2023年浙教版数学九年级上册4.3相似三角形同步测试（培优版）

试卷更新日期：2023-08-20 类型：同步测试

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一、选择题（每题4分，共40分）

1. 已知在△ABC中，AB=6，AC=9，D，E分别是AB，AC边上的点，且AD=2. 若△ABC和△ADE相似，则AE=（）

A、5 B、3 C、 $\frac{4}{3}$ D、3或 $\frac{4}{3}$

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2. 如图，将 $△ A B C$ 先向左平移4个单位，得到 $△ A^{'} B^{'} C^{'}$ ，再以原点O为位似中心，作 $△ A^{'} B^{'} C^{'}$ 的位似三角形 $△ A^{″} B^{″} C^{″}$ ，使它与 $△ A^{'} B^{'} C^{'}$ 的相似比为 $1 ： 2$ 且在同一象限内，则点A的对应点 $A^{″}$ 的坐标是（）

A、 $(0 ， 0)$ B、 $(- 2 ， 4)$ C、 $(- 1 ， 2)$ D、 $(1 ， - 2)$

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3. 如图， $∠ A = ∠ B = 90 ° ， A B = 7 ， B C = 3 ， A D = 2$ ，在边 $A B$ 上取点P，使得 $△ P A D$ 与 $△ P B C$ 相似，则满足条件的点P有（）

A、1个 B、2个 C、3个 D、0个

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4. 如图， $△ A B C$ 内接于 $⊙ O$ ，且 $A C = B C$ ， $A O$ 的延长线交 $B C$ 于点 $E$ ，若 $△ A B E$ 与 $△ A B C$ 相似，则 $∠ A B C =$ （）.

A、 $55 °$ B、 $65 °$ C、 $67.5 °$ D、 $72 °$

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5. 如图，在 $10 \times 6$ 的方格纸中，每个小方格都是边长为1的正方形，我们称每个小正方形的顶点为格点，以格点为顶点的图形称为格点图形.点E是格点四边形ABCD的AB边上一动点，连接ED，EC，若格点 $△ D A E$ 与 $△ E B C$ 相似，则 $D E + E C$ 的长为（）

A、 $3 \sqrt{13}$ B、 $\sqrt{149}$ C、 $3 \sqrt{13}$ 或 $5 \sqrt{5}$ D、 $3 \sqrt{13}$ 或 $\sqrt{149}$

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6. 要制作两个形状相同的三角形框架，其中一个三角形的边长分别为8cm，10cm和12cm，另一个三角形的最短边长为2cm，则它的最长边为（）

A、3cm B、4cm C、4.5cm D、5cm

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7. 如图，正方形ABCD的边长为2，BE=CE，MN=1，线段MN的两端点在CD、AD上滑动，当DM为（）时，△ABE与以D、M、N为顶点的三角形相似.

A、 $\frac{\sqrt{5}}{5}$ B、 $\frac{2 \sqrt{5}}{5}$ C、 $\frac{\sqrt{5}}{5}$ 或 $\frac{2 \sqrt{5}}{5}$ D、 $\frac{2 \sqrt{5}}{5}$ 或 $\frac{3 \sqrt{5}}{5}$

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8. 如图，在正方形网格中：△ABC、△EDF的顶点都在正方形网格的格点上，△ABC∽△EDF ，则∠ABC＋∠ACB的度数为（）

A、75° B、60° C、55° D、45°

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9. 如图所示，若 $A B C P Q$ 甲乙丙丁都是方格纸中的格点．如图，若 $A$ 、 $B$ 、 $C$ 、 $P$ 、 $Q$ 、甲、乙、丙、丁都是方格纸中的格点，为使 $△ P Q R ∽ △ A B C$ ，则点 $R$ 应是甲、乙、丙、丁四点中的（）

A、甲 B、乙 C、丙 D、丁

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10. 如图，已知直角坐标系中四点A（﹣2，4）、B（﹣2，0）、C（2，﹣3）、D（2，0）.若点P在x轴上，且PA、PB、AB所围成的三角形与PC、PD、CD所围成的三角形相似，则所有符合上述条件的点P的个数是（　　）

A、1个 B、2个 C、3 个 D、4个

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二、填空题（每空6分，共30分）

11. 如图，D、E分别是ΔABC的边AB、AC上的动点，若 $A E = 3 ， A C = 8 ， A B = 6$ ，且ΔADE与ΔABC相似，则AD的长度是.

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12. 如图， $A B$ 、 $C D$ 交于点 $O$ ，且 $O C = 45$ ， $O D = 30$ ， $O B = 36$ ，当 $O A =$ 时， $△ A O C$ 与 $△ B O D$ 相似.

