2023年浙教版数学九年级上册4.6相似多边形同步测试（培优版）

试卷更新日期：2023-08-20 类型：同步测试

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一、选择题

1. 如图，在平行四边形 $F B C E$ 中，点 $J ， G$ 分别在边 $B C ， E F$ 上， $J G ∥ B F$ ，四边形 $A B C D ∼$ 四边形 $H G F A$ ，相似比 $k = 3$ ，则下列一定能求出 $△ B I J$ 面积的条件（）

A、四边形 $H D E G$ 和四边形 $A H G F$ 的面积之差 B、四边形 $A B C D$ 和四边形 $H D E G$ 的面积之差 C、四边形 $A B C D$ 和四边形 $A D E F$ 的面积之差 D、四边形 $J C D H$ 和四边形 $H D E G$ 的面积之差

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2. 一个大矩形按如图方式分割成五个小矩形后仍是中心对称图形，且矩形 $A B C D \sim$ 矩形 $B E F G$ .设矩形 $A B C D$ 与矩形 $A H I E$ 的面积分别为m和n，则这个大矩形的面积一定可以表示为（）

A、 $4 m$ B、 $2 m + 3 n$ C、 $m + 3 n$ D、 $3 m + n$

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3. 矩形相邻的两边长分别为25和 $x (x < 25)$ ，把它按如图所示的方式分割成五个全等的小矩形，每一个小矩形均与原矩形相似，则 $x$ 的值为（）

A、5 B、 $5 \sqrt{5}$ C、 $5 \sqrt{10}$ D、10

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4. $▱$ ABCD被分别平行于两边的四条线段EJ、FI、LG、KH分割成9个小平行四边形，面积分别为S_1-9 ，已知 $▱$ ALME∽ $▱$ PICH∽ $▱$ ABCD.若知道S_1-9中的n个，就一定能算出平行四边形ABCD的面积，则n的最小值是（）.

A、2 B、3 C、4 D、6

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5. 如图，矩形ABCD被分割成4个小矩形，其中矩形AEPH~矩形HDFP~矩形PEBG， $A E > A H$ ， AC交HG，EF于点M，Q，若要求 $△ A P Q$ 的而积，需知道下列哪两个图形的面积之差（）

A、矩形AEPH和矩形PEBG B、矩形HDFP和矩形AEPH C、矩形HDFP和矩形PEBG D、矩形HDFP和矩形PGCF

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6. 甲：将边长为3、4、5的三角形按图1的方式向外扩张，得到新三角形，它们的对应边间距为1，则新三角形与原三角形相似．
乙：将邻边为3和5的矩形按图2的方式向外扩张，得到新的矩形，它们的对应边间距均为1，则新矩形与原矩形相似．

对于两人的观点，下列说法正确的是（）

A、两人都对 B、两人都不对 C、甲对，乙不对 D、甲不对，乙对

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7. 将一张 $▱ A B C D$ （ $A D < A B < 2 A D$ ）纸片，以它的一边为边长剪去一个菱形，将余下的平行四边形中，再以它的一边为边长剪去一个菱形，若剪去两个菱形后所剩下的平行四边形与原来 $▱ A B C D$ 相似，则 $▱ A B C D$ 的相邻两边 $A D$ 与 $A B$ 的比值是（）

A、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ B、 $\frac{\sqrt{5} - 1}{2}$ C、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ 或 $\frac{\sqrt{5} - 1}{2}$ D、 $\sqrt{2} - 1$ 或 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ 或 $\frac{\sqrt{5} - 1}{2}$

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8. 如图，E，F，G，H分别是矩形 $A B C D$ 四条边上的点，连接 $E F ， G H$ 相交于点I，且 $G H ∥ A D$ ， $E F ∥ A B$ ，矩形 $B F I G ∽$ 矩形 $E I H D$ ，连接 $A C$ 交 $G H ， E F$ 于点P，Q，下列一定能求出 $△ D P Q$ 面积的条件是（）

