2023年浙教版数学九年级上册4.4两个三角形相似的判定同步测试（培优版）

试卷更新日期：2023-08-20 类型：同步测试

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一、选择题（每题3分，共30分）

1. 已知△ABC中，∠BAC=90°，用尺规过点A作一条直线，使其将△ABC分成两个相似的三角形，其作法错误的是（）

A、 B、 C、 D、

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2. 新定义：由边长为1的小正方形构成的网格图中，每个小正方形的顶点称为格点，顶点都在格点上的三角形称为格点三角形．如图，已知 $△ A B C$ 是 $6 \times 6$ 的网格图中的格点三角形，那么该网格中所有与 $△ A B C$ 相似且有一个公共角的格点三角形的个数是（）

A、1 B、2 C、3 D、4

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3. 在三边都不相等的 $△ A B C$ 的边 $A B$ 上有一点D，过点D画一条直线，与三角形的另一边相交所截得的三角形与 $△ A B C$ 相似，这样的直线最多可以画（）

A、5条 B、4条 C、3条 D、2条

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4. 如图，在由小正方形组成的方格纸中， $△ A B C$ 和 $△ P D E$ 的顶点均在格点上，要使 $△ A B C ∽ △ P D E$ ，则点 $P$ 所在的格点为（）

A、 $P_{1}$ B、 $P_{2}$ C、 $P_{3}$ D、 $P_{4}$

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5. 如图，已知圆的内接四边形ABDC，边DC与BA的延长线交于点Q，对角线AD与CB交于点P．有下列结论：①△CPD∽△APB；②△APC∽△BPD；③△DCA∽△BAC；④△QCA∽△QBD，其中正确的是（）

A、②③④ B、①③ C、①②④ D、②③

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6. 在正方形网格中，每个小正方形的顶点称为格点，以格点为顶点的三角形叫做格点三角形.如图，△ABC是格点三角形，在图中的6×6正方形网格中作出格点三角形△ADE（不含△ABC），使得△ADE∽△ABC（同一位置的格点三角形△ADE只算一个），这样的格点三角形一共有（）

A、4个 B、5个 C、6个 D、7个

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7. 如图，在 $△ A B C$ 中， $A B = B C = 10$ ， $A C = 12$ ， $B O ⊥ A C$ ，垂足为点 $O$ ，过点 $A$ 作射线 $A E ∥ B C$ ，点 $P$ 是边 $B C$ 上任意一点，连接 $P O$ 并延长与射线 $A E$ 相交于点 $Q$ ，设 $B$ ， $P$ 两点之间的距离为 $x$ ，过点 $Q$ 作直线 $B C$ 的垂线，垂足为 $R$ ．岑岑同学思考后给出了下面五条结论，正确的共有（）
① $△ A O B ≌ △ C O B$ ；

②当 $0 < x < 10$ 时， $△ A O Q ≌ △ C O P$ ；

③当 $x = 5$ 时，四边形 $A B P Q$ 是平行四边形；

④当 $x = 0$ 或 $x = 10$ 时，都有 $△ P Q R ∽ △ C B O$ ；

⑤当 $x = \frac{14}{5}$ 时， $△ P Q R$ 与 $△ C B O$ 一定相似．

A、2条 B、3条 C、4条 D、5条

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8. 如图，正方形ABCD的边长AB=8，E为平面内一动点，且AE=4，F为CD上一点，CF=2，连接EF，ED，则2EF+ED的最小值为（）

A、12 $\sqrt{3}$ B、12 $\sqrt{2}$ C、12 D、10

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9. 如图，M是Rt△ABC的斜边BC上异于B、C的一定点，过M点作直线截△ABC，使截得的三角形与△ABC相似，这样的直线共有

A、1条 B、2条 C、3条 D、4条

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10. 如图，正方形ABCD的边长为2，BE=CE，MN=1，线段MN的两端点在CD、AD上滑动，当DM为时，△ABE与以D、M、N为顶点的三角形相似．（）

A、 $\frac{\sqrt{5}}{5}$ B、 $\frac{2 \sqrt{5}}{5}$ C、 $\frac{\sqrt{5}}{5}$ 或 $\frac{2 \sqrt{5}}{5}$ D、 $\frac{2 \sqrt{5}}{5}$ 或 $\frac{3 \sqrt{5}}{5}$

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二、填空题（每空4分，共24分）

11. 如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，DE⊥BC，垂足分别为点D，E，则图中与△ABC相似的三角形个数有个.

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12. 如图，点P是▱ABCD边AB上的一点，射线CP交DA的延长线于点E，则图中相似的三角形有对．

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13. 如图，在等腰 $△ A B C$ 中， $A B = A C = 1 ， A D$ 平分 $∠ B A C$ ，点E在 $B A$ 的延长线上， $E D = E C ， D E$ 交 $A C$ 于点F，则图中与 $△ A F E$ 相似的三角形为； $A F$ 的长为.

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14. 已知点 $A (a ， b)$ 是反比例函数 $y = \frac{8}{x} (x > 0)$ 图象上的动点， $A B ∥ x$ 轴， $A C ∥ y$ 轴，分别交反比例函数 $y = \frac{k}{x} (x > 0)$ 的图象于点B、C，交坐标轴于D、E，且 $A C = 3 C D$ ，连接 $B C$ .现有以下四个结论：① $k = 2$ ；②在点A运动过程中， $Δ A B C$ 的面积始终不变；③连接 $D E$ ，则 $B C ∥ D E$ ；④不存在点A，使得 $Δ A B C ∽ Δ O E D$ .其中正确的结论的序号是．

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15. 等腰 $Δ A B C$ 被某一条直线分成两个等腰三角形，并且其中一个等腰三角形与原三角形相似，则等腰 $Δ A B C$ 的顶角的度数是.

