【备考2024】高考数学（函数版块）细点逐一突破训练：函数与数学模型1

试卷更新日期：2023-08-18 类型：二轮复习

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一、选择题

1. 已知某摩天轮的半径为 $60 m$ ，其中心到地面的距离为 $70 m$ ，摩天轮启动后按逆时针方向匀速转动，每 $30$ 分钟转动一圈．已知当游客距离地面超过 $100 m$ 时进入最佳观景时间段，则游客在摩天轮转动一圈的过程中最佳观景时长约有（）

A、 $5$ 分钟 B、 $10$ 分钟 C、 $15$ 分钟 D、 $20$ 分钟

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2. 果树的负载量，是影响果树产量和质量的重要因素.苹果树结果期的负载量y（单位：kg）与干周x（树干横截面周长，单位：cm）可用模型 $y = b_{0} + b_{1} x^{2} - b_{2} x^{3}$ 模拟，其中 $b_{0}$ ， $b_{1}$ ， $b_{2}$ 均是常数.则下列最符合实际情况的是（）

A、 $b_{2} = 0$ 时，y是偶函数 B、模型函数的图象是中心对称图形 C、若 $b_{1}$ ， $b_{2}$ 均是正数，则y有最大值 D、苹果树负载量的最小值是 $b_{0}$

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3. 某中学坚持“五育”并举，全面推进素质教育.为了更好地增强学生们的身体素质，校长带领同学们一起做俯卧撑锻炼.锻炼是否达到中等强度运动，简单测量方法为 $f (t) = k e^{t}$ ，其中 $t$ 为运动后心率（单位：次/分）与正常时心率的比值， $k$ 为每个个体的体质健康系数.若 $f (t)$ 介于 $[28 ， 34]$ 之间，则达到了中等强度运动；若低于28，则运动不足；若高于34，则运动过量.已知某同学正常时心率为80，体质健康系数 $k = 7$ ，经过俯卧撑后心率 $y$ （单位：次/分）满足 $y = 80 (l n \sqrt{\frac{x}{12}} + 1)$ ， $x$ 为俯卧撑个数.已知俯卧撑每组12个，若该同学要达到中等强度运动，则较合适的俯卧撑组数为（）（ $e$ 为自然对数的底数， $e \approx 2.718$ ）

A、2 B、3 C、4 D、5

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4. $C_{0}$ 表示生物体内碳14的初始质量，经过t年后碳14剩余质量 $C (t) = C_{0} {(\frac{1}{2})}^{\frac{t}{h}}$ （ $t > 0$ ， h为碳14半衰期）．现测得一古墓内某生物体内碳14含量为 $0.4 C_{0}$ ，据此推算该生物是距今约多少年前的生物（参考数据 $l g 2 \approx 0.301$ ）．正确选项是（）

A、 $1.36 h$ B、 $1.34 h$ C、 $1.32 h$ D、 $1.30 h$

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5. 英国物理学家和数学家牛顿曾提出物体在常温环境下温度变化的冷却模型.如果物体的初始温度是 $θ_{1}$ ，环境温度是 $θ_{0}$ ，则经过 $t m i n$ 物体的温度 $θ$ 将满足 $θ = θ_{0} + (θ_{1} - θ_{0}) e^{- k t}$ ，其中 $k$ 是一个随着物体与空气的接触情况而定的正常数.现有 $90 {}_{∘}C$ 的物体，若放在 $10 {}_{∘}C$ 的空气中冷却，经过 $10 m i n$ 物体的温度为 $50 {}_{∘}C$ ，则若使物体的温度为 $20 {}_{∘}C$ ，需要冷却（）