A、矩形 $B F I G$ 和矩形 $E I H D$ 的面积之差 B、矩形 $A B C D$ 与矩形 $B F I G$ 的面积之差 C、矩形 $B F I G$ 和矩形 $F C H I$ 的面积之差 D、矩形 $B F I G$ 和矩形 $E I G A$ 的面积之差

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9. 如图，点P是平行四边形 $A B C D$ 内部一点，过P分别作 $A B$ 和 $B C$ 的平行线交平行四边形 $A B C D$ 的四边于 $E ， F ， G ， H$ . 连结 $A C$ 分别交 $E G ， F H$ 于M和N. 若四边形 $F B G P ~$ 四边形 $E P H D$ ，且四边形 $F B C H$ 的面积是四边形 $A F P \overset{'}{E}$ 的3倍. 下列选项正确的是（　　）

A、 $E P = P H$ B、 $A N = E P$ C、 $A N = 2 M N$ D、 $A M = 2 C M$

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10. 如图，菱形ABCD沿对角线AC的方向平移到菱形A'B′C′D′的位置，点A′恰好是AC的中点.若菱形ABCD的边长为2，∠BCD＝60°，则阴影部分的面积为（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ C、1 D、 $\sqrt{3}$

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二、填空题

11. 如图，在菱形 $A B C D$ 中， $∠ A B C = 60 ° ， A B = a$ ，点E、F是对角线 $B D$ 上的点（点E、F不与B、D重合），分别连接 $A E 、 E C 、 A F 、 C F ，$ 若四边形 $A E C F$ 是菱形，且与菱形 $A B C D$ 是相似菱形，那么菱形 $A E C F$ 的边长是．（用a的代数式表示）．

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12. 小颖在一本书上看到一个风筝模型，形状如图所示，其中对角线 $A C ⊥ B D$ ，并且两条对角线长分别为 $10cm$ 和 $12cm$ .现在小颖照着模型按照1：3的比例放大制作一个大风筝，制作风筝需要彩色纸覆盖，而彩色纸是从一张刚好覆盖整个风筝的矩形彩色纸（如图中虚线所示）裁剪下来的，那么从四个角裁剪下来废弃不用的彩色纸的面积是 ${cm}^{2}$ .

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13. 如图，在四边形ABCD中，AB = 5，∠A = ∠B = 90°，O为AB中点，过点O作OM⊥CD于点M.E是AB上的一个动点（不与点A，B重合），连接CE，DE，若∠CED = 90°且 $\frac{C E}{D E}$ = $\frac{4}{3}$ .现给出以下结论：

（1）△ADE与△BEC一定相似；（2）以点O为圆心，OA长为半径作⊙O，则⊙O与CD可能相离；（3）OM的最大值是 $\frac{5}{2}$ ；（4）当OM最大时，CD = $\frac{125}{24}$ .其中正确的是 .（写出所有正确结论的序号）

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14. 如图，把矩形Ⅰ、一个小正方形和由大小相同的四个正方形组成的 L 型放入矩形 ABCD 中.矩形Ⅰ的一个顶点落在 L 型中正方形的顶点 E 处，其他顶点在矩形 ABCD 的边上； L 型中的正方形有三个顶点恰好在矩形 ABCD 的边上，另有一个顶点和小正方形顶点合.若矩形Ⅰ与矩形 ABCD相似，则 AB：BC 的值为.

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15. 如图所示，复印纸的型号有A₀ ， A₁ ， A₂ ， A₃ ， A₄等，它们之间存在着这样一种关系：将其中某一型号（如A₃）的复印纸沿较长边的中点对折，就能得到两张下一型号（A₄）的复印纸，且得到的两个矩形都和原来的矩形相似，那么这些型号的复印纸的长、宽之比为．

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16. 如图，正六边形A₁B₁C₁D₁E₁F₁的边长为1，它的6条对角线围成一个正六边形A₂B₂C₂D₂E₂F₂；正六边形A₂B₂C₂D₂E₂F₂的6条对角线又围成一个正六边形A₃B₃C₃D₃E₃F₃…；如此继续下去，则六边形A₄B₄C₄D₄E₄F₄的面积是.