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16. 如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝90°，AB＝3，BC＝4，CD＝10，DA＝，则BD的长为．

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三、解答题（共8题，共66分）

17. 如图，在四边形ABCD中，∠A=∠B.

(1)、请用无刻度的直尺和圆规按要求作图（不写作法，保留作图痕迹）：
① 过点D作AB的平行线交BC于点F；

② P为AB边上的一点，且△DAP∽△PBC，请找出所有满足条件的点；

(2)、在（1）的条件下，若AD＝2，BC＝3，AB＝6，则AP＝.

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18. 已知在△ABC中，∠ABC=90°，AB=3cm，BC=4cm．动点Q从点A出发沿AC向终点C匀速运动，速度2cm/s；同时，点P从点B出发沿BA向终点A匀速运动，速度1cm/s；

(1)、当t为何值时，△APQ与△ABC相似？

(2)、当t为何值时，△APQ为等腰三角形？

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19. 在平面直角坐标系中，已知OA＝10cm，OB＝5cm，点P从点O开始沿OA边向点A以2cm/s的速度移动；点Q从点B开始沿BO边向点O以1cm/s的速度移动．如果P、Q同时出发，用t（s）表示移动的时间（0≤t≤5），

(1)、用含t的代数式表示：线段PO＝cm；OQ＝cm．

(2)、当t为何值时△POQ的面积为6cm²？

(3)、当△POQ与△AOB相似时，求出t的值．

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20. 如图，抛物线 $y = a x^{2} + b x$ 经过坐标原点O与点 $A (3 ， 0)$ ，正比例函数 $y = k x$ 与抛物线交于点 $B (\frac{7}{2} ， \frac{7}{4})$ ．

(1)、求该抛物线的函数表达式；

(2)、点P是第四象限抛物线上的一个动点，过点P作 $P M ⊥ x$ 轴于点N，交 $O B$ 于点M，是否存在点P，使得 $△ O M N$ 与以点N、A、P为顶点的三角形相似？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

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21. 如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点B的坐标为 $(4 ， 2)$ ， OA，OC分别在x轴、y轴上，OB是矩形的对角线．将 $△ O A B$ 绕点O逆时针旋转，使点B落在y轴上，得到 $△ O D E$ ， OD与CB相交于点F，反比例函数 $y = \frac{k}{x} (x > 0)$ 的图象经过点F，交AB于点G．

(1)、填空：k的值为；

(2)、连接FG，求证： $△ O A B ∽ △ F B G$ ；

(3)、在线段OA上找一点P，使得 $△ P F G$ 是等腰三角形，请直接写出此时OP的长．

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22. 如图1，在 $R t △ A B C$ 中， $∠ B A C = 90 °$ ， $D ， E$ 分别为边 $A B ， A C$ 上的点，且 $D E ∥ B C$ ．已知 $B C = 10$ ， $\frac{A D}{D B} = \frac{3}{2}$ ．

(1)、 $D E$ 的长为； $△ A D E$ 与 $△ A B C$ 的周长比为；

(2)、将 $△ A D E$ 绕点A旋转，连接 $B D ， C E$ ．
①当 $△ A D E$ 旋转至图2所示的位置时，求证： $△ A B D ∽ △ A C E$ ；
②如图3，当 $△ A D E$ 旋转至点D在 $B C$ 上时， $A D ⊥ B C$ ，直接写出 $A B$ 及 $E C$ 的长．

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23.

(1)、如图①，在正方形 $A B C D$ 中，E，F分别是 $A B$ ， $B C$ 边上的动点，且 $∠ E D F = 45 °$ ，将 $△ D A E$ 绕点D逆时针旋转90°，得到 $△ D C M$ ，可以证明 $△ D E F ≅ △ D M F$ ，进一步推出 $E F$ ， $A E$ ， $F C$ 之间的数量关系为；

(2)、在图①中，连接 $A C$ 分别交 $D E$ 和 $D F$ 于P，Q两点，求证： $△ D P Q ∽ △ D F E$ ；

(3)、如图②，在菱形 $A B C D$ 中， $∠ A B C = 60 °$ ，点E，F分别是边 $B C$ ， $C D$ 上的动点（不与端点重合），且 $∠ E A F = 60 °$ ，连接 $B D$ 分别与边 $A E$ ， $A F$ 交于M，N.当 $∠ D A F = 15 °$ 时，猜想 $M N$ ， $D N$ ， $B M$ 之间存在什么样的数量关系，并证明你的结论.

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24. 【问题提出】已知有两个Rt△ABC和Rt△A'B′C'，其中∠C＝∠C′＝90°，∠A＝60°，∠A′＝45°．

(1)、如图1，作线段CD，C′D′，分别交AB于点D，交A'B′于点D′，使得∠BCD＝45°，∠B'C′D'＝30°，问△BCD与△B'C′D'，△ACD与△A′C′D′是否相似？并选择其中相似的一对三角形，说明理由．

(2)、如图2，作线段AD，B'D′，分别交BC于点D，交A'C'于点D，若△ACD与△B′C′D′、△ABD与△A′B'D'均相似，求∠CAD，∠C'B'D′的度数．

(3)、【拓展思考】已知任意两个不相似的直角三角形，能否分别作一条直线对其进行分割，使其中一个三角形所分割得到的两个三角形与另一个三角形所分割得到的两个三角形分别对应相似？如果可以，请直接画出一种分割示意图；如果不能，请说明理由．

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2023年浙教版数学九年级上册4.4两个三角形相似的判定 同步测试（培优版）

一、选择题（每题3分，共30分）

二、填空题（每空4分，共24分）

三、解答题（共8题，共66分）

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