2023年浙教版数学九年级上册4.1 比例线段同步测试（培优版）

试卷更新日期：2023-08-20 类型：同步测试

进入出卷网下载

一、选择题（每题3分，共30分）

1. 已知abc $\neq$ 0，而且 $\frac{a + b}{c} = \frac{b + c}{a} = \frac{c + a}{b} = p$ ，那么直线y=px+p一定通过（）

A、第一、二象限 B、第二、三象限 C、第三、四象限 D、第一、四象限

查看试题解析
2. 如图，点D、E分别在△ABC的边AB、AC上，若AD：BD=2：1，点G在DE上，DG：GE=1：2，连接BG并延长交AC于点F ，则AF：EF等于（）

A、1：1 B、4：3 C、3：2 D、2：3

查看试题解析
3. 在设计人体雕像时，使雕像上部（腰部以上）与下部（腰部以下）的高度比，等于下部与全部的高度比，可以增加视觉美感．如图，按此比例设计一座高度为 $2 m$ 的雷锋雕像，那么该雕像的下部设计高度约是（）（精确到0.01．参考数据： $\sqrt{2} \approx 1.414$ ， $\sqrt{3} \approx 1.732$ ， $\sqrt{5} \approx 2.236$ ）

A、 $0.76 m$ B、 $1.24 m$ C、 $1.36 m$ D、 $1.42 m$

查看试题解析
4. 已知线段a、b，求作线段x，使 $x = \frac{2 b^{2}}{a}$ ，正确的作法是（）

A、 B、 C、 D、

查看试题解析
5. 已知：线段a，b，c，求作线段x，使x＝ $\frac{a c}{b}$ ，以下作法正确的是（　　）

A、 B、 C、 D、

查看试题解析
6. 已知线段a，b，c，求作线段x，使 $b x = a c$ ，下列作法中正确的是（）

A、 B、 C、 D、

查看试题解析
7. 在比例尺为1：100000的地图上，甲、乙两地图距是2cm，它的实际长度约为（）

A、100km B、2000m C、10km D、20km

查看试题解析
8. 已知点 $P$ 是线段 $A B$ 上的一点，线段 $A P$ 是 $P B$ 和 $A B$ 的比例中项，下列结论中，正确的是（）

A、 $\frac{P B}{A P} = \frac{\sqrt{5} + 1}{2}$ B、 $\frac{P B}{A B} = \frac{\sqrt{5} + 1}{2}$ C、 $\frac{A P}{A B} = \frac{\sqrt{5} - 1}{2}$ D、 $\frac{A P}{P B} = \frac{\sqrt{5} - 1}{2}$

查看试题解析
9. 如图，将 $⊙ O$ 的圆周分成五等分（分点为A、B、C、D、E），依次隔一个分点相连，即成一个正五角星形.小张在制图过程中，惊讶于图形的奇妙，于是对图形展开了研究，得到：点M是线段AD、BE的黄金分割点，也是线段NE、AH的黄金分割点.在以下结论中，不正确的是（）

A、 $\frac{M N}{A M} = \frac{\sqrt{5} - 1}{2}$ B、 $\frac{F D}{A D} = \frac{\sqrt{5} - 1}{2}$ C、 $B N = N M = M E$ D、 $∠ A = 36 °$

查看试题解析
10. 古希腊数学家欧多克索斯在深入研究比例理论时，提出了分线段的“中末比”问题：点G将一线段 $M N$ 分为两线段 $M G$ ， $G N$ ，使得其中较长的一段 $M G$ 是全长 $M N$ 与较短的段 $G N$ 的比例中项，即满足 $\frac{M G}{M N} = \frac{G N}{M G} = \frac{\sqrt{5} - 1}{2}$ ，后人把 $\frac{\sqrt{5} - 1}{2}$ 这个数称为“黄金分割”数，把点G称为线段 $M N$ 的“黄金分割”点．如图，在 $△ A B C$ 中，已知 $A B = A C = 3$ ， $B C = 4$ ，若D ， E是边 $B C$ 的两个“黄金分割”点，则 $△ A D E$ 的面积为（）