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三、综合题

17. 若矩形的一个短边与长边的比值为 $\frac{\sqrt{5} - 1}{2}$ ，（黄金分割数），我们把这样的矩形叫做黄金矩形

(1)、操作：请你在如图所示的黄金矩形ABCD（AB＞AD）中，以短边AD为一边作正方形AEFD．

(2)、探究：在（1）中的四边形EBCF是不是黄金矩形？若是，请予以证明；若不是，请说明理由．

(3)、归纳：通过上述操作及探究，请概括出具体有一般性的结论（不需证明）

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18. 如图，在直角坐标中，矩形 $O A B C$ 的顶点O与坐标原点重合，顶点A、C分别在x轴和y轴上，点B的坐标为 $(2 ， 3)$ ，反比例函数 $y = \frac{k}{x}$ 是的图象经过 $B C$ 的中点D，且与 $A B$ 交于点E，连接 $D E$ ．

(1)、求k的值及点E的坐标；

(2)、若点F是 $O C$ 边上一点，且 $△ F B C ∽ △ D E B$ ，求直线 $F B$ 的解析式．

(3)、若点P在y轴上，且 $△ O P D$ 的面积与四边形 $B D O E$ 的面积相等，求点P的坐标．

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19. 根据相似多边形的定义，我们把四个角分别相等，四条边成比例的两个凸四边形叫做相似四边形．相似四边形对应边的比叫做相似比．

(1)、某同学在探究相似四边形的判定时，得到如下三个命题，请判断它们是否正确（直接在横线上填写“真”或“假”）．
①条边成比例的两个凸四边形相似；（命题）

②三个角分别相等的两个凸四边形相似；（命题）

③两个大小不同的正方形相似．（命题）

(2)、如图1，在四边形ABCD和四边形A₁B₁C₁D₁中，∠ABC＝∠A₁B₁C₁ ， ∠BCD＝∠B₁C₁D₁ ， $\frac{A B}{A_{1} B_{1}} = \frac{B C}{B_{1} C_{1}} = \frac{C D}{C_{1} D_{1}}$ ，求证：四边形ABCD与四边形A₁B₁C₁D₁相似．

(3)、如图2，四边形ABCD中，AB∥CD ， AC与BD相交于点O ，过点O作EF∥AB分别交AD ， BC于点E ， F ．记四边形ABFE的面积为S₁ ，四边形EFDE的面积为S₂ ，若四边形ABFE与四边形EFCD相似，求 $\frac{S_{2}}{S_{1}}$ 的值．

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20. 探究：是否存在一个新矩形，使其周长和面积为原矩形的2倍、 $\frac{1}{2}$ 倍、k倍．

(1)、若该矩形为正方形，是否存在一个正方形，使其周长和面积都为边长为2的正方形的2倍？（填“存在”或“不存在”）．

(2)、继续探究，是否存在一个矩形，使其周长和面积都为长为3，宽为2的矩形的2倍？
同学们有以下思路：

①设新矩形长和宽为x、y ，则依题意 $x + y = 10$ ， $x y = 12$ ，

联立 ${\begin{array}{l} x + y = 10 \\ x y = 12 \end{array}$ 得 $x^{2} - 10 x + 12 = 0$ ，再探究根的情况：

根据此方法，请你探究是否存在一个矩形，使其周长和面积都为原矩形的 $\frac{1}{2}$ 倍；

②如图也可用反比例函数与一次函数证明 $l_{1}$ ： $y = - x + 10$ ， $l_{2}$ ： $y = \frac{12}{x}$ ，那么，

a ．是否存在一个新矩形为原矩形周长和面积的2倍？

b ．请探究是否有一新矩形周长和面积为原矩形的 $\frac{1}{2}$ ，若存在，用图像表达；

c ．请直接写出当结论成立时k的取值范围：．

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21. 学完“探索三角形相似的条件”之后，小明所在的学习小组尝试探索四边形相似的条件，以下是他们的思考，请你和他们一起完成探究过程.
（定义）四边成比例，且四角分别相等的两个四边形叫做相似四边形.

