【备考2024】高考数学（函数版块）细点逐一突破训练：函数零点的判定定理

试卷更新日期：2023-08-18 类型：二轮复习

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一、选择题

1. 设 $a \in R$ ，函数 $f (x) = {\begin{array}{l} \cos (2 π x - 2 π a) . & x < a \\ x^{2} - 2 (a + 1) x + a^{2} + 5 ， & x \geq a \end{array}$ ，若 $f (x)$ 在区间 $(0 ， + \infty)$ 内恰有6个零点，则a的取值范围是（）

A、 $(2 ， \frac{9}{4}] \cup (\frac{5}{2} ， \frac{11}{4}]$ B、 $(\frac{7}{4} ， 2) \cup (\frac{5}{2} ， \frac{11}{4})$ C、 $(2 ， \frac{9}{4}] \cup [\frac{11}{4} ， 3)$ D、 $(\frac{7}{4} ， 2) \cup [\frac{11}{4} ， 3)$ .

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2. 已知 $f (x)$ 是定义域为 ${x | x \neq 0}$ 的偶函数且 $f (x) = | \frac{l n x}{x} | - \frac{1}{e^{2}} (x > 0)$ ，则函数 $f (x)$ 零点个数是（）

A、6 B、5 C、4 D、3

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3. 已知函数 $f (x) = 2 x + l n x + 1 - a$ 和函数 $g (x) = x - \frac{a}{e^{2 x}}$ ，具有相同的零点 $x_{0}$ ，则 $e^{2 x_{0}} l n x_{0}^{2}$ 的值为（）

A、2 B、 $- e$ C、-4 D、 $e^{2}$

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4. 已知 $1 < m < n$ ，过点 $(m ， l o g_{2} m)$ 和 $(n ， l o g_{2} n)$ 的直线为 $l_{1}$ .过点 $(m ， l o g_{8} m)$ 和 $(n ， l o g_{8} n)$ 的直线为 $l_{2}$ ， $l_{1}$ 与 $l_{2}$ 在 $y$ 轴上的截距相等，设函数 $f (x) = m^{n x} + n^{- m x}$ .则（）

A、 $f (x)$ 在 $R$ 上单调递增 B、若 $m = 2$ ，则 $f (1) = 32$ C、若 $f (2) = 6$ ，则 $f (4) = 34$ D、 $m ， n$ 均不为 $e$ （ $e$ 为自然对数的底数）

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5. 已知 $x_{1} = l o g_{5} 2$ ， $x_{2} + l n x_{2} = 0$ ， $3^{- x_{3}} = l o g_{2} x_{3}$ ，则（）

A、 $x_{1} < x_{2} < x_{3}$ B、 $x_{2} < x_{1} < x_{3}$ C、 $x_{1} < x_{3} < x_{2}$ D、 $x_{2} < x_{3} < x_{1}$

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6. 已知 $f (x) = l n (x + 1) + a x$ ，若 $f^{'} (0) = 2$ ， $f (m) = 2$ ，则 $m \in$ （）

A、 $(1 ， 2)$ B、 $(2 ， 3)$ C、 $(3 ， 4)$ D、 $(4 ， 5)$

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7. 已知函数 $f (x) = x^{2} - a l n x$ 有两个零点，则 $a$ 的取值范围是（）

A、 $(0 ， \frac{1}{2 e})$ B、 $(\frac{1}{2 e} ， + \infty)$ C、 $(0 ， 2 e)$ D、 $(2 e ， + \infty)$

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8. 函数 $f (x) = \frac{\ln (\sqrt{x^{2} + 1} + x)}{| x + 2 | + | x - 2 |}$ 的图象大致是（）

A、 B、 C、 D、

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9. 设函数 $f (x)$ 的定义域为 $R$ ，则“ $f (x)$ 是 $R$ 上的增函数”是“任意 $a > 0$ ， $y = f (x + a) - f (x)$ 无零点”的（）

A、充分而不必要条件 B、必要而不充分条件 C、充分必要条件 D、既不充分也不必要条件

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10. 若实数a， $b$ ， c满足 $a = l o g_{\frac{1}{3}} 4$ ， $b^{3} = 7$ ， $l n c = \frac{2}{c}$ ，则（）

A、 $a < b < c$ B、 $b < c < a$ C、 $a < c < b$ D、 $b < a < c$

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11. 已知直线 $l ： y = k x （ k > 0 ）$ 既是函数 $f (x) = x^{2} + 1$ 的图象的切线，同时也是函数 $g (x) = \frac{p x}{x + 1} + l n x (p \in R)$ 的图象的切线，则函数 $g (x)$ 零点个数为（）

A、0 B、1 C、0或1 D、1或2

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二、填空题

12. 设 $a \in R$ ，对任意实数x，记 $f (x) = m i n {| x | - 2 ， x^{2} - a x + 3 a - 5}$ ．若 $f (x)$ 至少有3个零点，则实数 $a$ 的取值范围为.

