华师大版数学八年级上册12.5 因式分解同步练习（提升卷）

试卷更新日期：2023-08-18 类型：同步测试

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一、选择题

1. 下列变形从左到右是因式分解的是（）

A、(x+1)(x-1)=x²-1 B、x²+2x+1=x(x+2)+1 C、-2x(x+y)=-2x²-2xy D、x²-12x+36=(x-6)²

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2. 下列因式分解正确的是（）

A、 $a^{2} b - a b^{2} = a (a + b) (a - b)$ B、 $a^{2} - 2 b^{2} = (a + 2 b) (a - 2 b)$ C、 $a^{3} - 2 a b + a b^{2} = a {(a - b)}^{2}$ D、 $a^{2} b^{2} - 4 a^{2} b + 4 a^{2} = a^{2} {(b - 2)}^{2}$

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3. 若a²+2ab+b²-c²＝10，a+b+c＝5，则a+b-c的值是（　　）

A、2 B、5 C、20 D、9

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4. 下列等式从左到右的变形，属于因式分解的是（）

A、 $x^{3} - x = x (x + 1) (x - 1)$ B、 $x^{2} + 2 x + 1 = x (x + 2) + 1$ C、 $a (x - y) = a x - a y$ D、 $(x + 1) (x + 3) = x^{2} + 4 x + 3$

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5. 下列因式分解正确的是（）

A、 $2 a b^{2} - 4 a b = 2 a (b^{2} - 2 b)$ B、 $a^{2} + b^{2} = (a + b) (a - b)$ C、 $x^{2} + 2 x y - 4 y^{2} = {(x - 2 y)}^{2}$ D、 $- m y^{2} + 4 m y - 4 m = - m {(2 - y)}^{2}$

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6. 下列各式从左到右的变形，是因式分解的是（）

A、 $x (x - 1) = x^{2} - x$ B、 $x^{2} - 2 x + 1 = {(x - 1)}^{2}$ C、 $x^{2} + 3 x - 4 = x (x + 3) - 4$ D、 $y (y + 1) = y^{2} + y$

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7. 下列因式分解正确的是（）

A、 $x^{2} + 4 = (x - 2) (x + 2)$ B、 $x^{2} - 2 x + 1 = {(x - 1)}^{2}$ C、 $x^{2} - x = x^{2} (1 - \frac{1}{x})$ D、 $x^{4} - 1 = (x^{2} + 1) (x^{2} - 1)$

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8. 将几个图形拼成一个新的图形，再通过两种不同的方法计算同一个图形的面积，可以得到一个等式．例如，由图（1）可得等式： $x^{2} + (p + q) x + p q = (x + p) (x + q)$ ．将图（2）所示的卡片若干张进行拼图，可以将二次三项式 $a^{2} + 3 a b + 2 b^{2}$ 分解因式为（）

A、 $(a + b) (2 a + b)$ B、 $(a + b) (3 a + b)$ C、 $(a + b) (a + 2 b)$ D、 $(a + b) (a + 3 b)$

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9. 多项式 $12 m^{3} n^{2} + 8 m^{2} n - 20 m^{2} n^{3}$ 的公因式是（）

A、 $4 m^{2} n$ B、 $4 m^{2} n^{2}$ C、 $2 m n$ D、 $8 m^{2} n$

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10. 设 $M = (1 - \frac{1}{2^{2}}) (1 - \frac{1}{3^{2}}) (1 - \frac{1}{4^{2}}) \cdot \cdot \cdot (1 - \frac{1}{n^{2}})$ （ $n \geq 2$ 的自然数），如果 $\frac{6}{M}$ 是整数，n的值有（）

A、2个 B、3个 C、4个 D、5个

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二、填空题

11. 分解因式： $3 m^{3} - 12 m =$ ．

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12. 分解因式： $x - x^{3} =$ ，

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13. 因式分解： $25 m^{2} - 10 m n + n^{2} =$ ．

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14. 把多项式 $6 x^{3} y^{3} - 3 x^{2} y^{3}$ 分解因式时，应提取的公因式是．