A、 $17.5 m i n$ B、 $25.5 m i n$ C、 $30 m i n$ D、 $32.5 m i n$

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6. 中国是茶的故乡，也是茶文化的发源地，茶文化是把茶、赏茶、闻茶、饮茶、品茶等习惯与中国的文化内涵相结合而形成的一种文化现象，具有鲜明的中国文化特征．其中沏茶、饮茶对水温也有一定的要求，把物体放在空气中冷却，如果物体原来的温度是 ${θ_{1}}^{∘} C$ ，空气的温度是 ${θ_{0}}^{∘} C$ ，经过t分钟后物体的温度为θ℃，满足公式 $θ = θ_{0} + (θ_{1} - θ_{0}) e^{- 0.25 t}$ ．现有一壶水温为92℃的热水用来沏茶，由经验可知茶温为52℃时口感最佳，若空气的温度为12℃，那从沏茶开始，大约需要（）分钟饮用口感最佳．（参考数据； $l n 3 \approx 1.099$ ， $l n 2 \approx 0.693$ ）

A、2.57 B、2.77 C、2.89 D、3.26

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7. 从商业化书店到公益性城市书房，再到“会呼吸的文化森林”——图书馆，建设高水平、现代化、开放式的图书馆一直以来是大众的共同心声.现有一块不规则的地，其平面图形如图1所示， $A C = 8$ （百米），建立如图2所示的平面直角坐标系，将曲线 $A B$ 看成函数 $f (x) = k \sqrt{x}$ 图象的一部分， $B C$ 为一次函数图象的一部分，若在此地块上建立一座图书馆，平面图为直角梯形 $C D E F$ （如图2），则图书馆占地面积（万平方米）的最大值为（）

A、 $8 \sqrt{3}$ B、 $\frac{116}{9}$ C、 $\frac{196 \sqrt{3}}{27}$ D、 $\frac{352}{27}$

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8. 近年来受各种因素影响，国际大宗商品价格波动较大，我国某钢铁企业需要不间断从澳大利亚采购铁矿石，为保证企业利益最大化，提出以下两种采购方案.方案一：不考虑铁矿石价格升降，每次采购铁矿石的数量一定；方案二：不考虑铁矿石价格升降，每次采购铁矿石所花的钱数一定，则下列说法正确的是（）

A、方案一更经济 B、方案二更经济 C、两种方案一样 D、条件不足，无法确定

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9. 生物体死亡后，它机体内原有的碳14含量C会按确定的比率衰减（称为衰减率），C与死亡年数t之间的函数关系式为 $C = {0.5}^{\frac{t}{k}}$ （k为常数），大约每经过5730年衰减为原来的一半，这个时间称为“半衰期”．若2022年某遗址文物出土时碳14的残余量约为原始量的85%，则可推断该文物属于（）
参考数据： $\log_{2} 0.85 \approx - 0.23$ ；参考时间轴：

A、战国 B、汉 C、唐 D、宋

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10. 某地锰矿石原有储量为 $a$ 万吨，计划每年的开采量为本年年初储量的 $m$ （ $0 < m < 1$ ，且 $m$ 为常数）倍，那么第 $n$ （ $n \in N^{*}$ ）年在开采完成后剩余储量为 $a {(1 - m)}^{n}$ ，并按该计划方案使用10年时间开采到原有储量的一半．若开采到剩余储量为原有储量的70%时，则需开采约（）年．（参考数据： $\sqrt{2} \approx 1.4$ ）

A、4 B、5 C、6 D、8

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二、填空题

11. 某地铁换乘站设有编号为 $m_{1}$ ， $m_{2}$ ， $m_{3}$ ， $m_{4}$ 的四个安全出口，若同时开放其中的两个安全出口，疏散1000名乘客所需时间如下表：
安全出口编号
$m_{1}$ ， $m_{2}$
$m_{2}$ ， $m_{3}$
$m_{3}$ ， $m_{4}$
$m_{1}$ ， $m_{3}$
疏散乘客用时（秒）
120
140
190
160
则疏散乘客最快的一个安全出口的编号为．

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12. 在一个十字路口，每次亮绿灯的时长为30秒，那么，每次绿灯亮时，在一条直行道路上能有多少汽车通过？这个问题涉及车长、车距、车速、堵塞的干扰等多种因素，不同型号车的车长是不同的，驾驶员的习惯不同也会使车距、车速不同，行人和非机动车的干扰因素则复杂且不确定．面对这些不同和不确定，需要作出假设．例如小明发现虽然通过路口的车辆各种各样，但多数是小轿车，因此小明给出如下假设：通过路口的车辆长度都相等，请写出一个你认为合理的假设．

