【备考2024】高考数学（函数版块）细点逐一突破训练：函数的零点

试卷更新日期：2023-08-18 类型：二轮复习

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一、选择题

1. 函数 $f (x) = x^{3} + a x + 2$ 存在3个零点，则 $a$ 的取值范围是（）

A、 $(\begin{array}{l} - \infty ， - 2 \end{array})$ B、 $(- \infty ， - 3)$ C、 $(- 4 ， - 1)$ D、 $(- 3 ， 0)$

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2. 已知函数 $f (x) = x l g x - x - l g x (x > 1)$ 的零点为 $x_{1}$ ，函数 $g (x) = x \cdot 1 0^{x} - x - 1 0^{x} (x > 1)$ 的零点为 $x_{2}$ ，则（）

A、 $x_{1} + x_{2} = x_{1} x_{2}$ B、 $x_{1} + x_{2} > 11$ C、 $x_{1} - x_{2} < 1 0^{x_{2}} - l g x_{1}$ D、 $x_{1} - x_{2} > 9$

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3. 已知 $a b \neq 0$ ，函数 $f (x) = e^{a x} + x^{2} + b x$ ，则（）

A、对任意 $a$ ， $b$ ， $f (x)$ 存在唯一极值点 B、对任意 $a$ ， $b$ ，曲线 $y = f (x)$ 过原点的切线有两条 C、当 $a + b = - 2$ 时， $f (x)$ 存在零点 D、当 $a + b > 0$ 时， $f (| x |)$ 的最小值为1

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4. 已知 $x > 0 ， y > 0$ ，且 $x^{3} + y^{3} = x - y$ ，则（）

A、 $x + y \geq \sqrt{\frac{2 \sqrt{3}}{3}} - 1$ B、 $x + y \leq \sqrt{\frac{2 \sqrt{3}}{3}}$ C、 $x^{2} + y^{2} < 1$ D、 $x^{2} + y^{2} > \frac{1}{2}$

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5. 若 $f (x) = s i n (ω x + \frac{π}{3})$ ( $ω > 0$ )在 $(0 ， π)$ 上有且只有两个零点，则 $ω$ 的取值范围为（）

A、 $(\frac{5}{3} ， \frac{8}{3}]$ B、 $(\frac{5}{3} ， \frac{8}{3})$ C、 $[\frac{5}{3} ， \frac{8}{3})$ D、 $[\frac{5}{3} ， \frac{8}{3}]$

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6. 已知函数 $f (x) = s i n (ω x + φ) (ω > 0 ， | φ | \leq \frac{π}{2})$ ， $x = - \frac{π}{8}$ 是函数 $f (x)$ 的一个零点， $x = \frac{π}{8}$ 是函数 $f (x)$ 的一条对称轴，若 $f (x)$ 在区间 $(\frac{π}{5} ， \frac{π}{4})$ 上单调，则 $ω$ 的最大值是（）

A、14 B、16 C、18 D、20

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7. 已知向量 $\vec{a} ， \vec{b}$ 的夹角为 $12 0^{∘}$ ，且 $| \vec{a} | ， | \vec{b} |$ 是函数 $f (x) = x^{2} - 5 x + 6$ 的两个零点.若 $(\vec{a} + λ \vec{b}) ⊥ \vec{a} (λ > 2)$ ，则 $λ =$ （）

A、3 B、4 C、5 D、6

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8. 已知函数 $f (x) = a x^{3} + b x + 1$ ，若 $f (x)$ 存在零点 $x_{0} < - 1$ ，且满足 $f^{'} (x_{0}) = f (x_{0})$ ，则（）

A、 $\frac{1}{a} + \frac{3}{b} < 0$ B、 $a b > 0$ C、 $3 a + b < 0$ D、 $a + b > 1$

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9. 已知函数 $f (x) = s i n (ω x + \frac{π}{6}) (ω > 0)$ 在 $[0 ， 2 π]$ 上有且仅有4个零点，则 $ω$ 的取值范围是（）

