2023年浙教版数学九年级上册4.5相似三角形的性质与应用同步测试（培优版）

试卷更新日期：2023-08-20 类型：同步测试

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一、选择题（每题3分，共30分）

1. 一个三角形框架模型的三边长分别为20厘米、30厘米、40厘米，木工要以一根长为60厘米的木条为一边，做一个与模型三角形相似的三角形，那么另两条边的木条长度不符合条件的是（）

A、30厘米、45厘米； B、40厘米、80厘米； C、80厘米、120厘米； D、90厘米、120厘米

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2. 如图，小红利用小孔成像原理制作了一个成像装置，他在距离纸筒 $50 c m$ 处准备了一支蜡烛，蜡烛长为 $15 c m$ ，纸筒的长度为 $10 c m$ ，则这支蜡烛所成像的高度为（）

A、 $2.5 c m$ B、 $3 c m$ C、 $3.75 c m$ D、 $5 c m$

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3. 如图是一个由A、B、C三种相似的直角三角形纸片拼成的矩形，A、B、C的纸片的面积分别为S₁、S₂、S₃ ，（S₁与S₂ ， S₂与S₃的相似比相同），相邻纸片之间互不重叠也无缝隙，若S₁＞S₂＞S₃ ，则这个矩形的面积一定可以表示为（）

A、4S₁ B、6S₂ C、4S₂+3S₃ D、3S₁+4S₃

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4. 如图，在矩形 $A B C D$ 中， $E$ ， $F$ 分别为 $B C$ ， $C D$ 的中点，线段 $A E$ ， $A F$ 与对角线 $B D$ 分别交于点 $G$ .设矩形 $A B C D$ 的面积为 $S$ ，则下列结论错误的是（）

A、 $A G ： G E = 2 ： 1$ B、 $B G ： G H ： H D = 1 ： 1 ： 1$ C、 $S_{1} + S_{2} + S_{3} = \frac{1}{3} S$ D、 $S_{2} ： S_{4} ： S_{6} = 1 ： 3 ： 4$

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5. 如图， $O$ 是 $△ A B C$ 的重心，过 $O$ 的一条直线分别与AB、AC相交于G、H（均不与 $△ A B C$ 的顶点重合）， $S_{四边形 B C H G}$ ， $S_{△ A G H}$ 分别表示四边形 $B C H G$ 和 $△ A G H$ 的面积，则 $\frac{S_{四边形 B C H G}}{S_{△ A G H}}$ 的最大值是（）

A、 $\frac{5}{4}$ B、1 C、 $\frac{3}{2}$ D、 $\frac{2}{3}$

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6. 如图，H是△ABC的重心，延长AH交BC于D，延长BH交AC于M，E是DC上一点，且DE∶EC＝5∶2，连结AE交BM于G，则BH∶HG∶GM等于（）

A、7∶5∶2 B、13∶5∶2 C、5∶3∶1 D、26∶10∶3

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7. 如图， $E$ ， $F$ ， $G$ ， $H$ 分别是矩形 $A B C D$ 四条边上的点，连接 $E F$ ， $G H$ 相交于点 $I$ ，且 $G H ∥ A D$ ， $E F ∥ A B$ ，矩形 $B F I G ∼$ 矩形 $E I H D$ ，连接 $A C$ 交 $G H$ ， $E F$ 于点 $P$ ， $Q$ ，下列一定能求出 $△ D P Q$ 面积的条件是（）

A、矩形 $B F I G$ 和矩形 $E I H D$ 的面积之差 B、矩形 $A B C D$ 与矩形 $B F I G$ 的面积之差 C、矩形 $B F I G$ 和矩形 $F C H I$ 的面积之差 D、矩形 $B F I G$ 和矩形 $E I G A$ 的面积之差

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8. 如图，在矩形 $A B C D$ 中，过点 $A$ 作对角线 $B D$ 的垂线并延长，与 $D C$ 的延长线交于点 $E$ ，与 $B C$ 交于点 $F$ ，垂足为点 $G$ ，连接 $C G$ ，且 $C D = C F$ ，则下列结论正确的有（）个：① $C E = A D$ ；② $∠ D G C = ∠ B F G$ ；③ $C F^{2} = B F \cdot B C$ ；④ $B G = G E - \sqrt{2} C G$

A、1 B、2 C、3 D、4

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9. 如图，在正方形ABCD中，点E是边BC上一点，且 $A B = 3 B E$ ．过点B作 $B F ⊥ A E$ ，交边CD于点F．以C为圆心，CF长为半径画圆，交边BC于点G，连接DG，交BF于点H．则 $D H ： H G =$ （）

A、10：3 B、3：1 C、8：3 D、5：3

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10. 由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成的大正方形ABCD如图所示．点P，Q分别为AB，GH的中点，若PQ恰好经过点F，则 $\frac{A B}{E F}$ 的值为（）

A、 $\frac{4 \sqrt{5}}{3}$ B、3 C、 $\sqrt{13}$ D、4

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二、填空题（每空3分，共18分）

11. 如图，⊙O是△ABC的外接圆，已知AD平分∠BAC交⊙O于点D，交BC于点E，若BD=6，AE=5，AB=7，则AC=.