A、 $10 - 4 \sqrt{5}$ B、 $3 \sqrt{5} - 5$ C、 $\frac{5 - 2 \sqrt{5}}{2}$ D、 $20 - 8 \sqrt{5}$

查看试题解析

二、填空题（每空3分，共18分）

11. 已知a、b、c、满足 $\frac{b}{a + c} = \frac{a}{c + b} = \frac{c}{a + b} = k$ ，从下列四点：① $(1 ， \frac{1}{2})$ ；②(2，1)；③ $(1 ， - \frac{1}{2})$ ；④(1，﹣1)，中任意取一点恰好在正比例函数y＝kx图象上的概率是.

查看试题解析
12. 在平面直角坐标系中，关于 $x$ 的一次函数 $y = k x + b$ ，其中常数k满足 $k = \frac{c}{a + b} = \frac{a}{b + c} = \frac{b}{a + c}$ ，常数b满足b＞0且b是2和8的比例中项，则该一次函数 $y = k x + b$ 的解析式为．

查看试题解析
13. 将2，3，4，6这四个数随机排列，排列结果记为 $a$ ， $b$ ， $c$ ， $d$ .则 $a$ ， $b$ ， $c$ ， $d$ 成比例的概率为.

查看试题解析
14. 如图，线段AB的长为1，C在AB上，D在AC上，且 $A C^{2} = B C \cdot A B$ ， $A D^{2} = C D \cdot A C$ ， $A E^{2} = D E \cdot A D$ ，则AE的长为．

查看试题解析
15. 同学们学习了线段的黄金分割之后，曾老师提出了一个新的定义：点C是线段AB上一点，若 $\frac{B C}{\sqrt{n} A C} = \frac{\sqrt{n} A C}{A B}$ ＝kn，则称点C为线段AB的“近A，n阶黄金分割点”．例如：若 $\frac{B C}{\sqrt{2} A C} = \frac{\sqrt{2} A C}{A B}$ ＝k₂ ，则称点C为线段AB的“近A，2阶黄金分割点”；若 $\frac{B C}{\sqrt{3} A C} = \frac{\sqrt{3} A C}{A B}$ ＝k₃ ，则称点C为线段AB的“近A，3阶黄金分割点”．若点C为线段AB的“近A，6阶黄金分割点”时，k₆＝．

查看试题解析
16.
勾股定理与黄金分割是几何中的双宝，前者好比黄金，后者堪称珠玉．生活中到处可见黄金分割的美．如图，线段AB=1，点P₁是线段AB的黄金分割点（AP₁＜BP₁），点P₂是线段AP₁的黄金分割点（AP₂＜P₁P₂），点P₃是线段AP₂的黄金分割点（AP₃＜P₂P₃），…，依此类推，则AP_n的长度是．

查看试题解析

三、解答题（共9题，共72分）

17. 若a、b、c是非零实数，且满足 $\frac{a}{b + c} = \frac{b}{a + c} = \frac{c}{a + b} = k$ ，直线y=kx+b经过点（4，0），求直线y=kx+b与两坐标轴所围成的三角形的面积．

查看试题解析
18. 已知线段a，b，c满足 $\frac{a}{3} = \frac{b}{2} = \frac{c}{6}$ ，且a＋2b＋c＝26.

(1)、判断a，2b，c，b²是否成比例；

(2)、若实数x为a，b的比例中项，求x的值．

查看试题解析
19.

(1)、已知 $\frac{a}{b} = \frac{2}{3}$ ，求 $\frac{4 a - 3 b}{2 a + b}$ 的值；

(2)、将 $y = x^{2} - 2 x + 1$ 的图象先向左平移2个单位，再向下平移1个单位，求两次平移后所得到的抛物线解析式.