A、 $[\frac{23}{12} ， \frac{29}{12}]$ B、 $[\frac{23}{12} ， \frac{29}{12})$ C、 $(\frac{11}{30} ， \frac{11}{24}]$ D、 $[\frac{11}{30} ， \frac{11}{24})$

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10. 已知函数 $f (x) = a^{x} - x^{a} (a > 1)$ 的定义域为 $(0 ， + \infty)$ ，且 $f (x)$ 仅有一个零点，则（）

A、e是 $f (x)$ 的零点 B、 $f (x)$ 在 $(1 ， e)$ 上单调递增 C、 $x = 1$ 是 $f (x)$ 的极大值点 D、 $f (e)$ 是 $f (x)$ 的最小值

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11. 函数 $f (x)$ ， $g (x)$ 的定义域都是 $D$ ，直线 $x = x_{0} (x_{0} \in D)$ 与 $y = f (x)$ ， $y = g (x)$ 的图象分别交于 $A$ ， $B$ 两点，若线段 $A B$ 的长度是不为 $0$ 的常数，则称曲线 $y = f (x)$ ， $y = g (x)$ 为“平行曲线”设 $f (x) = e^{x} - a l n x + c (a > 0 ， c \neq 0)$ ，且 $y = f (x)$ ， $y = g (x)$ 为区间 $(0 ， + ∞)$ 的“平行曲线”其中 $g (1) = e$ ， $g (x)$ 在区间 $(2 ， 3)$ 上的零点唯一，则 $a$ 的取值范围是（）

A、 $(\frac{e^{2}}{l n 3} ， \frac{e^{4}}{l n 2})$ B、 $(\frac{e^{2}}{l n 2} ， \frac{e^{3}}{l n 3})$ C、 $(\frac{e^{3}}{l n 3} ， \frac{2 e^{4}}{l n 2})$ D、 $(\frac{2 e^{3}}{l n 3} ， \frac{e^{4}}{l n 2})$

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二、填空题

12. 已知函数 $f (x) = | \lg x | - k x - 2$ ，给出下列四个结论：
①若 $k = 0$ ，则 $f (x)$ 有两个零点；

② $\exists k < 0$ ，使得 $f (x)$ 有一个零点；

③ $\exists k < 0$ ，使得 $f (x)$ 有三个零点；

④ $\exists k > 0$ ，使得 $f (x)$ 有三个零点．

以上正确结论得序号是．

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13. 若实数 $a$ 使得存在两两不同的实数 $x 、 y 、 z$ ，有 $\frac{x^{3} + a}{y + z} = \frac{y^{3} + a}{z + x} = \frac{z^{3} + a}{x + y} = - 3$ ，则实数 $a$ 的取值范围是.

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14. 已知在等比数列 ${a_{n}}$ 中， $a_{3}$ 、 $a_{7}$ 分别是函数 $y = x^{3} - 6 x^{2} + 6 x - 1$ 的两个驻点，则 $a_{5} =$ ．

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15. 设函数 $f (x) = {\begin{matrix} | {log}_{2} x | ， 0 < x \leq 2 \\ - x + 3 ， x \geq 2 \begin{matrix} \end{matrix} \end{matrix}$ ，若实数 $a ， b ， c$ 满足 $a < b < c$ ，且 $f (a) = f (b) = f (c)$ ，则 $c^{a b - 2} + \frac{c}{a b + 5}$ 的取值范围是．

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16. 函数 $f (x) = {\begin{array}{l} x^{3} + 2 ， x \leq 0 \\ x - 3 + e^{x} ， x > 0 \end{array}$ 的零点个数为.

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17. 已知函数 $f (x) = x c o s α - α c o s α + s i n α (- \frac{π}{2} < α < 0)$ ， $x = π$ 是 $f (x)$ 的零点，则当 $- \frac{π}{2} ≤ x ≤ \frac{3 π}{2}$ 时，不等式 $f (x) - s i n x \leq 0$ 的解集为.

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18. 若函数 $f (x) = {\begin{array}{l} 2^{x} - b ， x < 0 ， \\ \sqrt{x} ， x \geq 0 \end{array}$ 有且仅有两个零点，则实数 $b$ 的一个取值为.