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13. 当生物死亡后，它机体内碳14会按照确定的规律衰减，大约每经过5730年衰减为原来的一半，照此规律，人们获得了生物体内碳14含量与死亡时间之间的函数关系式 $k (t) = k_{0} {(\frac{1}{2})}^{\frac{t}{5730}}$ ，（其中 $k_{0}$ 为生物死亡之初体内的碳14含量， $t$ 为死亡时间（单位：年），通过测定发现某古生物遗体中碳14含量为 $\frac{1}{8} k_{0}$ ，则该生物的死亡时间大约是年前．

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14. 敲击一次音叉A所发出的声波可用函数 $y_{1} = \frac{1}{1000} s i n (400 π \cdot t)$ 描述，敲击一次音叉B所发出的声波可用函数 $y_{2} = \frac{3}{1250} s i n (360 π \cdot t)$ 描述，则两个音叉所发出的音量较大的是.(填入A或B)

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15. 调查显示，垃圾分类投放可以带来约0.34元/千克的经济效益.为激励居民垃圾分类，某市准备给每个家庭发放一张积分卡，每分类投放 $1 k g$ 积分1分，若一个家庭一个月内垃圾分类投放总量不低于 $100 k g$ ，则额外奖励 $x$ 分（ $x$ 为正整数）.月底积分会按照0.1元/分进行自动兑换.
①当 $x = 10$ 时，若某家庭某月产生 $120 k g$ 生活垃圾，该家庭该月积分卡能兑换元；
②为了保证每个家庭每月积分卡兑换的金额均不超过当月垃圾分类投放带来的收益的 $40$ %，则 $x$ 的最大值为.

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16. 由于疫情防控需要，某地铁站每天都对站内进行消毒工作，设在药物释放过程中，站内空气中的含药量 $y$ （毫克/每立方米）与时间 $x (0 < x < \frac{1}{3})$ （小时）成正比.药物释放完毕后， $y$ 与 $x$ 满足关系 $y = 9^{b - x}$ （ $b$ 常数， $x \geq \frac{1}{3}$ ）.据测定，空气中每立方米的含药量降低到 $\frac{1}{3}$ 毫克以下时，乘客方可进站，则地铁站应安排工作人员至少提前分钟进行消毒工作.

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17. 某种冰淇淋是用球形塑料壳包装的，有80g装和200g装的两种规格，假设冰淇淋售价=（冰淇凌成本+包装成本）×（1+利润率），并且包装成本与球形外壳表面积成正比．已知80g装冰淇淋售价是1.50元，其中冰淇淋成本为每克1分，利润率为25%，则在利润率不变的情况下，200g装冰淇淋售价是元．（参考数据： $\sqrt[3]{50} \approx 3.68$ ）

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18. 2020年11月23日国务院扶贫办确定的全国832个贫困县全部脱贫摘帽，脱贫攻坚取得重大突破、为了使扶贫工作继续推向深入，2021年某原贫困县对家庭状况较困难的农民实行购买农资优惠政策.
⑴若购买农资不超过2000元，则不给予优惠；

⑵若购买农资超过2000元但不超过5000元，则按原价给予9折优惠；

⑶若购买农资超过5000元，不超过5000元的部分按原价给予9折优惠，超过5000元的部分按原价给予7折优惠.

该县家境较困难的一户农民预购买一批农资，有如下两种方案：

方案一：分两次付款购买，实际付款分别为3150元和4850元；

方案二：一次性付款购买.

若采取方案二购买这批农资，则比方案一节省元.

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19. 为了贯彻落实习近平总书记在全国教育大会上的讲话精神，2020年中办、国办联合印发了《关于全面加强和改进新时代学校体育工作的意见》，为落实该文件精神，某中学对女生立定跳远项目的考核要求为：1.33米得5分，每增加0.03米，分值增加5分，直到1.84米得90分后每增加0.1米，分值增加5分，满分为120分，若某女生训练前的成绩为70分，经过一段时间的训练后，成绩为105分则该女生经过训练后跳远增加了米.

