处？

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18. 某地一楼房发生火灾，消防队员决定用消防车上的云梯救人如图（1）.如图（2），已知云梯最多只能伸长到 $15 m$ （即 $A B = C D = 15 m$ ），消防车高 $3 m$ ，救人时云梯伸长至最长，在完成从 $12 m$ （即 $B E = 12 m$ ）高的 $B$ 处救人后，还要从 $15 m$ （即 $D E = 15 m$ ）高的 $D$ 处救人，这时消防车从 $A$ 处向着火的楼房靠近的距离 $A C$ 为多少米？（延长 $A C$ 交 $D E$ 于点 $O$ ， $A O ⊥ D E$ ，点 $B$ 在 $D E$ 上， $O E$ 的长即为消防车的高 $3 m$ ）

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19. 如图，在 $R t △ A B C$ 中， $∠ B = 90 °$ ， $A D$ 平分 $∠ B A C$ 交 $B C$ 于点D，作 $D E ⊥ A C$ 于点E.

(1)、若 $A D = C D$ ，求 $∠ C$ 的度数；

(2)、若 $A B = 3$ ， $A C = 5$ ，求 $△ A C D$ 的面积.

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20. 如图，在笔直的公路AB旁有一座山，为方便运输货物现要从公路AB上的D处开凿隧道修通一条公路到C处，已知点C与公路上的停靠站A的距离为15km，与公路上另一停靠站B的距离为20km，停靠站A、B之间的距离为25km，且CD⊥AB ．

(1)、求修建的公路CD的长；

(2)、若公路CD修通后，一辆货车从C处经过D点到B处的路程是多少？

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21. 定义：如图，点M，N把线段AB分割成AM，MN，NB，若以AM，MN，NB为边的三角形是一个直角三角形，则称点M，N是线段AB的勾股分割点．

(1)、已知M，N把线段AB分割成AM，MN，NB，若AM= 1，MN=2，BN= $\sqrt{3}$ ，则点M，N是线段AB的勾股分割点吗？请说明理由．

(2)、已知点M，N是线段AB的勾股分割点，且AM为直角边，若AB=12，AM=5，求BN的长．

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22. 在△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°. 过点A作直线AP，点C关于直线AP的对称点为点D，连接BD，CD，直线BD交直线AP于点E.

(1)、依题意补全图1；

(2)、在图1中，若∠PAC=30°，求∠ABD的度数；

(3)、若直线AP旋转到如图2所示的位置，请用等式表示线段EB，ED，BC之间的数量关系，并证明.

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23.

(1)、观察猜想，如图①点B、A、C在同一条直线上，DB⊥BC，EC⊥BC且∠DAE＝90°，AD＝AE，则BC、BD、CE之间的数量关系为；

(2)、问题解决，如图②，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，CB＝6，AB＝3，以AC为直角边向外作等腰Rt△DAC，连结BD，求BD的长；

(3)、拓展延伸，如图③，在四边形ABCD中，∠ABC＝∠ADC＝90°，CB＝6，AB＝3，DC＝DA，请直接写出BD的长.

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2023-2024学年北师大版八年级数学上册单元测试 第一章 勾股定理 （B卷）

一、选择题（共10小题，每小题3跟，共30分）

二、填空题（共5小题，每小题3分，共15分）

三、解答题（第16题10分，第17-18题每题7分，第19-21每题9分，第22-23每题12分，满分75分）

2023-2024学年北师大版八年级数学上册单元测试第一章勾股定理（B卷）