查看试题解析
20. 已知：a，b，c三个数满足关系式 $2 a = 3 b = 4 c$ ．

(1)、填空： $a ： b ： c =$ ：4：．

(2)、若 $k = \frac{a^{2}}{a b - 2 c^{2}}$ ，试求出 $k$ 的值．

(3)、在（2）的基础上，若点 $P$ 是反比例函数 $y = \frac{k}{x}$ 的图像上的任意一点，过点 $P$ 向 $y$ 轴引垂线，垂足为 $Q$ ，请直接写出 $△ O P Q$ 的面积．

查看试题解析
21. 如图，在 $R t △ A B C$ 中， $∠ A B C = 90^{\circ}$ ，BD是AC边上的高，已知BC=5厘米，AC=13厘米．求：

(1)、 $\frac{A B}{B C}$

(2)、 $\frac{B D}{A C}$

(3)、再找两条线段和AB、BC构成比例线段．

查看试题解析
22. 如图，在线段AB上存在一点C，满足AC∶CB＝CB∶AB＝k.

(1)、求k的值；

(2)、如果三条线段a，b，c满足a∶b＝b∶c＝k，问这三条线段能否构成三角形，如果能，请指出三角形的形状；如果不能，请说明理由．

查看试题解析
23. 如图1所示，点C把线段 $A B$ 分成 $A C$ 与 $C B$ ，若 $\frac{A C}{A B} = \frac{C B}{A C}$ ，则称线段 $A B$ 被点C黄金分割（goldensection），点C叫做线段 $A B$ 的黄金分割点， $A C$ 与 $A B$ 的比叫做黄金比．

(1)、根据上述定义求黄金比；

(2)、在图2中，利用尺规按以下步骤作图，井保留作图痕迹．①作线段 $A B$ 的垂直平分线，得线段 $A B$ 的中点M；②过点B作 $A B$ 垂线l；③以点B为圆心，以 $B M$ 为半径作圆交l于N；④连接 $A N$ 、 $B N$ ，以N为圆心，以 $N B$ 为半径作圆交 $A N$ 于P；⑤以点A为圆心，以 $A P$ 为半径作圆交 $A B$ 于C ．

(3)、证明你按以上步骤作出的C点就是线段 $A B$ 的黄金分割点．

查看试题解析
24. 定义：如图1，点P为线段AB上一点，如果 $\frac{P B}{P A} = \frac{P A}{A B}$ =k，那么我们称点P是线段AB的黄金分割点， $k = \frac{\sqrt{5} - 1}{2}$ 叫做黄金分割数.

(1)、理解：利用图1，运用一元二次方程的知识，求证：黄金分割数 $k = \frac{\sqrt{5} - 1}{2}$ ；

(2)、应用：如图2，抛物线y＝x²+nx＋2n（n<0）的图象与x轴交于A、B两点（OA<OB），若原点O是线段AB的黄金分割点，①求线段AB的长；②直接写出点A和点B的坐标.

查看试题解析
25. 如图，点B在线段AC上的黄金分割点，且AB＞BC．

(1)、设AC=2，完成下面填空
设AB=x，则BC=2﹣x
∵点B在线段AC上的黄金分割点，且AB＞BC，
∴ ，可列方程为，
解得方程的根为，于是，AB的长为．

(2)、在线段AC（如图1）上利用三角板和圆规画出点B的位置（保留作图痕迹，不写作法）；

(3)、若m、n为正实数，t是关于x的方程x²+2mx=n²的一正实数根，
①求证：（t+m）²=m²+n²；
②若两条线段的长分别为m、n（如图2），请画出一条长为t的线段（保留作图痕迹，不写作法）．

查看试题解析

2023年浙教版数学九年级上册4.1 比例线段 同步测试（培优版）

一、选择题（每题3分，共30分）

二、填空题（每空3分，共18分）

三、解答题（共9题，共72分）

2023年浙教版数学九年级上册4.1 比例线段同步测试（培优版）