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15. 在实数范围内分解因式： $4 x^{2} + 4 x y - y^{2} =$ ．

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三、综合题

16. 阅读下列材料：
在因式分解中，把多项式中某些部分看作一个整体，用一个新的字母代替（即换元），不仅可以简化要分解的多项式的结构，而且能使式子的特点更加明显，便于观察如何进行因式分解，我们把这种因式分解的方法称为“换元法”.
下面是小涵同学用换元法对多项式（x²-4x+1）（x²-4x+7）+9进行因式分解的过程.
解：设x²-4x＝y
原式＝（y+1）（y+7）+9（第一步）
＝y²+8y+16（第二步）
＝（y+4）²（第三步）
＝（x²-4x+4）²（第四步）
请根据上述材料回答下列问题：

(1)、小涵同学的解法中，第二步到第三步运用了因式分解的　　；

A、提取公因式法 B、平方差公式法 C、完全平方公式法

(2)、老师说，小涵同学因式分解的结果不彻底，请你写出该因式分解的最后结果：；

(3)、请你用换元法对多项式（x²+2x）（x²+2x+2）+1进行因式分解.

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17. 下面是某同学对多项式 $(x^{2} - 4 x + 2) (x^{2} - 4 x + 6) + 4$ 进行因式分解的过程.
解：设 $x^{2} - 4 x = y$ ，

原式 $= (y + 2) (y + 6) + 4$

$= y^{2} + 8 y + 16$

$= (y + 4)^{2}$

$= {(x^{2} - 4 x + 4)}^{2}$

回答下列问题：

(1)、该同学因式分解的结果是否彻底？（填“彻底”或“不彻底”），若不彻底，请写出因式分解的最后结果；

(2)、以上方法叫做“换元法”.请你模仿以上方法对 $(x^{2} - 2 x) (x^{2} - 2 x + 2) + 1$ 进行因式分解.

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18. 王老师在黑板上写下了四个算式：
① $3^{2} - 1^{2} = (3 + 1) (3 - 1) = 8 = 8 \times 1$ ；
② $5^{2} - 3^{2} = (5 + 3) (5 - 3) = 16 = 8 \times 2$ ；
③ $7^{2} - 5^{2} = (7 + 5) (7 - 5) = 24 = 8 \times 3$ ；
④ $9^{2} - 7^{2} = (9 + 7) (9 - 7) = 32 = 8 \times 4$ ；
……
认真观察这些算式，并结合你发现的规律，解答下列问题：

(1)、 $1 1^{2} - 9^{2} =$ ； $1 3^{2} - 1 1^{2} =$ .

(2)、小华发现上述算式的规律可以用文字语言概括为：“两个连续奇数的平方差能被8整除”，如果设两个连续奇数分别为2n+1和2n-1（n为正整数），请你用含有n的算式验证小华发现的规律.

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19. 如图，将一张大长方形纸板按图中虚线裁剪成9块，其中有2块是边长为a厘米的大正方形，2块是边长都为b厘米的小正方形，5块是长为a厘米，宽为b厘米的相同的小长方形，且 $a > b$ ．

(1)、观察图形，可以发现代数式 $2 a^{2} + 5 a b + 2 b^{2}$ 可以因式分解为．

(2)、若图中阴影部分的面积为20平方厘米，大长方形纸板的周长为24厘米，求图中空白部分的面积．

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20. 将两个大小不一的等腰直角三角形按如图①，②的方式摆放，设两个三角形的直角边长分别为 $x$ ， $y (x > y > 0)$ ，图②中阴影部分的面积为 $S$ .

(1)、用含 $x$ ， $y$ 的代数式表示图②中阴影部分的面积；

(2)、将（1）中的代数式因式分解；

(3)、若 $A B = a$ ， $C D = b$ ，用含 $a$ ， $b$ 的式子表示图②中阴影部分的面积.

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华师大版数学八年级上册12.5 因式分解 同步练习（提升卷）

一、选择题

二、填空题

三、综合题

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