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13. 已知函数 $f (x) = (1 - x) e^{x}$ ，当关于 $x$ 的方程 $2 {[f (x)]}^{2} - 4 a f (x) + 1 = 0$ 的不同实数根的个数最多时，实数 $a$ 的取值范围是．

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14. 已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} \frac{x}{e^{x}} ， x < a ， \\ - x^{2} + 4 x ， x \geq a ， \end{array}$ 当 $a = 3$ 时，函数 $f (x)$ 有个零点；记函数 $f (x)$ 的最大值为 $g (a)$ ，则 $g (a)$ 的值域为．

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15. 已知函数 $f (x) = m l n x - 2 x^{3} + 4 e x^{2} - m x$ （ $m \geq 0$ ），若 $f (x)$ 在 $[1 ， + \infty)$ 上有零点，则实数 $m$ 的取值范围为．

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16. 函数 $f (x)$ 的图象在区间（0，2）上连续不断，能说明“若 $f (x)$ 在区间（0，2）上存在零点，则 $f (0) \cdot f (2) < 0$ ”为假命题的一个函数 $f (x)$ 的解析式可以为 $f (x)$ =.

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17. 已知函数 $f (x) = 2 x^{3} - x^{2} (| x - a | + | x - b |) + x (b > a)$ 有且只有一个零点，则 $2 a + b$ 的取值范围是.

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18. 牛顿迭代法又称牛顿-拉夫逊方法，它是牛顿在 $17$ 世纪提出的一种在实数集上近似求解方程根的一种方法，具体步骤如下：设 $r$ 是函数 $y = f (x)$ 的一个零点，任意选取 $x_{0}$ 作为 $r$ 的初始近似值，过点 $(x_{0} ， f (x_{0}))$ 作曲线 $y = f (x)$ 的切线 $l_{1}$ ，设 $l_{1}$ 与 $x$ 轴交点的横坐标为 $x_{1}$ ，并称 $x_{1}$ 为 $r$ 的1次近似值；过点 $(x_{1} ， f (x_{1}))$ 作曲线 $y = f (x)$ 的切线 $l_{2}$ ，设 $l_{2}$ 与 $x$ 轴交点的横坐标为 $x_{2}$ ，称 $x_{2}$ 为 $r$ 的2次近似值，过点 $(x_{n} ， f (x_{n})) (n \in N^{*})$ 作曲线 $y = f (x)$ 的切线 $l_{n + 1}$ ，记 $l_{n + 1}$ 与 $x$ 轴交点的横坐标为 $x_{n + 1}$ ，并称 $x_{n + 1}$ 为 $r$ 的 $n + 1$ 次近似值，设 $f (x) = x^{3} + 2 x - 2 (x \geq 0)$ 的零点为 $r$ ，取 $x_{0} = 0$ ，则 $r$ 的2次近似值为：设 $a_{n} = \frac{3 x_{n}^{3} + 2 x_{n}}{2 x_{n}^{3} + 2} (n \in N^{*})$ ，数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项积为 $T_{n}$ ．若任意的 $n \in N^{*}$ ， $T_{n} < λ$ 恒成立，则整数 $λ$ 的最小值为．

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19. 函数 $f (x) = (1 + x^{2}) e^{x} - 1$ 的零点个数为.

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20. 已知函数 $f (x) = x^{3} - 3 x^{2} + 3$ ，有下列命题：
①函数 $y = f (x)$ 的图像在点 $(1 ， f (1))$ 处的切线为 $3 x + y - 4 = 0$ ；

②函数 $y = f (x)$ 有3个零点；

③函数 $y = f (x)$ 在 $x = 2$ 处取得极大值；

④函数 $y = f (x)$ 的图像关于点 $(1 ， 1)$ 对称

上述命题中，正确命题的序号是．

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21. 定义方程 $f (x) = f' (x)$ 的实数根 $x_{0}$ 叫做函数 $f (x)$ 的“新驻点”.

(1)、设 $f (x) = \cos x$ ，则 $f (x)$ 在 $(0 ， π)$ 上的“新驻点”为；

(2)、如果函数 $g (x) = e^{x} - x$ 与 $h (x) = \ln (x + 1)$ 的“新驻点”分别为 $α$ ､ $β$ ，那么 $α$ 和 $β$ 的大小关系是.

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22. 已知函数 $f (x) = - \frac{π}{2 x}$ ， $g (x) = x \cdot \cos x - \sin x$ ，当 $x \in [- 3 π ， 3 π]$ 且 $x \neq 0$ 时，方程 $f (x) = g (x)$ 根的个数是．

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三、解答题

23. 已知函数 $f (x) = (x - 1) e^{x} - a x^{2} + b$ ．

(1)、讨论 $f (x)$ 的单调性；

(2)、从下面两个条件中选一个，证明： $f (x)$ 有一个零点
① $\frac{1}{2} < a \leq \frac{e^{2}}{2} ， b > 2 a$ ；

② $0 < a < \frac{1}{2} ， b \leq 2 a$ ．

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24. 已知函数 $f (x) = x^{3} - k x + k^{2}$ ．