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20. 冈珀茨模型 $(y = k \cdot a^{b^{t}})$ 是由冈珀茨（Gompertz）提出，可作为动物种群数量变化的模型，并用于描述种群的消亡规律.已知某珍稀物种t年后的种群数量y近似满足冈珀茨模型： $y = k_{0} \cdot e^{1.4 e^{- 0.125 t}}$ （当 $t = 0$ 时，表示2020年初的种群数量），若 $m (m \in N^{*})$ 年后，该物种的种群数量将不足2020年初种群数量的一半，则m的最小值为. $(\ln 2 \approx 0.7)$

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三、解答题

21. 改革开放40年，我国卫生事业取得巨大成就，卫生总费用增长了数十倍．卫生总费用包括个人现在支出、社会支出、政府支出，如表为2012年

年我国卫生货用中个人现金支出、社会支出和政府支出的费用（单位：亿元）和在卫生总费用中的占比．

年份	卫生总费用（亿元）	个人现金卫生支出		社会卫生支出		政府卫生支出
年份	卫生总费用（亿元）	绝对数（亿元）	占卫生总费用比重	绝对数（亿元）	占卫生总费用比重	绝对数（亿元）	占卫生总费用比重
2012	28119.00	9656.32	34.34	10030.70	35.67	8431.98	29.99
2013	31668.95	10729.34	33.88	11393.79	35.98	9545.81	30.14
2014	35312.40	11295.41	31.99	13437.75	38.05	10579.23	29.96
2015	40974.64	11992.65	29.27	16506.71	40.29	12475.28	30.45

（数据来源于国家统计年鉴）

(1)、指出2012年到2015年之间我国卫生总费用中个人现金支出占比和社会支出占比的变化趋势：

(2)、设

t = 1

表示1978年，第

n

年卫生总费用与年份

t

之间拟合函数

f (t) = \frac{357876.6053}{1 + e^{6.4420 - 0.1136 t}}

研究函数

f (t)

的单调性，并预测我国卫生总费用首次超过12万亿的年份．

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22. 已知函数 $f (x) = \frac{a x^{2} + x - 1}{e^{x}}$

(1)、求函数 $y = f (x)$ 在点 $(0 ， - 1)$ 处的切线方程

(2)、证明：当 $a \geq 1$ 时， $f (x) + e \geq 0$

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23. 根据预测，某地第n（n∈N^*）个月共享单车的投放量和损失量分别为a_n和b_n（单位：辆），其中a_n= ${\begin{matrix} 5 n^{4} + 15 ，_{} 1 \leq n \leq 3 \\ - 10 n + 470 ，_{} n \geq 4 \end{matrix}$ ，b_n=n+5，第n个月底的共享单车的保有量是前n个月的累计投放量与累计损失量的差．

(1)、求该地区第4个月底的共享单车的保有量；

(2)、已知该地共享单车停放点第n个月底的单车容纳量S_n=﹣4（n﹣46）²+8800（单位：辆）．设在某月底，共享单车保有量达到最大，问该保有量是否超出了此时停放点的单车容纳量？

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24. 已知函数f（x）=e^x﹣ln（x+m）

(1)、设x=0是f（x）的极值点，求m，并讨论f（x）的单调性；

(2)、当m≤2时，证明f（x）＞0．

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25. 甲厂以x千克/小时的速度匀速生产某种产品（生产条件要求1≤x≤10），每小时可获得的利润是100（5x+1﹣ $\frac{3}{x}$ ）元．

(1)、要使生产该产品2小时获得的利润不低于3000元，求x的取值范围；

(2)、要使生产900千克该产品获得的利润最大，问：甲厂应该选取何种生产速度？并求此最大利润．

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26. 某城市响应国家号召，积极调整能源结构，推出多种价位的新能源电动汽车．根据前期市场调研，有购买新能源车需求的约有2万人，他们的选择意向统计如下：
车型
A
B
C
D
E
F
价格
9万元
12万元
18万元
24万元
30万元
40万元
占比
5%
15%
25%
35%
15%
5%