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12. 如图，在 $Δ A B C$ 中， $A C = B C = 5$ ， $A B = 6$ ，点D为AC上一点，作 $D E / / A B$ 交BC于点E ，点C关于DE的对称点为点O ，以OA为半径作⊙O恰好经过点C ，并交直线DE于点M ， N则MN的值为．

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13. 如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝3，点D是AB边上一点（不与A、B重合），若过点D的直线截得的三角形与△ABC相似，并且平分△ABC的周长，则AD的长为．

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14. 如图， $E 、 F$ 为 $Δ A B C$ 的 $B C$ 边上的点、且 $B E ： E F ： F C = 1 ： 2 ： 3$ ，中线 $B D$ 被 $A E 、 A F$ 截得的三线段为 $x ， y ， z$ ，则 $x ： y ： z =$

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15. 如图，面积为4的正方形 $A B C D$ 中， $E F G H$ 分别是各边的中点，将一边两端点分别和对边中点连结，所得阴影部分为各边相等的八边形，则八边形每条边的长度是.

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16. 某户外遮阳棚如图1，其截面结构示意图如图2所示.支撑柱AB上地面，AB=120 $\sqrt{5}$ cm，Р是支撑柱AB上一动点，伞杆CP可绕着中点E旋转，CD=CP=40 $\sqrt{15}$ cm，斜拉杆AE可绕点A旋转，AE= $\frac{1}{2}$ CP．若∠APE=30°，则BP=cm；伞展开长 PD==300cm，若A，C，D在同一条直线上，某时太阳光线恰好与地面垂直，则PD落到地面的阴影长为cm.

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三、解答题（共9题，共72分）

17. 如图1，长、宽均为3cm，高为8cm的长方体容器，放置在水平桌面上，里面盛有水，水面高为6cm，绕底面一棱进行旋转倾斜后，水面恰好触到容器口边缘，图2是此时的示意图，将这个情景转化成几何图形，如图3所示．

(1)、利用图1、图2所示水的体积相等，求 $D E$ 的长；

(2)、求水面高度 $C F$ ．

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18. 学习了相似三角形相关知识后，小明和同学们想利用“标杆”测量大楼的高度．如图，小明站立在地面点F处，他的同学在点B处竖立“标杆” $A B$ ，使得小明的头顶点E、杆顶点A、楼顶点C在一条直线上（点F、B、D也在一条直线上）．已知小明的身高 $E F = 1.5$ 米，“标杆” $A B = 2.5$ 米，又 $B D = 23$ 米， $F B = 2$ 米．

(1)、求大楼的高度 $C D$ 为多少米（ $C D$ 垂直地面 $B D$ ）？

(2)、小明站在原来的位置，同学们通过移动标杆，可以用同样的方法测得楼 $C D$ 上点G的高度 $G D = 11.5$ 米，那么相对于第一次测量，标杆 $A B$ 应该向大楼方向移动米.

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19. 如图为幸福小区入口处安装的汽车出入道闸示意图．如图1，道闸关闭时，四边形 $A B C D$ 是矩形．如图2，在道闸打开的过程中，边 $A D$ 固定， $A D ⊥$ 直线l，连杆 $A B$ 、 $C D$ 分别绕点A、D转动，且边 $B C$ 始终与边 $A D$ 平行，P为 $C D$ 上的一点（不与点C，D重合），过点P作 $P E ⊥$ 直线l， $P F ⊥ M N$ ，垂足分别为E，F，即四边形 $P E N F$ 是矩形，过点D作 $D Q ⊥ P E$ ，垂足为Q，延长 $B C$ 与 $P F$ 相交于点R．

(1)、 $△ P D Q$ 与 $△ C P R$ 相似吗？请判断并说明理由．

(2)、若道闸长 $A B = 4$ 米，宽 $A D = 1$ 米，点D距地面 $0.2$ 米， $P E = 1.16$ 米， $R F = 0.8$ 米， $C R = 1.44$ 米．
①求点B到地面l的距离；

②求 $P F$ 的长．

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20. 如图，抛物线经过点 $A (4 ， 0)$ 、 $B (1 ， 0)$ 、 $C (0 ， - 2)$ 三点．

(1)、求此抛物线的解析式；

(2)、P是抛物线上的一个动点，过 $P$ 作 $P M ⊥ x$ 轴，垂足为 $M$ ，是否存在点 $P$ ，使得以 $A$ 、 $P$ 、 $M$ 为顶点的三角形与 $△ O A C$ 相似？若存在，请求出符合条件的点 $P$ 的坐标；若不存在，请说明理由；

(3)、在直线 $A C$ 上方的抛物线是有一点 $D$ ，使得 $△ D C A$ 的面积最大，求出点 $D$ 的坐标．

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21. 我们定义：如果一个三角形一条边上的高等于这条边，那么这个三角形叫做“等高底”三角形，这条边叫做这个三角形的“等底”.