(1)、（初步思考）
小明根据探索三角形相似的条件所获得的经验，考虑可以从定义出发逐步弱化条件探究四边形相似的条件.他考虑到“四角分别相等的两个四边形相似”可以举出反例“矩形”，“四边成比例的两个四边形相似”可以举出反例.所以四边形相似的条件必须再添加条件，于是，可以从“四边成比例，且一角对应相等的两个四边形相似”，“三边成比例，且两角分别相等的两个四边形相似”，“两边成比例，且三角分别相等的两个四边形相似”来探究.

(2)、（深入探究）
学习小组一致认为，“四边成比例，且一角对应相等的两个四边形相似”是真命题，请结合图形完成证明.

已知：四边形 $A B C D$ 和四边形 $A^{'} B^{'} C^{'} D^{'}$ 中， $\frac{A B}{A^{'} B^{'}} = \frac{B C}{B^{'} C^{'}} = \frac{C D}{C^{'} D^{'}} = \frac{A D}{A^{'} D^{'}}$ ， $∠ A = ∠ A^{'}$ .

求证：四边形 $A B C D ∽$ 四边形 $A^{'} B^{'} C^{'} D^{'}$ .证明：

(3)、对于“三边成比例，且两角分别相等的两个四边形相似”，学习小组得到如下的四个命题：
①“三边成比例，两邻角分别相等且只有一角为其中两边的夹角的两个四边形相似”；

②“三边成比例，两邻角分别相等且都不是其中两边的夹角的两个四边形相似”；

③“三边成比例及其两夹角分别相等的两个四边形相似”；

④“三边成比例，两对角分别相等的两个四边形相似”.

其中真命题是.（填写所有真命题的序号）

(4)、请你完成“两边成比例，且三角分别相等的两个四边形相似”的探究过程.

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22. 阅读下列材料，完成任务：
自相似图形
定义：若某个图形可分割为若干个都与它相似的图形，则称这个图形是自相似图形．例如：正方形ABCD中，点E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA边的中点，连接EG，HF交于点O，易知分割成的四个四边形AEOH、EBFO、OFCG、HOGD均为正方形，且与原正方形相似，故正方形是自相似图形．
任务：

(1)、图1中正方形ABCD分割成的四个小正方形中，每个正方形与原正方形的相似比为；

(2)、如图2，已知△ABC中，∠ACB=90°，AC=4，BC=3，小明发现△ABC也是“自相似图形”，他的思路是：过点C作CD⊥AB于点D，则CD将△ABC分割成2个与它自己相似的小直角三角形．已知△ACD∽△ABC，则△ACD与△ABC的相似比为；

(3)、现有一个矩形ABCD是自相似图形，其中长AD=a，宽AB=b（a＞b）．
请从下列A、B两题中任选一条作答．
A：①如图3﹣1，若将矩形ABCD纵向分割成两个全等矩形，且与原矩形都相似，则a=（用含b的式子表示）；
②如图3﹣2若将矩形ABCD纵向分割成n个全等矩形，且与原矩形都相似，则a=（用含n，b的式子表示）；
B：①如图4﹣1，若将矩形ABCD先纵向分割出2个全等矩形，再将剩余的部分横向分割成3个全等矩形，且分割得到的矩形与原矩形都相似，则a=（用含b的式子表示）；
②如图4﹣2，若将矩形ABCD先纵向分割出m个全等矩形，再将剩余的部分横向分割成n个全等矩形，且分割得到的矩形与原矩形都相似，则a=（用含m，n，b的式子表示）．

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2023年浙教版数学九年级上册4.6相似多边形 同步测试（培优版）

一、选择题

二、填空题

三、综合题

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