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19. 已知函数 $f (x) = e^{x - a} + 9 e^{a - x} + x^{2} - 4 x - 2$ 有零点，则实数 $a =$ .

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20. 函数 $f (x) = s i n π x - l n | 2 x - 3 |$ 的所有零点之和为．

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21. 已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} e^{x} - k x ， x \geq 0 ， \\ k x^{2} - x + 1 ， x ＜ 0 . \end{array}$ 若 $k = 0$ ，则不等式 $f (x) ＜ 2$ 的解集为；若 $f (x)$ 恰有两个零点，则 $k$ 的取值范围为.

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22. 已知函数 $f (x) = 2 s i n (2 x + \frac{π}{6}) - m$ ， $x \in [0 ， \frac{7 π}{6}]$ 有三个不同的零点 $x_{1} ， x_{2} ， x_{3}$ ，且 $x_{1} < x_{2} < x_{3}$ ，则 $m (x_{1} + 2 x_{2} + x_{3})$ 的范围是.

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三、解答题

23. 已知函数 $f (x) = a x - \frac{1}{x} - (a + 1) \ln x$ ．

(1)、当 $a = 0$ 时，求 $f (x)$ 的最大值；

(2)、若 $f (x)$ 恰有一个零点，求a的取值范围．

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24. 已知函数 $f (x) = \ln (1 + x) + a x e^{- x}$ .

(1)、当 $a = 1$ 时，求曲线 $y = f (x)$ 在点 $(0 ， f (0))$ 处的切线方程；

(2)、若 $f (x)$ 在区间 $(- 1 ， 0) ， (0 ， + \infty)$ 各恰有一个零点，求a的取值范围．

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25. 已知函数 $f (x) = e^{x} - \frac{1}{2} a x^{2} - x + 2$ （ $a \in R$ ）有两个极值点 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ，且 $x_{1} < x_{2}$ .

(1)、求a的取值范围；

(2)、若 $f (x_{2}) > \frac{x_{2}}{2}$ ，求a的取值范围.

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26. 已知 $x > 0$ ，记 $f (x) = e^{x}$ ， $g (x) = x^{x}$ ， $h (x) = l n g (x)$ ．

(1)、试将 $y = f (x)$ 、 $y = g (x)$ 、 $y = h (x)$ 中的一个函数表示为另外两个函数复合而成的复合函数；

(2)、借助（1）的结果，求函数 $y = g (2 x)$ 的导函数和最小值；

(3)、记 $H (x) = \frac{f (x) - h (x)}{x} + x + a$ ， a是实常数，函数 $y = H (x)$ 的导函数是 $y^{'} = H^{'} (x)$ ．已知函数 $y = H (x) \cdot H^{'} (x)$ 有三个不相同的零点 $x_{1} 、 x_{2} 、 x_{3}$ ．求证： $x_{1} \cdot x_{2} \cdot x_{3} < 1$ ．

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27. 已知函数 $f (x) = - \frac{{(l n x)}^{2}}{2} + x + l n x - 1$ ， $g (x) = (x - 1) e^{x} - \frac{a x^{2}}{2} + a^{2}$ ， $a < 1$ .

(1)、判断 $f (x)$ 的单调性；

(2)、若 $g (x)$ 有唯一零点，求 $a$ 的取值范围.

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28. 已知函数 $f (x) = e^{2 x} + (a - 2) e^{x} - a x$ ．

(1)、讨论 $f (x)$ 的单调性；

(2)、若 $f (x)$ 有两个零点，求a的取值范围．

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29. 椭圆曲线加密算法运用于区块链．
椭圆曲线 $C = {(x ， y) ∣ y^{2} = x^{3} + a x + b ， 4 a^{3} + 27 b^{2} \neq 0}$ ． $P \in C$ 关于x轴的对称点记为 $\tilde{P}$ ． C在点 $P (x ， y) (y \neq 0)$ 处的切线是指曲线 $y = \pm \sqrt{x^{3} + a x + b}$ 在点P处的切线．定义“ $\oplus$ ”运算满足：①若 $P \in C ， Q \in C$ ，且直线PQ与C有第三个交点R，则 $P \oplus Q = \tilde{R}$ ；②若 $P \in C ， Q \in C$ ，且PQ为C的切线，切点为P，则 $P \oplus Q = \tilde{P}$ ；③若 $P \in C$ ，规定 $P \oplus \tilde{P} = 0^{*}$ ，且 $P \oplus 0^{*} = 0^{*} \oplus P = P$ ．
参考公式： $m^{3} - n^{3} = (m - n) (m^{2} + m n + n^{2})$