(1)、概念理解：
如图1，在△ABC中，AC＝6，DC＝3，∠ACB＝30°，试判断△ABC是否是“等高底”三角形.（填“是”或“否”）

(2)、问题探究：
如图2，△ABC是“等高底”三角形，BC是“等底”，作△ABC关于BC所在直线的对称图形得到△A'BC，连接AA'交直线BC于点D.若点B是△AA′C的重心，求 $\frac{A C}{B C}$ 的值.

(3)、应用拓展：
如图3，已知l₁∥l₂ ， l₁与l₂之间的距离为2，“等高底”△ABC的“等底”BC在直线l₁上，点A在直线l₂上，有一边的长是BC的 $\sqrt{2}$ 倍.将△ABC绕点C按顺时针方向旋转45°得到△A'B′C，A′C所在直线交l₂于点D，直接写出CD的值.

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22. 在平面直角坐标系中，点O为坐标系的原点，抛物线 $y = a x^{2} + b x$ 经过 $A (10 ， 0)$ ， $B (\frac{5}{2} ， 6)$ 两点，直线 $y = 2 x - 4$ 与x轴交于点C，与y轴交于点D，点P为直线 $y = 2 x - 4$ 上的一个动点，连接 $P A$ .

(1)、求抛物线的解析式；

(2)、如图1，当点P在第一象限时，设点P的横坐标为t， $Δ A P C$ 的面积为S，求S关于t的函数解析式（不要求写出自变量t的取值范围）；

(3)、如图2，在（2）的条件下，点E在y轴的正半轴上，且 $O E = O D$ ，连接 $C E$ ，当直线 $B P$ 交x轴正半轴于点L，交y轴于点V时，过点P作 $P G / / C E$ 交x轴于点G，过点G作y轴的平行线交线段 $V L$ 于点F，连接 $C F$ ，过点G作 $G Q / / C F$ 交线段 $V L$ 于点Q， $∠ C F G$ 的平分线交x轴于点M，过点M作 $M H / / C F$ 交 $F G$ 于点H，过点H作 $H R ⊥ C F$ 于点R，若 $F R + M H = G Q$ ，求点P的坐标.

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23. 如图：

(1)、[基础巩固]如图1，在四边形 $A B C D$ 中，对角线 $B D$ 平分 $∠ A B C ， ∠ A D B = ∠ D C B$ ，求证： $B D^{2} = B A \cdot B C$ ；

(2)、[尝试应用]如图2，四边形 $A B C D$ 为平行四边形，F在 $A D$ 边上， $A B = A F$ ，点E在 $B A$ 延长线上，连接 $E F$ 、 $B F$ 、 $C F$ ，若 $∠ E F B = ∠ D F C ， B E = 4 ， B F = 5$ ，求 $B C$ 的长；

(3)、[拓展提高]如图3，E是 $△ A B C$ 内部一点，F为 $A C$ 边上一点，连接 $A E ， B E ， C E ， E F$ ，已知 $∠ F E C = ∠ C B E$ ， $∠ B E C = ∠ A E F ， B E = 18 ， E F = 7 ， \frac{C E}{B C} = \frac{2}{3}$ ，求 $\frac{A F}{F C}$ 的值.

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24. 如图

(1)、[基础巩固]如图①，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于点D，求证：AC²=AD·AB．

(2)、[尝试应用] 如图②，在矩形ABCD中，AD=2，点F在AB上，FB=2AF，DF⊥AC于点E，求AE的长．

(3)、[拓展提高] 如图③，在矩形ABCD中，点E在边BC上，NDCE与NDFE关于直线DE对称，点C的对称点F在边AB上，G为AD中点，连结GC交DF于点M，GC∥FE，若AD=2，求GM的长．

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25.

(1)、【基础巩固】如图1，在 $△ A B C$ 中，E是 $A B$ 上一点，过点E作 $B C$ 的平行线交 $A C$ 于点F，点D是 $B C$ 上任意一点，连结 $A D$ 交 $E F$ 于点G，求证： $\frac{E G}{G F} = \frac{B D}{D C}$ ；

(2)、【尝试应用】
如图2，在（1）的条件下，连结 $B F$ ， $D F$ ，若 $∠ C = 30 °$ ， $F E$ 、 $F B$ 恰好将 $∠ A F D$ 三等分，求 $\frac{E G}{F G}$ 的值；

(3)、【拓展延伸】
如图3，在等边 $△ A B C$ 中， $B D = 4 D C$ ，连结 $A D$ ，点E在 $A D$ 上，若 $∠ B E C = 120 °$ ，求 $\frac{B E}{B C}$ 的值.

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2023年浙教版数学九年级上册4.5相似三角形的性质与应用 同步测试（培优版）

一、选择题（每题3分，共30分）

二、填空题（每空3分，共18分）

三、解答题（共9题，共72分）

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