(1)、如果有购车需求的这些人今年都购买了新能源车，今年新能源车的销售额预计约为多少亿元？

(2)、车企推出两种付款方式：
全款购车：购车时一次性付款可优惠车价的3%；
分期付款：无价格优惠，购车时先付车价的一半，余下的每半年付一次，分4次付完，每次付车价的 $\frac{1}{8}$ ．
①某位顾客现有a万元现金，欲购买价值a万元的某款车，付款后剩余的资金全部用于购买半年期的理财产品（该理财产品半年期到期收益率为1.8%），到期后，可用资金（含理财收益）继续购买半年期的理财产品，问：顾客选择哪一种付款方式收益更多？（计算结果精确到0.0001）
②为了激励购买理财产品，银行对采用分期付款方式的顾客，赠送价值1888元的大礼包，试问：这一措施对哪些车型有效？（计算结果精确到0.0001）

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27. 某地新能源汽车保着量符合阻沛型增长模型 $x (t) = \frac{M}{1 + λ e^{- r t}}$ ，其中 $x (t)$ 为自统计之日起，经过t年后该地新能源汽车保有量、 $λ$ 和r为增长系数、M为饱和量．
下表是该地近6年年底的新能源汽车的保有量（万辆）的统计数据：
年份
2018
2019
2020
2021
2022
t
0
1
2
3
4
保有量 $x (t)$
9.6
12.9
17.1
23.2
31.4
假设该地新能源汽车饱和量 $M = 290$ 万辆．
附：线性回归方程 $y = \hat{a} x + \hat{b}$ 中回归系数计算公式如下： $\hat{a} = \frac{\sum_{i = 1}^{n} (x_{i} - \bar{x}) (y_{i} - \bar{y})}{\sum_{i = 1}^{n} {(x_{i} - \bar{x})}^{2}} ， \hat{b} = \bar{y} - \hat{a} \bar{x}$ .

(1)、若 $r = 0 ． 31$ ，假设2018年数据满足公式 $x (t) = \frac{M}{1 + λ e^{- r t}}$ ，计算 $λ$ 的值（精确到0.01）并估算2023年年底该地新能源汽车保有量（精确到0.1万辆）；

(2)、设 $y = \frac{M}{x (t)} - 1$ ，则 $l n y$ 与t线性相关．请依据以上表格中相关数据，利用线性回归分析确定 $λ$ 和r的值（精确到0.01）．

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28. 某小区有块绿地，绿地的平面图大致如下图所示，并铺设了部分人行通道．
为了简单起见，现作如下假设：
假设1：绿地是由线段 $A B$ ， $B C$ ， $C D$ ， $D E$ 和弧 $\overset{⌢}{E A}$ 围成的，其中 $\overset{⌢}{E A}$ 是以 $O$ 点为圆心，圆心角为 $\frac{2 π}{3}$ 的扇形的弧，见图1；
假设2：线段 $A B$ ， $B C$ ， $C D$ ， $D E$ 所在的路行人是可通行的，圆弧 $\overset{⌢}{E A}$ 暂时未修路；
假设3：路的宽度在这里暂时不考虑；
假设4：路用线段或圆弧表示，休息亭用点表示．
图1-图3中的相关边、角满足以下条件：
直线 $B A$ 与 $D E$ 的交点是 $O$ ， $A B / /$ $C D$ ， $∠ A B C = \frac{π}{2}$ ． $D E = E O = O A = A B = 200$ 米．
小区物业根据居民需求，决定在绿地修建一个休息亭．根据不同的设计方案解决相应问题，结果精确到米．

(1)、假设休息亭建在弧 $\overset{⌢}{E A}$ 的中点，记为 $Q$ ，沿 $\overset{⌢}{E A}$ 和线段 $Q C$ 修路，如图2所示．求 $Q C$ 的长；