(1)、当 $4 a^{3} + 27 b^{2} = 0$ 时，讨论函数 $h (x) = x^{3} + a x + b$ 零点的个数；

(2)、已知“ $\oplus$ ”运算满足交换律、结合律，若 $P \in C ， Q \in C$ ，且PQ为C的切线，切点为P，证明： $P \oplus P = \tilde{Q}$ ；

(3)、已知 $P (x_{1} ， y_{1}) \in C ， Q (x_{2} ， y_{2}) \in C$ ，且直线PQ与C有第三个交点，求 $P \oplus Q$ 的坐标．

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30. 已知函数 $f (x) = l n x - \frac{1}{2} x^{2} + a x (a \in R)$ ，其导函数为 $f^{'} (x)$ ．

(1)、证明：当 $a \geq 0$ 时，函数 $g (x) = f (x) + \frac{1}{2}$ 有零点；

(2)、若对任意正数 $x_{1}$ ， $x_{2}$ 且 $x_{1} < x_{2}$ ，总存在正数 $x_{0}$ 使得 $f^{'} (x_{0}) = \frac{f (x_{2}) - f (x_{1})}{x_{2} - x_{1}}$ ．试探究 $\frac{x_{1} + x_{2}}{2}$ 与 $x_{0}$ 的大小，并说明理由．

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31. 设函数 $f (x) = - \frac{1}{2} x^{2} + (a - 1) x + a l n x + \frac{a}{2}$ ， $a > 0$ ．

(1)、若 $a = 1$ ，求函数 $f (x)$ 的单调区间和最值；

(2)、求函数 $f (x)$ 的零点个数，并说明理由．

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32. 已知函数 $f (x) = \frac{1}{2} (a - 1) x^{2} + a x - 2 l n x$ ．

(1)、讨论 $f (x)$ 的单调性；

(2)、当 $a = 1$ 时， $g (x) = f (\sqrt{x})$ ，若 $m \leq 3 - 4 l n 2$ ，求证：对于任意 $k > 0$ ，函数 $h (x) = \frac{g (x) - m}{x} - k$ 有唯一零点．

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33. 已知函数 $f (x) = a x - \frac{1}{x} - (a + 1) l n x ， a \in R$

(1)、若 $a = - 2$ ，求曲线 $y = f (x)$ 在点 $(1 ， f (1))$ 处的切线方程；

(2)、若 $a \geq 1$ ，且 $f (x) > 1$ 在区间 $[\frac{1}{e} ， e]$ 上恒成立，求 $a$ 的取值范围；

(3)、若 $a > \frac{1}{e}$ ，判断函数 $g (x) = x [f (x) + a + 1]$ 的零点的个数.

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34. 已知 $f (x) = (a - 1) l n x + x + \frac{a}{x}$

(1)、若 $a < 0$ ，讨论函数 $f (x)$ 的单调性；

(2)、 $g (x) = f (x) + l n x - \frac{a}{x}$ 有两个不同的零点 $x_{1}$ ， $x_{2} (0 < x_{1} < x_{2})$ ，若 $g^{'} (\frac{2 x_{1} + λ x_{2}}{2 + λ}) > 0$ 恒成立，求 $λ$ 的范围．

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35. 已知函数 $f (x) = a \ln (x + 1) \sin x - \frac{1}{2} (a \in R)$ ，且 $f (x)$ 在 $[0 ， \frac{π}{2}]$ 上的最大值为 $\frac{2 \ln (\frac{π}{2} + 1) - 1}{2}$ ．

(1)、求实数a的值；

(2)、讨论函数 $f (x)$ 在 $[0 ， π]$ 内的零点个数，并加以证明．

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