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13. 如图， $R t △ A B C$ 中， $∠ A C B = 90 °$ ，在 $B C$ 的延长线上截取 $B D = A B$ ，连接 $A D$ ，过点 $B$ 作 $B E ⊥ A D$ 于点 $E$ ，交 $A C$ 于点 $F$ ，连接 $D F$ ，点 $P$ 为射线 $B E$ 上一个动点，若 $A C = 9$ ， $B C = 12$ ，当 $△ A P B$ 与 $△ A F D$ 相似时， $B P$ 的长为．

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14. 如图，在直角梯形ABCD中， $A D ∥ B C$ ， $∠ D A B = 90 °$ ， $A B = 14$ ， $A D = 4$ ， $B C = 6$ ，动点P从点A出发，以每秒2个单位的速度向点B运动，运动到B点停止，若以点P，A，D为顶点的三角形与 $△ P B C$ 相似时，运动时间 $t =$ ．

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15. 在ΔABC 中，AC＝4，BC＝2. 点 D 在射线 AB 上，在构成的图形中，ΔACD 为等腰三角形，且存在两个互为相似的三角形，则 CD 的长是.

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三、解答题（共5题，共50分）

16. 如图，在 $△ A B C$ 中， $∠ B = 90 °$ ， $A B = 6 c m$ ， $B C = 12 c m$ ，动点P从点A开始沿着边AB向点B以1cm/s的速度移动，动点Q从点B开始沿着边BC向点C以2cm/s的速度移动．若P、Q两点同时开始运动，当点P运动到点B时停止，点Q也随之停止．设运动时间为 $t (s)$ ．

(1)、当移动几秒时， $△ B P Q$ 的面积为 $9 c m^{2}$ ？

(2)、当移动几秒时，以B、P、Q为顶点的三角形与 $△ A B C$ 相似？

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17. 如图，直线 $y = a x + 2$ 与 $x$ 轴， $y$ 轴分别相交于 $A$ ， $B$ 两点，与双曲线 $y = \frac{k}{x} (x > 0)$ 相交于点 $P$ ， $P C ⊥ x$ 轴于点 $C$ ，且 $P C = 4$ ，点 $A$ 的坐标为 $(- 4 ， 0)$ ．

(1)、求一次函数和双曲线的解析式；

(2)、若点 $Q$ 为双曲线上点 $P$ 右侧的一点，且 $Q H ⊥ x$ 轴于 $H$ ，当 $△ A B O ∼ △ C Q H$ 时，求点 $Q$ 的坐标．

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18. 如图，抛物线y＝ax ²＋bx＋c（a≠0）的顶点坐标为（2，－1），并且与y轴交于点C（0，3），与x轴交于两点A，B.

(1)、求抛物线的表达式；

(2)、设抛物线的对称轴与直线BC交于点D，连接AC、AD，求△ACD的面积；

(3)、点E为直线BC上一动点，过点E作y轴的平行线EF，与抛物线交于点F.问是否存在点E，使得以D、E、F为顶点的三角形与△BCO相似.若存在，求出点E的坐标；若不存在，请说明理由.

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19. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=- $\frac{3}{4}$ x²+bx+c的图象交x轴于A（4，0），B（-1，0）两点，交y轴于点C，连接AC.

(1)、填空：该抛物线的函数解析式为，其对称轴为直线；

(2)、若P是抛物线在第一象限内图象上的一动点，过点P作x轴的垂线，交AC于点Q，试求线段PQ的最大值；

(3)、在（2）的条件下，当线段PQ最大时，在x轴上有一点E（不与点O，A重合），且EQ=EA，在x轴上是否存在点D，使得△ACD与△AEQ相似？如果存在，请直接写出点D的坐标；如果不存在，请说明理由.

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20. 如图，一次函数 $y = a x + b$ 的图象与反比例函数 $y = \frac{k}{x}$ 的图象交于A，B两点，与x轴交于点C，与y轴交于点D，已知点A的坐标为 $(2 ， 1)$ ，点B的坐标为 $(m ， - 4)$ ．

(1)、求反比例函数 $y = \frac{k}{x}$ 与一次函数 $y = a x + b$ 的解析式．

(2)、结合图象，请直接写出不等式 $a x + b < \frac{k}{x}$ 的解集．

(3)、在y轴上是否存在一点P，使得 $△ P D C$ 与 $△ C D O$ 相似，且点P不与原点O重合？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．

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2023年浙教版数学九年级上册4.3相似三角形 同步测试（培优版）

一、选择题（每题4分，共40分）

二、填空题（每空6分，共30分）

三、解答题（共5题，共50分）

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