(2)、假设休息亭建在弧 $\overset{⌢}{E A}$ 上的某个位置，记为 $P$ ，作 $P M ⊥ B C$ 交 $B C$ 于 $M$ ，作 $P N ⊥ C D$ 交 $D C$ 于 $N$ ．沿 $\overset{⌢}{E P}$ 、线段 $P M$ 和线段 $P N$ 修路，如图3所示．求修建的总路长 $\overset{⌢}{E P} + P M + P N$ 的最小值；

(3)、请你对（1）和（2）涉及到的两种设计方案做个简明扼要的评价．

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29. 某商店销售某种产品，为了解客户对该产品的评价，现随机调查了200名客户，其评价结果为“一般”或“良好”，并得到如下列联表：

一般
良好
合计
男
20
100
120
女
30
50
80
合计
50
150
200
附表及公式：
$P (K^{2} \geq k_{0})$
0.15
0.10
0.05
0.025
0.010
$k_{0}$
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
其中 $K^{2} = \frac{n {(a d - b c)}^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}$ ， $n = a + b + c + d$ .

(1)、通过计算判断，有没有99%的把握认为客户对该产品的评价结果与性别有关系？

(2)、该商店在春节期间开展促销活动，该产品共有如下两个销售方案.方案一：按原价的8折销售；方案二：顾客购买该产品时，可在一个装有4张“每满200元少80元”，6张“每满200元少40元”共10张优惠券的不透明箱子中，随机抽取1张，购买时按照所抽取的优惠券进行优惠.已知该产品原价为260（元/件）.顾客甲若想采用方案二的方式购买一件产品，估计顾客甲需支付的金额；你认为顾客甲选择哪种购买方案较为合理？

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30. 人类从未停下对自然界探索的脚步，位于美洲大草原点 $C$ 处正上空 $100 \sqrt{3} m$ 的点 $P$ 处，一架无人机正在对猎豹捕食羚羊的自然现象进行航拍．已知位于点 $C$ 西南方向的草从 $A$ 处潜伏着一只饥饿的猎豹，猎豹正盯着其东偏北15°方向上点 $B$ 处的一只羚羊，且无人机拍摄猎豹的俯角为45°，拍摄羚羊的俯角为60°，假设A，B，C三点在同一水平面上．

(1)、求此时猎豹与羚羊之间的距离 $A B$ 的长度；

(2)、若此时猎豹到点 $C$ 处比到点 $B$ 处的距离更近，且开始以 $25 m / s$ 的速度出击，与此同时机警的羚羊以 $20 m / s$ 的速度沿北偏东15°方向逃跑，已知猎豹受耐力限制，最多能持续奔跑 $600 m$ ，试问猎豹这次捕猎是否有成功的可能?请说明原因．

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31. 某超市采购了一批袋装的进口牛肉干进行销售，共1000袋，每袋成本为30元，销售价格为50元，经过科学测定，每袋牛肉干变质的概率为 $p (0 < p < \frac{1}{10})$ ，且各袋牛肉干是否变质相互独立．依据消费者权益保护法的规定：超市出售变质食品的，消费者可以要求超市退一赔三．为了保护消费者权益，针对购买到变质牛肉干的消费者，超市除退货外，并对每袋牛肉干以销售价格的三倍现金赔付，且把变质牛肉干做废物处理，不再进行销售．

(1)、若销售完这批牛肉干后得到的利润为X，且 $7500 < E (X) < 10000$ ，求p的取值范围；

(2)、已知 $p = \frac{1}{20}$ ，若超市聘请兼职员工来检查这批牛肉干是否变质，超市需要支付兼职员工工资5000元，这样检查到的变质牛肉干直接当废物处理，就不会流入到消费者手中．请以超市获取的利润为决策依据，判断超市是否需要聘请兼职员工来检验这批牛肉干是否变质？