(1)、讨论 $f (x)$ 的单调性；

(2)、若 $f (x)$ 有三个零点，求k的取值范围．

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25. 设函数 $f (x) = x^{3} + b x + c$ ，曲线 $y = f (x)$ 在点( $\frac{1}{2}$ ，f( $\frac{1}{2}$ ))处的切线与y轴垂直．

(1)、求b．

(2)、若 $f (x)$ 有一个绝对值不大于1的零点，证明： $f (x)$ 所有零点的绝对值都不大于1．

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26. 已知函数 $f (x) = (x + a) \ln x - \frac{1}{2} x^{2} - a x + a - 1.$

(1)、若 $a = 1$ ，求函数 $y = f (x)$ 的单调区间；

(2)、若不等式 $f (x) > a \ln x - \frac{1}{2} x^{2} - 2 x$ 在 $(1 ， + \infty)$ 上恒成立，求整数 $a$ 的最大值.

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27. 已知函数 $f (x) = e^{x - 1} + e^{- x + 1}$ ， $g (x) = a (x^{2} - 2 x) (a < 0)$ ．

(1)、求函数 $f (x)$ 的单调区间；

(2)、讨论函数 $h (x) = f (x) - g (x)$ 的零点个数．

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28. 设函数 $f (x) = x - s i n \frac{π x}{2}$ .

(1)、证明：当 $x \in [0 ， 1]$ 时， $f (x) \leq 0$ ；

(2)、记 $g (x) = f (x) - a l n | x |$ ，若 $g (x)$ 有且仅有2个零点，求 $a$ 的值.

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29. 已知函数 $f (x) = \frac{1}{2} x^{2} - (a + 1) x + a l n x$ .（其中 $a$ 为常数）

(1)、若 $a = - 2$ ，求曲线 $y = f (x)$ 在点 $(2 ， f (2))$ 处的切线方程；

(2)、当 $a < 0$ 时，求函数 $y = f (x)$ 的最小值；

(3)、当 $0 \leq a < 1$ 时，试讨论函数 $y = f (x)$ 的零点个数，并说明理由.

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30. 已知函数 $f (x) = x - \frac{1}{x} - a l n x$ ，其中 $a \in R$ .

(1)、若 $f (x)$ 的图象在 $x = 1$ 处的切线过点 $(2 ， 1)$ ，求a的值；

(2)、证明： $\forall a > 1$ ， $f (e^{- a}) < 0$ ，其中e的值约为2.718，它是自然对数的底数；

(3)、当 $a > 2$ 时，求证： $f (x)$ 有3个零点，且3个零点之积为定值.

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31. 已知函数 $f (x) = a e^{x} - x - a$ （a∈R）．

(1)、讨论 $f (x)$ 的单调性：

(2)、证明：对任意 $a \in (0 ， 1)$ ，存在正数b使得 $a e^{b} = a + b$ ．且2lna+b＜0．

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32. 已知函数 $f (x) = s i n x - \frac{x - a}{e^{x}}$ 在点 $(0 ， f (0))$ 处的切线l与直线 $n ： x - y = 0$ 垂直.

(1)、求切线l的方程；

(2)、判断 $f (x)$ 在 $(0 ， π)$ 上零点的个数，并说明理由.

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33. 已知 $f (x) = e^{x} - a x$ ， $g (x) = e^{x} (1 - s i n x)$ ．

(1)、讨论 $f (x)$ 的单调性；

(2)、若 $a \in (0 ， 3)$ ， $h (x) = f (x) - g (x)$ ，试讨论 $h (x)$ 在 $(0 ， π)$ 内的零点个数．（参考数据： $e^{\frac{π}{2}} \approx 4.81$ ）

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34. 已知函数 $f (x) = e^{x} - x^{2}$ ，求证：

(1)、 $f (x)$ 存在唯一零点；

(2)、不等式 $e^{x - 1} - x^{2} + x - 1 + (l n x)^{2} \geq 0$ 恒成立．

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35. 已知函数 $f (x) = a l n (x - a) - \frac{1}{2} x^{2} + x$ （ $a < 0$ ）．

(1)、求 $f (x)$ 的单调区间；

(2)、若 $- 1 < a < 2 (l n 2 - 1)$ ，求证：函数 $f (x)$ 只有一个零点 $x_{0}$ ，且 $a + 1 < x_{0} < a + 2$ ；

(3)、当 $a = - \frac{4}{5}$ 时，记函数 $f (x)$ 的零点为 $x_{0}$ ，若对任意 $x_{1} ， x_{2} \in [0 ， x_{0}]$ 且 $x_{2} - x_{1} = 1$ ，都有 $| f (x_{2}) - f (x_{1}) | \geq m$ ，求实数 $m$ 的最大值．

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36. 已知函数 $f (x) = e^{x} (l n x + 1)$ ， $f^{'} (x)$ 是 $f (x)$ 的导函数．

(1)、讨论函数 $f (x)$ 的单调性；

(2)、设 $a \leq 0$ ，若函数 $F (x) = f^{'} (x) \cdot e^{- x} + a (x - 1) - 1$ 在 $(0 ， 2)$ 上存在小于1的极小值，求实数a的取值范围．

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