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32. 某高科技公司对其产品研发年投资额x（单位：百万元）与其年销售量y（单位：千件）的数据进行统计，整理后得到如下统计表和散点图.
x
1
2
3
4
5
6
y
0.5
1
1.5
3
6
12
$z = l n y$
-0.7
0
0.4
1.1
1.8
2.5
参考公式及数据： $\hat{b} = \frac{\sum_{i = 1}^{n} (x_{i} - \bar{x}) (y_{i} - \bar{y})}{\sum_{i = 1}^{n} {(x_{i} - \bar{x})}^{2}} = \frac{\sum_{i = 1}^{n} x_{i} y_{i} - n \bar{x} \bar{y}}{\sum_{i = 1}^{n} x_{i}^{2} - n {\bar{x}}^{2}}$ ， $\hat{a} = \bar{y} - \hat{b} \bar{x}$ ，
$R^{2} = 1 - \frac{\sum_{i = 1}^{n} {(y_{i} - {\hat{y}}_{i})}^{2}}{\sum_{i = 1}^{n} {(y_{i} - \bar{y})}^{2}} = 1 - \frac{\sum_{i = 1}^{n} {(y_{i} - {\hat{y}}_{i})}^{2}}{\sum_{i = 1}^{n} y_{i}^{2} - n {\bar{y}}^{2}}$ ，
$\sum_{i = 1}^{6} x_{i} z_{i} = - 1 \times 0.7 + 2 \times 0 + 3 \times 0.4 + 4 \times 1.1 + 5 \times 1.8 + 6 \times 2.5 = 28.9$ ， $e^{3.4} = 30$ .

(1)、该公司科研团队通过分析散点图的特征后，计划分别用① $y = b x + a$ 和② $y = e^{d x + c}$ 两种方案作为年销售量y关于年投资额x的回归分析模型，请根据统计表的数据，确定方案①和②的经验回归方程；（注：系数b，a，d，c按四舍五入保留一位小数）

(2)、根据下表中数据，用相关指数 $R^{2}$ （不必计算，只比较大小）比较两种模型的拟合效果哪个更好，并选择拟合精度更高、更可靠的模型，预测当研发年投资额为8百万元时，产品的年销售量是多少？
经验回归方程
残差平方和
$y = b x + a$
$y = e^{d x + c}$
${\sum_{i = 1}^{5} (y_{i} - {\hat{y}}_{i})}^{2}$
18.29
0.65

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33. 高铁的建设为一个地区的经济发展提供了强大的推进力，也给人们的生活带来极大便捷.以下是2022年开工的雄商高铁线路上某个路段的示意图，其中线段 $A B$ ､ $B C$ 代表山坡，线段 $C D$ 为一段平地.设图中 $A B ､ B C$ 坡的倾角满足 $t a n θ = \frac{7}{24}$ ， $t a n φ = \frac{5}{12} ， A B$ 长 $250 m ， B C$ 长 $182 m ， C D$ 长 $132 m$ .假设该路段的高铁轨道是水平的（与 $C D$ 平行），且端点 $E ､ F$ 分别与 $A ､ D$ 在同一铅垂线上，每隔 $30 m$ 需要建造一个桥墩（不考虑端点 $F$ 建造桥墩）

(1)、求需要建造的桥墩的个数；

(2)、已知高铁轨道的高度为 $80 m$ ，设计过程中每 $30 m$ 放置一个桥墩，设桥墩高度为 $h$ （单位： $m$ ），单个桥墩的建造成本为 $W = 0.65 h + 5$ （单位：万元），求所有桥墩建造成本总和的最小值.

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34. 设某商品的利润只由生产成本和销售收入决定．生产成本C（单位：万元）与生产量x（单位：百件）间的函数关系是 $C (x) = 10000 + 20 x$ ；销售收入S（单位：万元）与生产量x间的函数关系是 $S (x) = {\begin{cases} - \frac{1}{30} x^{3} + 3 x^{2} + 290 x ， 0 < x < 120 \\ 25400 ， x \geq 120 \end{cases}$ ．

(1)、把商品的利润表示为生产量x的函数；

(2)、为使商品的利润最大化，应如何确定生产量？

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35. 新冠肺炎疫情发生以来，我国某科研机构开展应急科研攻关，研制了一种新型冠状病毒疫苗，并已进入二期临床试验．根据普遍规律，志愿者接种疫苗后体内会产生抗体，人体中检测到抗体，说明有抵御病毒的能力．通过检测，用x表示注射疫苗后的天数，y表示人体中抗体含量水平（单位：miu/mL，即：百万国际单位/毫升），现测得某志愿者的相关数据如下表所示．
天数x
1
2
3
4
5
6
抗体含量水平y
5
10
26
50
96
195
根据以上数据，绘制了散点图．
参考数据：其中 $w = l n y$ ．
$\bar{x}$
$\bar{y}$
$\bar{w}$
$\sum_{i = 1}^{6} {(x_{i} - \bar{x})}^{2}$
$\sum_{i = 1}^{6} {(w_{i} - \bar{w})}^{2}$
$\sum_{i = 1}^{6} (w_{i} - \bar{w}) (x_{i} - \bar{x})$
$\sum_{i = 1}^{6} (x_{i} - \bar{x}) (y_{i} - \bar{y})$
$e^{8.3}$
3.50
63.67
3.49
17.50
9.49
12.95
519.01
4023.87
参考公式：； $\hat{b} = \frac{\sum_{i = 1}^{n} (u_{i} - \bar{u}) (v_{i} - \bar{v})}{\sum_{i = 1}^{n} {(u_{i} - \bar{u})}^{2}} = \frac{\sum_{i = 1}^{n} u_{i} v_{i} - n \bar{u} \bar{v}}{\sum_{i = 1}^{n} {u_{i}}^{2} - n {\bar{u}}^{2}}$ ， $\hat{a} = \bar{v} - \hat{b} \bar{u}$ ．

(1)、根据散点图判断， $y = c \cdot e^{d x}$ 与 $y = a + b x$ （a，b，c，d均为大于0的实数）哪一个更适宜作为描述y与x关系的回归方程类型？（给出到断即可，不必说明理由）

(2)、根据（1）的判断结果求出y关于x的回归方程，并预测该志愿者在注射疫苗后的第10天的抗体含量水平值；

(3)、从这位志愿者的前6天的检测数据中随机抽取3天的数据作进一步的分析，求其中的y值小于50的天数 $X$ 的分布列及数学期望．

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安全出口编号	$m_{1}$ ， $m_{2}$	$m_{2}$ ， $m_{3}$	$m_{3}$ ， $m_{4}$	$m_{1}$ ， $m_{3}$
疏散乘客用时（秒）	120	140	190	160

车型	A	B	C	D	E	F
价格	9万元	12万元	18万元	24万元	30万元	40万元
占比	5%	15%	25%	35%	15%	5%

年份	2018	2019	2020	2021	2022
t	0	1	2	3	4
保有量 $x (t)$	9.6	12.9	17.1	23.2	31.4

$P (K^{2} \geq k_{0})$	0.15	0.10	0.05	0.025	0.010
$k_{0}$	2.072	2.706	3.841	5.024	6.635

$\bar{x}$	$\bar{y}$	$\bar{w}$	$\sum_{i = 1}^{6} {(x_{i} - \bar{x})}^{2}$	$\sum_{i = 1}^{6} {(w_{i} - \bar{w})}^{2}$	$\sum_{i = 1}^{6} (w_{i} - \bar{w}) (x_{i} - \bar{x})$	$\sum_{i = 1}^{6} (x_{i} - \bar{x}) (y_{i} - \bar{y})$	$e^{8.3}$
3.50	63.67	3.49	17.50	9.49	12.95	519.01	4023.87

	一般	良好	合计
男	20	100	120
女	30	50	80
合计	50	150	200

x	1	2	3	4	5	6
y	0.5	1	1.5	3	6	12
$z = l n y$	-0.7	0	0.4	1.1	1.8	2.5

天数x	1	2	3	4	5	6
抗体含量水平y	5	10	26	50	96	195